линейная алгебра 1 курс. задание. Задача Найти остаток от деления многочлена 2 5 4 6 2

• Название: Задача Найти остаток от деления многочлена 2 5 4 6 2
• Анкор: линейная алгебра 1 курс
• Дата: 29.06.2022
• Размер: 1.95 Mb.
• Имя файла: задание.docx
• Тип: Задача; #619628

Итоговая контрольная работа.

Задача 1. Найти остаток от деления многочлена 2𝑥⁵ + 𝑥⁴ - 6𝑥² + 5xна многочлен x-1. Необходимо получить разложение:

⁽2𝑥⁵ + 𝑥⁴ − 6𝑥² + 5𝑥⁾ = (x – 1)*⁽𝑎₀𝑥⁴ + 𝑎₁𝑥³ + 𝑎₂𝑥² + 𝑎₃𝑥 + 𝑎₄⁾ + 𝑏₀; Будем вычислять неизвестные коэффициенты 𝑎₀, 𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃, 𝑎₄ шаг за шагом.

⁽2𝑥⁵ + 𝑥⁴ − 6𝑥² + 5𝑥⁾ – (x-1)*2𝑥⁴ = 2𝑥⁵ + 𝑥⁴ − 6𝑥² + 5𝑥 - 2𝑥⁵ + 2𝑥⁴ = 3𝑥⁴ − 6𝑥² + 5𝑥; 𝒂_𝟎 = 2;

3𝑥⁴ − 6𝑥² + 5𝑥 – (x –1)*3𝑥³ = 3𝑥⁴ − 6𝑥² + 5𝑥 - 3𝑥⁴ + 3𝑥³ = 3𝑥³ − 6𝑥² + 5𝑥; 𝒂_𝟏 = 3;

3𝑥³ − 6𝑥² + 5𝑥 – (x – 1)∗ 3𝑥² = 3𝑥³ − 6𝑥² + 5𝑥 - 3𝑥³ + 3𝑥² = -3𝑥² +5x; 𝒂_𝟐 = 3;

-3𝑥² +5x – (x – 1)∗(-3)*x = −3𝑥² + 5𝑥 + 3𝑥² – 3x = 2x; 𝒂_𝟑 = -3;

2x – (x – 1)*2 = 2x – 2x + 2 = 2; 𝒂_𝟒 = 2;

В итоге получаем:

⁽2𝑥⁵ + 𝑥⁴ − 6𝑥² + 5𝑥⁾ = (x – 1)∗ ⁽2𝑥⁴ + 3𝑥³ + 3𝑥² − 3𝑥 + 2⁾ +2.

Ответ:

2𝒙^𝟓 + 𝒙^𝟒 - 6𝒙^𝟐 + 5x = (x-1)*(2𝒙^𝟒 + 3𝒙^𝟑 +3𝒙^𝟐 – 3x +2) +2.

^{Задача 2. Используя формулы Муавра найти все корни 3√−27, и записать их в алгебраической} форме.

Ответ:

𝒛_𝟎 = 2,59806 – i 1,5; 𝒛_𝟏 = 3 + i 0; 𝒛_𝟐 = -2,59806 –i 1,5.

1	−3	0
Задача 3.Найти матрицу, обратную матрице 0	1	0
0	5	1

𝟏	𝟑	𝟎
Ответ: 𝟎	𝟏	𝟎 .
𝟎	−𝟓	𝟏

Задача 4. Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А(1;2;3) и перпендикулярную плоскости с общим уравнением 5x – 3y + 12z -7 = 0.

Ответ:

𝒙+𝟏

=

𝟓

𝒚+𝟐

=

−𝟑

𝒛+𝟑

.

𝟏𝟐

Задача 5. Решить СЛАУ

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3 3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2

2𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = −1

−𝒙_{𝟑 + 𝟏}

𝟕

Ответ: общее решение: Х = ^𝟒𝒙𝟑 _{+ 𝟏} .

𝟕

𝒙_𝟑

Задача 6. Найти канонический вид квадратичной формы F (x;y) = 𝑥² + 12xy + 𝑦². Перепишем многочлен в виде:

F(x;y) = 𝑥² + 6xy + 6yx + 𝑦²
Матрицей коэффициентов этой квадратичной формы будет:
1 6

Ф = ( )

6 1
Её характеристическим многочленом будет:

Р(𝜆) =

1 − 𝜆 6

^│ 6 1 − 𝜆

│ = (1 – 𝜆)*(1 – 𝜆) – 36 = 𝜆² - 2𝜆 -35;

𝜆₁ = 7; 𝜆₂ = -5.
Все корни получились ненулевыми, поэтому каноническим видом квадратичной формы F (x;y) =

𝑥² + 12xy + 𝑦² будет квадратичная форма:
K(x,y) = 7𝒙^𝟐 - 5𝒚^𝟐.

Квадратичная форма K' (x;y) -5𝒙^𝟐 + 7𝒚^𝟐 также будет каноническим видом формы F (x;y) = 𝒙^𝟐 + 12xy + 𝒚^𝟐.
Ответ: K(x,y) = 7𝒙^𝟐 - 5𝒚^𝟐; K' (x;y) -5𝒙^𝟐 + 7𝒚^𝟐.