Сумма степеней. Задача Найти сумму 1 2 n
 Скачать 134 Kb.
|
|
Сумма степеней n натуральных чисел. Задача 1. Найти сумму: 1 + 2 + … + n. Мы знаем формулу квадрата суммы  Это тождество справедливо для любого n. Распишем формулу в несколько строчек при различных n, начиная с 0, получим:   …………………………………. ………………………………….   Складываем    Обозначим  , получили формулу расчета  Докажем справедливость полученной формулы методом математической индукции 1. Проверим справедливость при n = 1.  - справедлива 1 = 1. 2. Предположим, что формула справедлива при всех значения до n, то есть равенство верно и проверим верность для n+1.  Получили верное утверждение для любого n. Задача 2. Найти сумму:  Для решения этой задачи будем использовать формулу куба суммы.  .Будем выполнять точно такой же алгоритм вывода формулы: 0,  1,  2,  ………………………………………………. ………………………………………………. n-1,  n,  Складываем: Введем обозначения:  Получим:    ; Докажем, аналогично, как и в первой задаче методом математической индукции: 1. n = 1  верное.2. Справедливо при n  3. Доказываем справедливость при n+1.  Формула справедлива.  .Задача 3. Найти сумму:  .Все повторяем снова, меняется только формула.  0,  1,  …………………………………………………….. n,  n+1,        = .Аналогично доказываем справедливость полученного результата.  2. = 3.  Справедливость формулы доказана. Задача 4. Найти сумму четвертых степеней натуральных чисел. Из соотношения  можно получить сумму четвертых степеней по аналогии: ;     = Доказывается также, можно выполнить самостоятельно Задача 4. Найти сумму пятых степеней натуральных чисел. Все также как и выше.      ; Для других степеней подобные соотношения для нахождения суммы степеней похожие:  Во всех соотношениях используются коэффициенты из бинома Ньютона, которые определяются формулой:  .В общем виде соотношение для вывода формулы суммы выглядит так:  В случае необходимости можно подобным образом находить суммы степеней n натуральных чисел. |