Бином Ньютона. A b в степень n может быть произведено по формуле называемой разложением бинома Ньютона (a b)

• Название: A b в степень n может быть произведено по формуле называемой разложением бинома Ньютона (a b)
• Анкор: Бином Ньютона
• Дата: 13.12.2022
• Размер: 32 Kb.
• Имя файла: Бином Ньютона.doc
• Тип: Документы; #842893

Бином Ньютона

Возведение двучлена a + b в степень n может быть произведено по формуле называемой разложением бинома Ньютона:

(a + b)ⁿ= aⁿ+ C¹_na^{n - 1}b + C²_na^{n - 2}b²+...+C^k_na^{n - k}b^k+... + C^{n - 1}_nab^{n - 1}+ Cⁿ_nbⁿ

или (после подстановки выражений C^k_n с учетом формулы C^k_n = C^{n - k}_n):

,


где C^k_n — число всех возможных сочетаний, которые можно образовать из n элементов по k.

Пример:
(a + b)⁵ = a⁵ + C¹₅ a⁴b + C²₅ a³b² + C³₅ a²b³ + C⁴₅ ab⁴ + C⁵₅ b⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Свойства бинома Ньютона

1. 
   Разложение бинома (a + b)ⁿ представляет собой многочлен, расположенный по убывающим степеням a (от n-й до нулевой) и по возрастающим степеням b (от нулевой до n-й); сумма показателей a и b в каждом члене разложения равна показателю степени бинома. Число членов разложения на единицу больше показателя степени бинома.
   
2. 
   Коэффициенты членов разложения («биноминальные коэффициенты») возрастают до середины разложения и затем убывают; коэффициенты каждой пары членов, равноотстоящих от начала и конца разложения, равны между собой. Если n четное, то имеется один средний наибольший коэффициент; если n нечетное, то имеется два средних наибольших коэффициента.
   
3. 
   П ри возведении в n-ю степень разности a - b все четные члены разложения имеют знак "минус":