сопромат. Задача 2.1+. Задача Расчет балки на прочность

• Название: Задача Расчет балки на прочность
• Анкор: сопромат
• Дата: 15.04.2022
• Размер: 347.64 Kb.
• Имя файла: Задача 2.1+.docx
• Тип: Задача; #475659

Задача 2.1. Расчет балки на прочность.
Для расчетной схемы с указанными размерами и нагрузками построить по длине балки эпюры изгибающих моментов Мх и поперечных сил Qx.

Подобрать поперечное сечение балки из условия прочности:

- прямоугольного профиля, полагая, что балка деревянная при ; соотношение между размерами сечения принять равным b:h=1:2;

- двутаврового профиля, материал сталь при ,

- проверить стальную балку (двутавр) на прочность:

а) по рабочим нормальным напряжениям,

б) по максимальным касательным напряжениям.

Исходные данные: схема – 7; a₁=0,1 м; a₂=0,5 м; a₃=0,2 м; l=1 м;

М=44кН·м; q=15кН/м;

Решение:

1. Расчёт балки следует начинать с расстановки и определения величины опорных реакций. Величина и направление опорных реакций и реактивных моментов могут быть определены из решения уравнений равновесия. Для плоской системы параллельных сил (поперечный плоский изгиб) условия равновесия описываются двумя уравнениями статики: .

Рассматриваемая балка имеет две шарнирные опоры.В опоре А возникает одна реакция R_A, в опоре В направление реакции в общем случае неизвестно, поэтому разложим её на две составляющие: Н_B и R_B. Все нагрузки действуют перпендикулярно продольной оси балки, поэтому из уравнения проекций на горизонтальную ось х получается, что составляющая Н_B=0. Запишем уравнения моментов сил относительно опоры А



Отсюда





Запишем уравнения моментов сил относительно опорыB



Отсюда



Для проверки правильности вычисления опорных реакций составим уравнение проекций всех сил на вертикальную ось у:





Последнее уравнение обращается в тождество, следовательно, величина реакций и их направление определены правильно.

2. Для изгибающих моментов и поперечных сил разобьём балку на участки. Участки пронумеруем слева-направо. Рассчитываемая балка имеет четыре участка I – IV.

При составлении аналитических выражений для и в пределах I-го участка проведём сечение с абсциссой и рассмотрим равновесие левой части консоли. На эту часть балки действует нагрузка q=15 кН/м, поэтому поперечная сила Q_I= -q·x₁, а изгибающий момент M_I= -q·x₁·x₁/2.

Вычислим ординаты в начале и в конце участка:

при х₁ = 0 Q_I= 0,

M_I= 0.

при х₁ = 0,2 м Q_I= - q·0,2= - 3 кН,

M_I= - q·0,2·0,1= - 0,3 кН·м.

Для составления аналитических выражений и в пределах II-го участка проводим сечение с абсциссой и рассматриваем равновесие левой части балки.

Q_II= -q·0,2 - R_A= -41,83 кН − поперечная сила в пределах II-го участка постоянна.

M_II= -q·0,2(0,1+x₂) -R_A·x₂.

Это уравнение прямой линии, для её построения достаточно определить ординаты изгибающего момента в двух точках (на концах участка):

при х₂ = 0 M_II= - q·0,2·0,1= - 0,3 кН·м,

при х₂ = 0,1 м M_II= -q·0,2·0,2 -R_A·0,1= - 4,48 кН·м.

Для III-го участка (сечение с абсциссой )

Q_III= -R_B+q·0,5= -49,33+15·0,5= - 41,83 кН − поперечная сила в пределах III-го участка постоянна.

M_III=R_B·(0,5+x₃) -q·0,5 (0,25+x₃).

Это уравнение параболы. Для её построения определяем моменты:

при х₃ = 0 M_III=R_B·0,5 -q·0,5 0,25=22,79 кН·м.

при х₃ = 0,4 м M_III=R_B·0,9 -q·0,5·0,65=39,52 кН·м.

Для IV-го участка (сечение с абсциссой ) поперечная сила равна:

Q_IV= - R_B+qx₄. - прямая линия.

M_IV=R_B·x₄ - q·x₃·x₃/2. - это уравнение параболы.

Вычислим ординаты в начале и в конце участка:

при х₄= 0 Q_IV= - R_B= - 49,33 кН,

M_IV=0;

при х₄ = 0,5 м Q_IV= - R_B+q·0,5= - 41,83 кН,

M_IV=R_B·0,5 -q·0,5·0,25=22,79 кН·м

При построении эпюр Q_x и М_xвыбираем масштаб и откладываем положительные значения ординат эпюр от нулевой линии вверх, а отрицательные вниз. После построения эпюр устанавливаем наибольшие значения (по абсолютной величине) поперечной силы Q_max=49,33 кН и изгибающего момента =39,52 кН·м.

Сечение С является «опасным», в нем Qx=41,83 кН и изгибающий момент =39,52 кН·м кН·м.




3. Подбор поперечного сечения балки проводим в соответствии с условием задания в двух вариантах:

а) подбор сечения прямоугольного профиля деревянной балки:



для прямоугольного сечения (при h/b=2)



Тогда



Принимаем b=20 cм, h=40 см.

б) подбор сечения двутаврового профиля:



Из таблицы сортамента проката этому значению соответствует двутавр № 22а, для которого Wн.о.=Wx=254 см³.

Основные размеры и геометрические характеристики профиля:

высота h=220 мм; толщина стенки d=5,4·мм; момент инерции сечения относительно нейтральной оси Iн.о.=Ix=2790 см⁴; статический момент половины площади сечения относительно нейтральной оси Sн.о.=Sx=143 см³.

4. Проверка стальной балки на прочность:

а) проверка по рабочим нормальным напряжениям





т. е. условие прочности выполняется.

б) проверка по максимальным касательным напряжениям (формула Д.И. Журавского):





Таким образом, условие прочности выполняется.