Эконометрика. Задача. Временные ряды

• Название: Задача. Временные ряды
• Анкор: Эконометрика
• Дата: 16.02.2023
• Размер: 0.67 Mb.
• Имя файла: 23c80a8bfe99982bb3b62e0a810c7a6a.doc
• Тип: Задача; #940138

Задача.
Временные ряды

Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии (_{ }) жителями региона за 16 кварталов.

Требуется:

1. Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.

2. Построить аддитивную модель временного ряда (для нечетных вариантов) или мультипликативную модель временного ряда (для четных вариантов).

3. Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

Таблица 3.1 – Исходные данные

1	5,6	9	8,2
2	4,7	10	5,6
3	5,2	11	6,4
4	9,1	12	10,8
5	7,0	13	9,1
6	5,1	14	6,7
7	6,0	15	7,5
8	10,2	16	11,3

Решение:

1. Строим автокорреляционную функцию.

Автокорреляция уровней ряда – это корреляционная связь между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L – лаг). Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L = 1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-го порядка. Если L = 2, то коэффициент автокорреляции 2-го порядка и т.д. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции, равный n/4. Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг (I), при котором автокорреляция (rt,t-L) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда.

Осуществляем расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка. Предварительно сдвигаем исходный ряд на 1 уровень.

Таблица 3.2 – Расчетная таблица

t
1	5,6	4,7	26,32	31,36	22,09
2	4,7	5,2	24,44	22,09	27,04
3	5,2	9,1	47,32	27,04	82,81
4	9,1	7,0	63,70	82,81	49,00
5	7,0	5,1	35,70	49,00	26,01
6	5,1	6,0	30,60	26,01	36,00
7	6,0	10,2	61,20	36,00	104,04
8	10,2	8,2	83,64	104,04	67,24
9	8,2	5,6	45,92	67,24	31,36
10	5,6	6,4	35,84	31,36	40,96
11	6,4	10,8	69,12	40,96	116,64
12	10,8	9,1	98,28	116,64	82,81
13	9,1	6,7	60,97	82,81	44,89
14	6,7	7,5	50,25	44,89	56,25
15	7,5	11,3	84,75	56,25	127,69
16	11,3	0,0	0,00	127,69	0,00
Сумма	118,5	112,9	818,05	946,19	914,83
Среднее	7,41	7,06	51,13	59,14	57,18

Рассчитываем выборочные дисперсии:





Рассчитываем среднеквадратические отклонения:





Линейный коэффициент автокорреляции 1-го порядка:



Таким образом, связь между рядами слабая и обратная.

Осуществляем расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка.

Таблица 3.3 – Расчетная таблица

t
1	5,6	5,2	29,12	31,36	27,04
2	4,7	9,1	42,77	22,09	82,81
3	5,2	7,0	36,40	27,04	49,00
4	9,1	5,1	46,41	82,81	26,01
5	7,0	6,0	42,00	49,00	36,00
6	5,1	10,2	52,02	26,01	104,04
7	6,0	8,2	49,20	36,00	67,24
8	10,2	5,6	57,12	104,04	31,36
9	8,2	6,4	52,48	67,24	40,96
10	5,6	10,8	60,48	31,36	116,64
11	6,4	9,1	58,24	40,96	82,81
12	10,8	6,7	72,36	116,64	44,89
13	9,1	7,5	68,25	82,81	56,25
14	6,7	11,3	75,71	44,89	127,69
15	7,5	0,0	0,00	56,25	0,00
Сумма	107,2	108,2	742,56	818,50	892,74
Среднее	7,15	7,21	49,50	54,57	59,52

Рассчитываем выборочные дисперсии:





Рассчитываем среднеквадратические отклонения:





Линейный коэффициент автокорреляции 2-го порядка:



Таким образом, связь между рядами слабая и обратная.

Осуществляем расчет коэффициента автокорреляции 3-го порядка.

Таблица 3.4 – Расчетная таблица

t
1	5,6	9,1	50,96	31,36	82,81
2	4,7	7,0	32,90	22,09	49,00
3	5,2	5,1	26,52	27,04	26,01
4	9,1	6,0	54,60	82,81	36,00
5	7,0	10,2	71,40	49,00	104,04
6	5,1	8,2	41,82	26,01	67,24
7	6,0	5,6	33,60	36,00	31,36
8	10,2	6,4	65,28	104,04	40,96
9	8,2	10,8	88,56	67,24	116,64
10	5,6	9,1	50,96	31,36	82,81
11	6,4	6,7	42,88	40,96	44,89
12	10,8	7,5	81,00	116,64	56,25
13	9,1	11,3	102,83	82,81	127,69
14	6,7	0,0	0,00	44,89	0,00
Сумма	99,7	103,0	743,31	762,25	865,70
Среднее	7,12	7,36	53,09	54,45	61,84

Рассчитываем выборочные дисперсии:





Рассчитываем среднеквадратические отклонения:





Линейный коэффициент автокорреляции 3-го порядка:



Таким образом, связь между рядами слабая и прямая.

Осуществляем расчет коэффициента автокорреляции 4-го порядка.

Таблица 3.5 – Расчетная таблица

t
1	5,6	7,0	39,20	31,36	49,00
2	4,7	5,1	23,97	22,09	26,01
3	5,2	6,0	31,20	27,04	36,00
4	9,1	10,2	92,82	82,81	104,04
5	7,0	8,2	57,40	49,00	67,24
6	5,1	5,6	28,56	26,01	31,36
7	6,0	6,4	38,40	36,00	40,96
8	10,2	10,8	110,16	104,04	116,64
9	8,2	9,1	74,62	67,24	82,81
10	5,6	6,7	37,52	31,36	44,89
11	6,4	7,5	48,00	40,96	56,25
12	10,8	11,3	122,04	116,64	127,69
13	9,1	0,0	0,00	82,81	0,00
Сумма	93,0	93,9	703,89	717,36	782,89
Среднее	7,15	7,22	54,15	55,18	60,22

Рассчитываем выборочные дисперсии:





Рассчитываем среднеквадратические отклонения:





Линейный коэффициент автокорреляции 4-го порядка:



Таким образом, связь между рядами умеренная и прямая.
Таблица 3.6 – Корреляционная функция

Лаг	Коэффициент автокорреляции
1	-0,201
2	-0,400
3	0,131
4	0,436

Делаем вывод о наличии сезонных колебаний. Максимальный коэффициент автокорреляции 4-го порядка (0,430) свидетельствует о наличии сезонной компоненты в исследуемом ряду динамики.

2. Строим аддитивную модель временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий:



Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.

Осуществляем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

- найдем скользящие средние (гр. 3 табл. 3.7). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты;

- найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 4 табл. 3.7).

Таблица 3.7 – Оценка сезонной компоненты

t		Скользящая средняя	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты (центрированная скользящая средняя - фактическое значение за период)
1	5,6	-	-	-
2	4,7	5,2	-	-
3	5,2	6,3	5,8	-0,55
4	9,1	7,1	6,7	2,38
5	7,0	7,1	7,1	-0,08
6	5,1	6,0	6,6	-1,45
7	6,0	7,1	6,6	-0,57
8	10,2	8,1	7,6	2,58
9	8,2	8,0	8,1	0,13
10	5,6	6,7	7,4	-1,77
11	6,4	7,6	7,2	-0,77
12	10,8	8,8	8,2	2,62
13	9,1	8,9	8,8	0,28
14	6,7	7,8	8,3	-1,62
15	7,5	8,5	8,1	-0,63
16	11,3	-	-	-

Используем полученные оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Таблица 3.8 – Расчет сезонной компоненты

Порядковый номер квартала	Порядковый номер квартала
	1	2	3	4
1			-0,55	2,38
2	-0,08	-1,45	-0,57	2,58
3	0,13	-1,77	-0,77	2,62
4	0,28	-1,62	-0,63
Всего за период	0,333	-4,833	-2,517	7,583
Средняя оценка сезонной компоненты	0,111	-1,611	-0,839	2,528
Скорректированная сезонная компонента	0,064	-1,658	-0,886	2,481

Исключаем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины T + E = Y - S (гр. 4 табл. 3.9). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 3.9 – Расчет тенденции и случайной компоненты

t
1	5,536
2	6,358
3	6,086
4	6,619
5	6,936
6	6,758
7	6,886
8	7,719
9	8,136
10	7,258
11	7,286
12	8,319
13	9,036
14	8,358
15	8,386
16	8,819

Таблица 3.10 – Результаты применения функции ЛИНЕЙН()

Угловой коэффициент  	0,200	5,704	Свободный член  
Стандартная ошибка  	0,022	0,210	Стандартная ошибка  
Коэффициент детерминации  	0,859	0,401	Стандартная ошибка регрессии S
F-статистика Фишера	84,973	14	Число степеней свободы v
Регрессионная дисперсия	13,642	2,248	Остаточная дисперсия

Линейная функция тренда имеет вид:



Таким образом, аддитивная модель временного ряда выглядит следующим образом:



3. Прогнозируем на 2 квартала вперед: