задачи геометрия. Задачи по гиометрии. Задачи с решениями по геометрии Шар, радиус которого 13см пересечен плоскостью на расстоянии 12см от центра. Найдите площадь сечения
 Скачать 0.74 Mb.
|
|
Объем прямоугольного параллелепипеда равен 2520 см(в кубе),а площадь основания 168 см(в квадрате),и длина на 2 см больше ширины. Найдите сумму длин всех ребер параллелепипеда. Даже рисунок не понадобится, потому что решается устно. Итак что такое объем параллелепипеда? Vпар=Sосн*H, где H одно из наших ребер и их всего 4. Покажу на рисунке позже. H=2520/168=15 см. Итак мы нашли одно ребро. осталось остальные два, которые получаются их основания. Sосн=a*b; где a,b - стороны основания параллелепипеда. Известно что a=b+2 Значит верным будет: b*(b+2)=168 b2+2b-168=0 Решение квадратных уравнений, быстро и просто. Ответ: b1 = 12; b2 = -14 (не может быть так как отрицательное) Отсюда b=12; a=12+2=14 Теперь рисунок.  Для наглядности, я специально обозначил ребра равные a красным цветом. Ребра b зеленым, а высота H осталась черным. Получается что всего в параллелепипеде по 4 каждого ребра. То есть логично записать что сумма будет равна: P=4*(a+b+H)=4*(12+14+15)=41*4=164 Площадь основания пирамиды равна 108 дм2, а ее высота — 24 дм. Сечения пирамиды, параллельные плоскости основания, имеют площади 48 и 75 дм3. Найдите расстояние между плоскостями сечений.  Итак мы имеет пирамиду ABCS (нарисовал треугольную, потому что в этом задании нет разницы) Начертим также два сечения DFE и D1F1E1 параллельные плоскости ABC. Теперь мы видим что у нас получились подобные пирамиды. Давай разберем по порядку: 1) Пирамида DFES будет подобна пирамиде ABCS. Согласно правилу подобия площадей S(ΔABC)/S(ΔDFE)=k2 Найдя коэффициент подобия, мы сможем найти высоту пирамиды DFES. 108/48=2,25 → k=√(2,25)=1.5 Теперь вспомним, что высоты, стороны у подобных фигур в отношении получают k=h1/h2 Итак наша высота равна 24/h(DFES)=1.5 → h(DFES)=24/1.5=16 2) Точно также пирамида D1F1E1S подобна ABCS. Найдем ее высоту, таким же способом. k=√(108/75)=1.2 24/h(D1F1E1S)=1.2 → h(D1F1E1S)=24/1.2=20 3) Нам нужно расстояние от плоскости DFE до D1F1E1. Оно будет равно 20-16=4 дм. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с углом при вершине α и радиусом описанной окружности R. Две неравные боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом β. Найдите боковую поверхность пирамиды.  На рисунке показана пирамида ABCS, из вершины S пр ведена апофема SK на AC равнобедренного треугольника при основании. Все это нам потребуется для решения данной задачи. Итак радиус описаной окружности может быть найден как: R=a/2sinα → CB=a=R*2sinα Теперь зная сторону CB найдем остальные стороны AC и AB, которые равны между собой. ∠ABC=∠ACB=(180-α)/2 AC=AB=R*2sin[(π-α)/2] Давай запишем какие площади составляют боковую поверхность: Sбок.пов.=S(ΔACS)+S(ΔBCS)+S(ΔABS) Теперь нужно расписать как найти каждую из них. S(ΔACS)=SK*AC S(ΔBCS)=AB*BS/2 S(ΔABS)=CB*BS/2 В правильной треугольной пирамиде отрезок, соединяющий основание высоты пирамиды с серединой апофемы, равен m и образует с высотой пирамиды, угол β. Найдите полную поверхность пирамиды.  На рисунке изображена пирамида ACBO, OM-высота, OK-Апофема. Точка L середина апофемы OK, LM образует с высотой OM угол β. ΔOMK прямоугольный, следовательно ML является медианой этого треугольника, значит OL = LM = LK = m OK=2m ΔOLM равнобедренный, следовательно ∠OML = ∠LOM, а это значит что апофема образует с высотой угол β (на рисунке показано). Sосн=3*r2*√(3) Sбок=p•a/2; где p - полупериметр основания, a - апофема OK. В основании нашей пирамиды лежит правильный треугольник, стороны которого равны. Найдем сторону основания, для этого воспользуемся уже имеющимися данными. Как известно MK является радиусом вписанной в основание окружности. r=AB*√(3)/6 → AB=6r/√(3) Найдем чему равен r, зная что sinβ=MK/OK →OK=MK/sinβ=2m/sinβ Sосн=(2m/sinβ)2*3*√(3) AB=6*2m/sinβ*√(3)=12m/sinβ*√(3) p=3*12m/sinβ*√(3)=36m/sinβ*√(3) Sбок=36m*2m/sinβ*√(3) Sполн=[72m2/sinβ*√(3)]+(2m/sinβ)2*3*√(3) Цилиндр катится по некоторой плоскости .Какую фигуру образует при этом ось цилиндра? Плоскость! А точнее прямоугольник! Высота цилиндра 8см,диаметр основания 10см.Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4см от нее.  Итак на рисунке я показал сечение ABCD, параллельное оси. OK=4 см. OA=OB=Rокр=5 Площадь сечения равна AB*BC, где BC=H=8 см. Остается найти AB, которая является основанием равнобедренного треугольника с высотой OK. AB=AK+KB AK2=52-42=9 AK=3 AK=KB AB=3*2=6 см. Sсеч=6*8=48 см2 Радиус цилиндра r,а высота h.Найдите площадь осевого сечения цилиндра плоскостью,⊥ к основанию и отсекающей от окружности основания дугу в 60 градусов.  Даже рисунок практически не менял! Вот цилиндр, дуга AB равна 60 градусов. Линия AB является хордой стягивающей дугу AB. Она равна: m=2R•sin(α/2), где α-угол образующий дугу. m=2R•0.5=R R=AB Значит площадь сечения ABCD=R*H Осевое сечение цилиндра − квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра. Sсеч=d2=Q ⇒ d=√Q ⇒ R=(√Q)/2 Sосн=πR2=πQ/4 Как найти площадь бок. поверхности правильной треугольной пирамиды, если сторона основания = 2см, а двугранные углы по 60 градусов?  Если двугранные углы по 60 градусов, то это значит что BC=SC=SB, а это значит что боковую поверхность образуют три равносторонних треугольника. Sтреуг.=a*√(3)/2=2*√(3)/2=√(3) Sбок.пов=3*√(3) Угол M при основании трапеции MKPT равен 45o, MK=6√2, MT=10, KP=4. Найдите сумму квадратов диагоналей трапеции. Решается довольно таки просто! Нарисуем рисунок, чтобы наглядно было понятно.  KD - высота. Так как угол M равен 45o, ∠MKD=180-90-45=45o, а это значит что MD=KD. ΔMKD прямоугольный, а значит стороны относятся по теореме Пифагора как: MK2=MD2+KD2 Найдем чему равно MD. (6√2)2=2MD2 MD2=36 MD=6 Теперь зная что MT=10, найдем DT=10-6=4. А это значит что наша трапеция будет прямоугольной, т.е. одна из боковых сторон PT ⊥ MT Найдем сначала диагональ KT, как видишь это просто зная что KD=PT=6 KT2=16+36=52 KT=√52 Теперь найдем диагональ MP, которая также находится по теореме Пифагора. MP2=MT2+PT2 MP2=100+36=136 MP=√136 Найти нужно сумму квадратов диагоналей трапеции: 52+136=188 Найдите периметр ромба с наибольшей площадью если сумма длин его диагоналей равна 10. Sр=d1*d2/2; где d1,d2 - диагонали ромба. d1+d2=10 А теперь, маленький секрет! Когда будет произведение чисел больше, если в сумме они составляют n. Ответ простой, когда каждое из них будет равно n/2. Следовательно d1=10/2=5 Sр=5*5/2=12,5 Мы нашли площадь, хотя нам этого и не требовалось. Теперь нам нужен его периметр! Для этого по Пифагору: a2=2.52+2.52 a=2.5*√2 Всего у ромба 4 стороны, значит P=4*2,5*√2=10√2 Основание пирамиды- правильный треугольник со стороной а. 2 боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания , а третья наклонена к ней под углом α. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, как тут вообще решать, если нет никаких числовых данных?  ABC - основание пирамиды ABCS, BD - высота в равностороннем ΔABC. SD - опофема одной из боковых сторон. Площадь пирамиды равна площади основания ABC плюс площади боковых сторон. Sосн=BD*AC=a*BD BD2=BC2-DC2 (Это по теореме Пифагора) BC=a DC=a/2 BD2=a2-a2/4=3a2/4 BD=a√3/2 Sосн=a2√3/2 Теперь для того чтобы найти площадь боковой поверхности, внимательно рассмотрим все ее составляющие. ΔSAC можно найти по формуле: SD*AC=SD*a ∠DBC=90o, а ∠SDB=α. Решаем по теореме синусов: SD/sin90=SB/sinα=BD/sin(90-α) sin(90-α) по формулам приведения равен cosα SD/sin90=BD/cosα SD=DB*sin90/cosα SD=a√3/2*cosα S(ΔSAC)=a2√3/2*cosα Осталось найти площади ΔSBC, ΔSBA которые равны между собой так как имеют одинаковые стороны при основании и общее ребро SB. Эти треугольники также прямоугольные, так как перпендикулярны плоскости основания. S(ΔSBC)=CB*SB=SB*a SB/sinα=BD/cosα SB=(a√3/2)*sinα/cosα=(a√3/2)*tgα S(ΔSBC)=(a2√3/2)*tgα Площадь осевого сечения цилиндра равна 8 м^2,площадь основания -12м^2.Вычислите площ.сеч., параллельного оси и отстоящего от нее на 1 м.  Итак у нас имеется цилиндр, у которого площадь основания равна 12 м2, так как основание цилиндра составляют две окружности, найдем ее радиус зная что площадь каждой окружности равна 6 м2. 6=πR2 R=√(6/π) Теперь зная площадь осевого сечения ABCD можно найти высоту OO1, зная что Sос.сеч=H*2R 8=2√(6/π) * H H=4/√(6/π) Мы уже решали с тобой задачу на нахождение площади плоскости. находящейся на расстоянии от осевого сечения, вспомни там мы сначала нашли сторону ML, а затем умножили на высоту. Для этого мы пользовались теоремой Пифагора: R2=OS2+MS2 ML=2MS MS2=(6/π)-1 MS=√((6-π)/π) ML=2√((6-π)/π) Sсеч2=2√((6-π)/π)*4/√(6/π) Отрезок одним из своих концов скользит по окружности, оставаясь перпендикулярным к ее плоскости. Какая фигура при этом получится? Ответ : Цилиндрическая поверхность. Но как это доказать Отрезок имеет начало и имеет конец. То есть он имеет длину равную h. Если такой отрезок будет скользить по окружности одним из концов получится цилиндр, так как он является перпендикулярным к плоскости окружности это будет прямой цилиндр. А сам отрезок будет являться образующей этого цилиндра. В равностороннем цилиндре точка окружности верхнего основания соединена с одной из точек окружности нижнего основания. Угол между радиусами, проведёнными в эти точки, равен 30°. Определить угол между проведённой прямой и осью цилиндра.  Очень просто, для того чтобы понять достаточно одного рисунка. Так как можно рассматривать отрезок AB как вектор, то так как между высотой и радиусом основания лежит угол 90 градусов, поэтому по сумме углов треугольника 180-90-30=60 градусов. Периметры двух подобных четырехугольников относятся как 2:3.Найдите отношение их площадей Периметры подобных фигур относятся как P1/P2=k А площади S1/S2=k2 k=2/3 S1/S2=4/9 Найдите длину высоты прямоугольного треугольника, опущенной из вершины прямого угла, если она делит гипотенузу на отрезка, равные 3 и 27 см  Составьте уравнение, обозначить нужно высоту за x. Значит площадь прямоугольного треугольника равна: (3+27)*X=30X, по правилу высота умноженная на прилежащую сторону. Также площадь найти можно умножив катеты AB и BC и разделить на 2. Так как высота BD образует новые прямоугольные треугольники ADB и BDC, то их длина найдется по теореме Пифагора. Остается только подставить: 30X=√(x2+272)*√(x2+32)/2 И найти x В конус вписан шар объемом 4/3п см в кубе. Найдите объем конуса, если его высота=3 см шар объемом 4/3п вписан в конус, то есть радиус этого шара равен радиусу основания конуса. V=(4πr3)/3 =4/3π 12=3π*4π*r3 1=π2*r3 r3=1/π2 r=3√(1/π2)=π-2/3 Sокр=πr2 Vкон=Sокр*H Sокр=π*[π-2/3]2=π-(1/3)=1/(3√π) Vкон=3/(3√π) Стороны основания правильной треугольной пирамиды а, боковое ребро b, определите высоту пирамиды.  Если пирамида правильная в основании лежит треугольник с равными сторонами. Чтобы найти высоту OO1 нужно найти AO1, которая согласно правилу равна радиусу описанной вокруг треугольника окружности. R=a*√(3)/6 H2=b2-[a*√(3)/6]2 - по теореме Пифагора. H2=b2-(3a2/36)=b2-(a2/12) H=√(b2-(a2/12)) Если полная поверхность правильной треугольной призмы равна 8√3,а боковое ребро √3, то объём этой призмы равен.  У нас пирамида ABCO. Высота OO1 падает в центр вписанной окружности равностороннего треугольника. Площадь такой пирамиды найдем как площадь основания √(3)*a2/4 и площадью боковой поверхности которую можно выразить как 3 * на площадь треугольника AOC. S(AOC)=AC*OD Пусть a - сторона основания. b - боковое ребро √3 Тогда AD=√(3-[a2/4]) S(AOC)=√(3-[a2/4]) * a Sбок=3* √(3-[a2/4]) * a Sполн=[3* √(3-[a2/4]) * a] + √(3)*a2/4 = 8√(3) Отсюда найдешь a Потом найдешь высоту пирамиды. А затем объем по формуле: ha2/4√3, где h - высота пирамиды (формула работает только для правильных пирамид) Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна 36. Найти длину гипотенузы  Пусть ABC равнобедренного прямоугольный треугольник, у которого катеты равны, так как гипотенуза не может быть равна катету. Получается что площадь такого треугольника можно найти по формуле c*b/2, так как c=b по условию, то найдем катеты: с2=36*2 с=6√2 Тогда гипотенуза равна: a2=2*с2 a2=2*36*2=4*36 a=2*6=12 см Из всех правильных треугольных призм, имеющих объем ν найдите призму с наименьшей суммой длин всех ее ребер . чему равна длина стороны основания этой призмы. Правильная треугольная призма, представляет собой призму в основании которой лежит правильный треугольник, всего у этой призмы три ребра. Начнем с того, как найти объем такой призмы. Vпр=Sосн*H. В нашем случае H равна ребру, так как призма не наклонная, а прямая. Sосн=Vпр/H Sосн=a2•√(3)/4, здесь a длина стороны равностороннего треугольника при основании. a2=4Sосн/√(3)=4Vпр/√(3)*H Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите что любые 3 из них не лежат в одной плоскости Если любые три будут лежать в одной плоскости то первое утверждение А, В, С, D не лежат в одной плоскости не верно. На трех точках построить можно плоскость! Как изменится площадь боковой поверхности цилиндра если: а) высоту увеличить в 2 раза б) радиус его основания увел в 3 раза? Sбок=2πR*H а) Увеличив высоту в 2 раза, площадь увеличится в 2 раза. б) С радиусом тоже просто тут, в 3 раза увеличится площадь. Вычислите S пов. цилиндра по следующим данным: 1) диаметр основания равен 12 см , высота= 3,5 см. 2) радиус основ.=18 см, высота=2,5 дм Sцин=Sбок+2*Sосн 1) Sцин=2π*(12/2)*2.5+2*π*6*6=42π+72π=114π 2) Sцин=2π*(18/2)*2.5+2*π*9*9=45π+162π=207π Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник; боковые грани, проходящие через его катеты, перпендикулярны к плоскости основания. Наклонные боковые ребра равны 2 дм и 3 дм, они образуют с плоскостью основания углы, которые относятся как 2:1. Найти объем пирамиды.  Основание пирамиды ABC, OB - высота пирамиды, перпендикулярна плоскости основания. Пусть OB=2, тогда угол OBA обозначим как 2α, а ребро OC=3, угол OCA=α Объем пирамиды равен произведению площади основания и высоты пирамиды поделенное на 3. Vп=Sосн*H/3 Найдем высоту по теореме синусов. 2/sin90 = H/sin2α 3/sin90=H/sinα т.к. sin90=1 H=2*sin2α H=3*sinα 3*sinα=2*sin2α … |