задание 2. Задание 2 Организация и методология сложных систем. Моделирование работы систем массового обслуживания Цель работы

• Название: Задание 2 Организация и методология сложных систем. Моделирование работы систем массового обслуживания Цель работы
• Дата: 04.01.2022
• Размер: 123.33 Kb.
• Имя файла: задание 2.docx
• Тип: Лекции; #324129

Задание 2

«Организация и методология сложных систем.

Моделирование работы систем массового обслуживания»

Цель работы: Изучить методику моделирования систем массового обслуживания, оценить основные характеристики эффективности функционирования СМО.
Задание:

1. 
   Изучить теоретический материал, приведенный в лекции. Кратко дать понятия «входной поток», «механизм обслуживания», «очередь заявок», «каналы».
   
2. 
   Оценить основные характеристики эффективности функционирования СМО, решив предложенные задания по варианту.
   
3. 
   Лабораторную работу оформить в виде отчета 14pt, 1.5 интервал, выравнивание по ширине. В отчете указать название, цели и задачи лабораторной работы, ход работы, полученные выводы.
   

Ход выполнения работы:

Обслуживаемый объект в теории систем массового обслуживания называется требованием или заявкой. В общем случае под требованием (заявкой) обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности. Роль требований или заявок выполняют клиенты, посетители, покупатели, документы, товары, суда и т.д. Средства, обслуживающие требования (заявки), называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Роль каналов обслуживания играют кассиры, специалисты, каналы телефонной связи, товароведы, компьютеры, мастера-ремонтники, погрузочно-разгрузочные точки на базах и складах и т.д. Требования (заявки) поступают в систему массового обслуживания (СМО) обычно не регулярно, а случайно, образуя так называемый случайный поток требований (заявок). Обслуживание заявок, вообще говоря, также продолжается какое-то случайное время. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что СМО оказывается загруженной неравномерно: в какие-то периоды времени скапливается очень большое количество заявок (либо они становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными), в другие же периоды СМО работает с недогрузом или простаивает.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами.

Основной задачей теории массового обслуживания является изучение режима функционирования обслуживающей системы и исследование явлений, возникающих в процессе обслуживания.

Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоев каналов обслуживания.

В качестве показателей эффективности работы СМО используются:

- абсолютная пропускная способность системы (А), т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

-относительная пропускная способность (Q), т.е. средняя доля поступивших заявок, обслуживаемых системой;

-вероятность отказа (Рот), т.е. вероятность того, что заявка покинет СМО не обслуженной;

- среднее число занятых каналов (£);

- среднее число заявок в СМО ( L c.);

- среднее время пребывания заявки в системе (Тс);

- среднее число заявок в очереди (4 ) - длина очереди;

- среднее число заявок в системе (L_сист);

- среднее время пребывания заявки в очереди ( Т₀ );

- среднее время пребывания заявки в системе (T_сист)

- степень загрузки канала ( Р_зан ), т.е. вероятность того, что канал занят;

- среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

- среднее время ожидания обслуживания;

- вероятность того, что число заявок в очереди превысит определенное значение и т.п.

1. 
   Моделирование и анализ одноканальной СМО
   

Рассмотрим одноканальную СМО с отказами и показатели ее эффективности (основные характеристики ее работы, операционные характеристики).

Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживании имеет интенсивность р. Предполагается, что все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, будут простейшими. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

В качестве показателей эффективности одноканальной СМО с отказами будем рассматривать:

А - абсолютную пропускную способность СМО;

Q - относительную пропускную способность;

Р_отк - вероятность отказа.

Размеченный граф состояний представлен на рисунке 1.



Рисунок 1. Одноканальная СМО с отказами

S₀- канал обслуживания свободен;

S1 - канал обслуживания занят:

λ - интенсивность потока заявок;

µ - интенсивность потока обслуживания.

В предельном стационарном режиме система алгебраических уравнений имеет вид:



т.е. система вырождается в одно уравнение.

Учитывая, что р_о+p₁ = 1, найдем предельные вероятности состояний:



которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S₀, когда канал свободен, и S1, когда канал занят, т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность Q системы и вероятность отказа:



Абсолютная пропускная способность равна:

A=λQ

Пример. В парикмахерской работает один мастер. Время обслуживания распределено по показательному закону со средним 10 мин. Клиент, пришедший в парикмахерскую, когда мастер занят, не ожидает обслуживания, а покидает парикмахерскую. Поток клиентов - простейший с интенсивностью 8 клиентов/ч. Найти показатели эффективности работы данной парикмахерской.

Решение. Имеем λ=8 (клиентов/ч.), среднее время обслуживания to6- 12(мин) = 0,2(ч.). Следовательно, интенсивность потока обслуживании µ= = 5(1/ч). По рассмотренным выше формулам получаем, относительная пропускная способность Q=0,38, то есть в среднем 38% поступающих клиентов будут обслужены. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит Р_ОТК=0,62 (т.е. 0.62 %). Абсолютная пропускная способность СМО

А=8* 0,38=3,04, то есть в среднем в час будут обслужены 3 клиента.

Аналогично решить задачи для своего варианта.

1. Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин с одним каналом (одной группой проведения осмотра). На осмотр и выявление дефектов каждой машины затрачивается в среднем t часа. На осмотр поступает в среднем m машин в сутки. Потоки заявок и обслуживании - простейшие. Если машина, прибывшая в пункт осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт осмотра необслуженной. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра и сделайте вывод об эффективности его работы.

Варианты распределяются в зависимости от номера студента в списке группы следующим образом:

№ в списке	t	m	№ в списке	t	m	№ в списке	t	m
1	0.5	36	12	0.5	25	23	1.5	36
2	0.6	37	13	0.6	26	24	1.4	35
3	0.7	38	14	0.7	27	25	1.3	34
4	0.8	39	15	0.8	28	26	1.2	33
5	0.9	40	16	0.9	29	27	1.1	32
6	1.0	41	17	1.0	30	28	1.0	31
7	1.1	42	18	1.1	31	29	0.9	30
8	1.2	43	19	1.2	32	30	0.8	29
9	1.3	44	20	1.3	33	31	0.7	28
10	1.4	45	21	1.4	34	32	0.6	27
11	1.5	46	22	1.5	38	33	0.5	26
12	1.4	52	33	1.6	37	34	0.4	25

2. Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию, на вход которой поступает простейший поток вызовов с интенсивностью t вызовов/мин. Средняя продолжительность разговора m мин.; время разговора имеет показательное распределение. Найти предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания СМО. Сравнить пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если разговор в точности 3 мин., а заявки шли одна за другой регулярно, без перерывов.

№ в списке	t	m	№ в списке	t	m	№ в списке	t	m
1	0.4	3	12	0.5	9	23	1.5	3
2	0.6	5	13	0.6	8	24	1.4	3
3	0.7	6	14	0.7	4	25	1.3	4
4	0.8	8	15	0.8	2	26	1.2	4
5	0.9	2	16	0.9	6	27	1.1	5
6	1.0	6	17	1.0	3	28	1.0	8
7	1.1	4	18	1.1	3	29	0.9	7
8	1.2	5	19	1.2	5	30	0.8	6
9	1.3	8	20	1.3	4	31	0.7	5
10	1.4	7	21	1.4	9	32	0.6	4
11	1.5	4	22	1.5	4	33	0.5	3
12	1.4	2	33	1.6	2	34	0.4	8

2. Моделирование и анализ замкнутых СМО

Замкнутая система массового обслуживания -это система массового обслуживания, в которой есть фиксированное число источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в «число источников» - раз, чем поток заявок от одного источника. Иными словами, если работа источника заявок не зависит от состояния СМО, то такие СМО называются открытыми (разомкнутыми), т.е. это такие СМО, в которых заявки поступают извне. Если источник меняет свою работу в зависимости от состояния, СМО называется замкнутой (есть обратная связь).

Рассмотрим следующий пример.

Бригада из m работников обслуживает n единиц оборудования (m
t̅_об = , где

µ - интенсивность потока обслуживаний.
Тогда граф состояний для замкнутой СМО выглядит следующим образом:



Пусть λ - интенсивность потока неисправностей одной единицы оборудования.

Перечислим состояния:

So-все оборудование исправно, работники свободны;

S1-одна единица оборудования неисправна, один работник его ремонтирует;

...

Sm-m единиц оборудования неисправны, m работников их ремонтируют;

...

Sn – n единиц оборудования неисправны, m единиц оборудования ремонтируются, а (n-m) ожидают ремонта.

Тогда предельные вероятности состояний:

Где:

Таблица 1

№ п/п	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1	Показатель (коэффициент) нагрузки системы, порождаемой каждым источником заявок	ρ = λ/μ
2	Показатель (коэффициент) нагрузки системы, порождаемой всеми i источниками заявок	iρ = iλ/μ
3	Вероятность того, что канал свободен	p0
4	Вероятность состояний СМО	pk= pk.p0;k=1,…i
5	Вероятность того, что канал занят	рзан = 1 – р0
6	Абсолютная пропускная способность СМО	A = pзан μ = (1 - p0)μ
7	Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок	v=A=pзанμ = (1-p0)μ
8	Относительная пропускная способность	Q = 1
9	Среднее число заявок в системе (т.е. среднее число источников, находящихся в пассивном состоянии)	N̅сис=N̅пас =i - =
10	Средняя интенсивность среднего суммарного входящего потока заявок	Λ̅= (1- N̅пас) . λ
11	Среднее число заявок, находящихся под обслуживанием	Nоб =1- p0
12	Среднее число заявок, находящихся в очереди	N̅оч=N̅сис= N̅об =i - (1- p0)(1+ )
13	Среднее время ожидания заявки в очереди	Tоч= N̅сис
14	Среднее время пребывания заявки в системе	Tсис=Tоч+Tоб= N̅сис

Работу замкнутой СМО выполнить по варианту.

В состав оборудования вычислительного центра входит n независимо круглосуточно работающих ЭВМ. Обслуживание ЭВМ производится группой из m специалистов. С учетом 8 часового рабочего дня при трехсменной работе приходится планировать всего 3m человек. Каждая ЭВМ может выйти из строя λ раз в месяц. Вышедшая из строя ЭВМ останавливается и , если в этот момент все специалисты заняты, становится в очередь на обслуживание и ждет пока любой из специалистов освободится. Среднее время ремонта tр известно. Убытки, связанные с одним часом простоя составляют N рублей. Месячная зарплата одного специалиста M рублей. Принять, что в месяце 30 рабочих дней. Определить, какое требуется количество специалистов в штате вычислительного центра, чтобы минимизировать месячные затраты S на обслуживание с учетом потерь от простоя ЭВМ. Объяснить, что для этого необходимо найти m, при которой обеспечивается

S = (ср. число неисправных ЭВМ) ∙ N∙(24час)∙(30дней) + 3m ⋅ M −>min



Варианты распределяются в зависимости от номера студента в списке группы следующим образом:

№ в списке	№ варианта	№ в списке	№ варианта
1,11,21	1	6,16,26	6
2, 12,22	2	7,17,27	7
3, 13,23	3	8,18,28	8
4,14,24	4	9,19,29	9
5,15,25	5	10,20,30	10

Рассчитать по своему варианту характеристики работы СМО по таблице 1.
Контрольные вопросы:

1. 
   Приведите примеры одноканальных и многоканальных СМО.
   
2. 
   Какие показатели эффективности можно рассчитать для одноканальных СМО с неограниченной очередью?
   
3. 
   Какие показатели эффективности можно рассчитать для замкнутых СМО?