Главная страница
Навигация по странице:

  • Решение: Численное дифференцирование.

  • Интерполяционные многочлены Лагранжа.

  • Интерполяционные многочлены Ньютона.

  • Формула Стирлинга.

    		•

    Задание. Задание 4


    Скачать 94.05 Kb.
    НазваниеЗадание 4
    Дата19.12.2021
    Размер94.05 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаЗадание.docx
    ТипДокументы
    #309081

    Задание №4


    Численное дифференцирование. Интерполяционные многочлены Ньютона, Лагранжа, формулы Стирлинга.

    Для функции , где N=6, составить таблицу значений функции для аргументов

    По значениям функции в этой таблице найти значения первой и второй производных указанной функции в точках и с точностью ,

    используя:

    а) интерполяционный многочлен Лагранжа;

    б) интерполяционный многочлен Ньютона;

    в) формулу Стирлинга.
    Решение:

    1. Численное дифференцирование.

    При решении практических задач необходимо найти производные указанных порядков от функции , которая задана таблицей значений . Приблизим функцию интерполяционным многочленом . Тогда производная от этого многочлена применяется для приближенного представления искомой производной .

    Составим таблицу значений функции в указанных узловых точках (таблица 1):

    №




    0
    0.00000000
    0.24494897

    1
    0.01000000
    0.26457513

    2
    0.02000000
    0.28284271

    3
    0.03000000
    0.30000000

    4
    0.04000000
    0.31622777

    5
    0.05000000
    0.33166248

    Продолжение таблицы 1

    6
    0.06000000
    0.34641016

    7
    0.07000000
    0.36055513

    8
    0.08000000
    0.37416574

    9
    0.09000000
    0.38729833

    10
    0.10000000
    0.40000000

    11
    0.11000000
    0.41231056

    12
    0.12000000
    0.42426407

    13
    0.13000000
    0.43588989

    14
    0.14000000
    0.44721360

    15
    0.15000000
    0.45825757

    16
    0.16000000
    0.46904158

    17
    0.17000000
    0.47958315

    18
    0.18000000
    0.48989795

    19
    0.19000000
    0.50000000




      1. Интерполяционные многочлены Лагранжа.

    Дифференцирование интерполяционных многочленов Лагранжа приводит к формулам:

    (1)

    , (2)

    где ; .

    По формулам (1) и (2) найдем значения производных функции в точках и .

    Таблица 2 – Значения производных по формуле Лагранжа в точке

    =0.07




    Точное значение
    1.38675049
    -5.33365573

    Вычисленное значение
    1.38673969
    -5.33359124

    Продолжение таблицы 2

    Относительная погрешность
    0.00001080
    0.00006449

    Абсолютная погрешность
    7.79·10-6
    1.21·10-5


    Таблица 3 – Значения производных по формуле Лагранжа в точке

    =0.14




    Точное значение
    1.11803399
    -2.79508497

    Вычисленное значение
    1.11803220
    -2.79528741

    Относительная погрешность
    0.00000179
    0.00020244

    Абсолютная погрешность
    1.60·10-6
    7.24·10-5




      1. Интерполяционные многочлены Ньютона.

    Дифференцирование интерполяционных многочленов Ньютона приводит к формулам:

    (3) (4)

    По формулам (3) и (4) найдем значения производных функции в точках и .

    Таблица 4 – Значения производных по формуле Ньютона в точке

    =0.07




    Точное значение
    1.38675049
    -5.33365573

    Вычисленное значение
    1.38674564
    -5.33124914

    Относительная погрешность
    0.00000485
    0.00240659

    Абсолютная погрешность
    3.50·10-6
    4.51·10-4


    Таблица 5 – Значения производных по формуле Ньютона в точке

    =0.14




    Точное значение
    1.11803399
    -2.79508497

    Вычисленное значение
    1.11803146
    -2.79464956

    Относительная погрешность
    0.00000253
    0.00043541

    Абсолютная погрешность
    2.26·10-6
    1.56·10-4




      1. Формула Стирлинга.

    Дифференцирование интерполяционных многочленов Стирлинга приводит к формулам:

    (5)

    (6)

    По формулам (5) и (6) найдем значения производных функции в точках и .

    Таблица 6 – Значения производных по формуле Стирлинга в точке

    =0.07




    Точное значение
    1.38675049
    -5.33365573

    Вычисленное значение
    1.38675046
    -5.33371993

    Относительная погрешность
    0.00000003

    0.00006420

    Абсолютная погрешность
    2.16·10-8
    1.20·10-5


    Таблица 7 – Значения производных по формуле Стирлинга в точке

    =0.14




    Точное значение
    1.11803399
    -2.79508497

    Вычисленное значение
    1.11803370
    -2.79534058

    Относительная погрешность
    0.00000029
    0.00025561

    Абсолютная погрешность
    2.59·10-7
    9.14·10-5


    Вывод:

    В данной лабораторной работе мы нашли значения первой и второй производных с помощью интерполяционных многочленов Лагранжа, Ньютона и Стирлинга. Более точный результат даёт формула Стирлинга.

    написать администратору сайта