Задание Для следующих данных

Название	Задание Для следующих данных
Дата	12.12.2022
Размер	41.78 Kb.
Формат файла
Имя файла	MATEMATIKA.docx
Тип	Закон #840509

Расчётная работа №1

«Оценки параметров нормального закона распределения»

Вариант 13

Задание:

Для следующих данных:

Составить интервальную таблицу частот, относительных частот и их плотностей.
Построить гистограмму частот и аппроксимировать гистограмму теоретическим нормальным законом распределения.
Рассчитать выборочные характеристики , , .
С помощью критерия (критерия Пирсона) проверить согласованность теоретического и статистического законов распределений с надежностью .
Получить точечные оценки для математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения.
С надежностью найти доверительный интервал для математического ожидания и среднего квадратического отклонения.

Среднее число обрывов пряжи 20 текс (хлопок с лавсаном) на сновальной машине на 1 млн. м одиночной нити:

7,4	5,9	6,3	5,9	4,5	4,6	5,2	5,8	6,9	5,0	5,8
6,2	5,8	4,4	5,0	5,1	5,7	5,2	4,9	5,1	6,1	5,7
4,2	4,9	5,5	5,6	6,7	4,8	5,5	6,3	5,6	4,2	4,8
5,2	6,0	7,3	4,7	5,4	6,2	5,3	4,1	4,7	5,3	5,9
7,4	4,6	5,3	6,1	5,2	4,7	4,6	5,2	5,8	7,1	5,0
5,2	6,5	5,1	4,6	4,5	5,1	5,7	6,6	4,9	5,1	6,4
5,5	5,0	4,4	6,8	5,6	5,1	4,8	5,5	6,3	5,4	4,9
4,3	6,4	5,1	6,8	4,7	5,4	6,2	5,3	4,8	4,2	6,0
5,5	5,7

Выполнение работы.

Составить интервальную таблицу частот, относительных частот и их плотностей.

Расположим все числа в порядке возрастания.

4,1	4,2	4,2	4,2	4,3	4,4	4,4	4,5	4,5	4,6	4,6
4,6	4,6	4,7	4,7	4,7	4,7	4,8	4,8	4,8	4,8	4,9
4,9	4,9	4,9	5,0	5,0	5,0	5,0	5,1	5,1	5,1	5,1
5,1	5,1	5,1	5,2	5,2	5,2	5,2	5,2	5,2	5,3	5,3
5,3	5,3	5,4	5,4	5,4	5,5	5,5	5,5	5,5	5,5	5,6
5,6	5,6	5,7	5,7	5,7	5,7	5,8	5,8	5,8	5,8	5,9
5,9	5,9	6,0	6,0	6,1	6,1	6,2	6,2	6,2	6,3	6,3
6,3	6,4	6,4	6,5	6,6	6,7	6,8	6,8	6,9	7,1	7,3
7,4	7,4

Составим интервальный статистический ряд, для этого:

Найдем

, размах:

и количество частичных интервалов по формуле Стерджесса (

Далее найдем длину частичного интервала:

Где

подберем такой, чтобы он нацело делился на k (R = 3,5). И соответственно изменим границы. Получатся следующие данные

	88
	109
	3,5
	7
	0,5

Затем найдем для каждого рядя найдем количество значений (частоту)

, относительную частоту

, плотность относительной частоты

№ интервала
1	[4,0; 4,5)	7	0,07777778	0,15555556
2	[4,5; 5,0)	18	0,2	0,4
3	[5,0; 5,5)	24	0,26666667	0,53333334
4	[5,5; 6,0)	19	0,21111111	0,42222222
5	[6,0; 6,5)	12	0,13333333	0,26666666
6	[6,5; 7,0)	6	0,06666667	0,13333334
7	[7,0; 7,5)	4	0,04444444	0,08888888
Сумма	—	90	1	—

Построить гистограмму частот и аппроксимировать гистограмму теоретическим нормальным законом распределения.

По виду гистограммы плотности относительной частоты можно судить, что с.в. X имеет нормальное распределение.

Рассчитать выборочные характеристики , , .

– Cреднее арифметическое всех значений выборки.

– Выборочная дисперсия.

Так как мы используем интервалы, вместо

будем использовать

(середина интервала).

– исправленная выборочная дисперсия.

– исправленное среднее квадратическое отклонение.

Для этих данных построим соответствующую таблицу.

№ интервала
1	[4,0; 4,5)	4,25	7	29,74	18,0625	126,4375
2	[4,5; 5,0)	4,75	18	85,5	22,5625	406,125
3	[5,0; 5,5)	5,25	24	126	27,5625	661,5
4	[5,5; 6,0)	5,75	19	109,25	33,0625	628,1875
5	[6,0; 6,5)	6,25	12	75	39,0625	468,75
6	[6,5; 7,0)	6,75	6	40,5	45,5625	273,375
7	[7,0; 7,5)	7,25	4	29	52,5625	210,25
Сумма	—	—	90	495	—	2774,625

Получим следующие данные

	5,5
	0,579167
	0,585674
	0,76103

С помощью критерия (критерия Пирсона) проверить согласованность теоретического и статистического законов распределений с надежностью .

Для этого найдем:

1)

Где

, а

.

2)

Где

– интегральная функция Муавра-Лапласа.

3) Находим теоретические частоты

4) Найдем наблюдаем критерий пирсона

Построим таблицу для этих данных.

№
1	4	4,5	7	-беск	-1,31401	-0,5	-0,40558	0,094422	8,497948	0,320549897
2	4,5	5	18	-1,31401	-0,657	-0,40557835	-0,24441	0,161167	14,50507	0,678586136
3	5	5,5	24	-0,657	0	-0,24441093	0	0,244411	21,99698	0,167169754
4	5,5	6	19	0	0,657004	0	0,244411	0,244411	21,99698	0,47273219
5	6	6,5	12	0,657004	1,314009	0,244410931	0,405578	0,161167	14,50507	0,522947095
6	6,5	7	6	1,314009	1,971013	0,405578352	0,475639	0,07006	6,305441	0,015548998
7	7	7,5	4	1,971013	+беск	0,475638803	0,5	0,024361	2,192508	0,816757097
Сумма	-	-	90					1	90	2,994291166

Отсюда

. Далее по таблице критических точек распределения находим

.

Так как

, то теоретический и статистический законы распределения согласованны.

Получить точечные оценки для математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения.

Несмещенной точечной оценкой математического ожидания служит выборочная средняя .
Несмещенной точечной оценкой дисперсии является «исправленная дисперсия» .
Несмещенной точечной оценкой среднего квадратического отклонения является исправленное среднее квадратическое отклонение
.