Расчётная работа №1
«Оценки параметров нормального закона распределения»
Вариант 13
Задание:
Для следующих данных:
Составить интервальную таблицу частот, относительных частот и их плотностей. Построить гистограмму частот и аппроксимировать гистограмму теоретическим нормальным законом распределения. Рассчитать выборочные характеристики , , . С помощью критерия (критерия Пирсона) проверить согласованность теоретического и статистического законов распределений с надежностью . Получить точечные оценки для математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения. С надежностью найти доверительный интервал для математического ожидания и среднего квадратического отклонения.
Среднее число обрывов пряжи 20 текс (хлопок с лавсаном) на сновальной машине на 1 млн. м одиночной нити:
7,4
| 5,9
| 6,3
| 5,9
| 4,5
| 4,6
| 5,2
| 5,8
| 6,9
| 5,0
| 5,8
| 6,2
| 5,8
| 4,4
| 5,0
| 5,1
| 5,7
| 5,2
| 4,9
| 5,1
| 6,1
| 5,7
| 4,2
| 4,9
| 5,5
| 5,6
| 6,7
| 4,8
| 5,5
| 6,3
| 5,6
| 4,2
| 4,8
| 5,2
| 6,0
| 7,3
| 4,7
| 5,4
| 6,2
| 5,3
| 4,1
| 4,7
| 5,3
| 5,9
| 7,4
| 4,6
| 5,3
| 6,1
| 5,2
| 4,7
| 4,6
| 5,2
| 5,8
| 7,1
| 5,0
| 5,2
| 6,5
| 5,1
| 4,6
| 4,5
| 5,1
| 5,7
| 6,6
| 4,9
| 5,1
| 6,4
| 5,5
| 5,0
| 4,4
| 6,8
| 5,6
| 5,1
| 4,8
| 5,5
| 6,3
| 5,4
| 4,9
| 4,3
| 6,4
| 5,1
| 6,8
| 4,7
| 5,4
| 6,2
| 5,3
| 4,8
| 4,2
| 6,0
| 5,5
| 5,7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполнение работы.
Составить интервальную таблицу частот, относительных частот и их плотностей.
Расположим все числа в порядке возрастания.
4,1
| 4,2
| 4,2
| 4,2
| 4,3
| 4,4
| 4,4
| 4,5
| 4,5
| 4,6
| 4,6
| 4,6
| 4,6
| 4,7
| 4,7
| 4,7
| 4,7
| 4,8
| 4,8
| 4,8
| 4,8
| 4,9
| 4,9
| 4,9
| 4,9
| 5,0
| 5,0
| 5,0
| 5,0
| 5,1
| 5,1
| 5,1
| 5,1
| 5,1
| 5,1
| 5,1
| 5,2
| 5,2
| 5,2
| 5,2
| 5,2
| 5,2
| 5,3
| 5,3
| 5,3
| 5,3
| 5,4
| 5,4
| 5,4
| 5,5
| 5,5
| 5,5
| 5,5
| 5,5
| 5,6
| 5,6
| 5,6
| 5,7
| 5,7
| 5,7
| 5,7
| 5,8
| 5,8
| 5,8
| 5,8
| 5,9
| 5,9
| 5,9
| 6,0
| 6,0
| 6,1
| 6,1
| 6,2
| 6,2
| 6,2
| 6,3
| 6,3
| 6,3
| 6,4
| 6,4
| 6,5
| 6,6
| 6,7
| 6,8
| 6,8
| 6,9
| 7,1
| 7,3
| 7,4
| 7,4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим интервальный статистический ряд, для этого:
Найдем , , размах: и количество частичных интервалов по формуле Стерджесса ( ):
Далее найдем длину частичного интервала:
Где подберем такой, чтобы он нацело делился на k (R = 3,5). И соответственно изменим границы. Получатся следующие данные
Затем найдем для каждого рядя найдем количество значений (частоту) , относительную частоту , плотность относительной частоты . № интервала
|
|
|
|
| 1
| [4,0; 4,5)
| 7
| 0,07777778
| 0,15555556
| 2
| [4,5; 5,0)
| 18
| 0,2
| 0,4
| 3
| [5,0; 5,5)
| 24
| 0,26666667
| 0,53333334
| 4
| [5,5; 6,0)
| 19
| 0,21111111
| 0,42222222
| 5
| [6,0; 6,5)
| 12
| 0,13333333
| 0,26666666
| 6
| [6,5; 7,0)
| 6
| 0,06666667
| 0,13333334
| 7
| [7,0; 7,5)
| 4
| 0,04444444
| 0,08888888
| Сумма
| —
| 90
| 1
| —
| Построить гистограмму частот и аппроксимировать гистограмму теоретическим нормальным законом распределения.
По виду гистограммы плотности относительной частоты можно судить, что с.в. X имеет нормальное распределение.
Рассчитать выборочные характеристики , , .
– Cреднее арифметическое всех значений выборки.
– Выборочная дисперсия.
Так как мы используем интервалы, вместо будем использовать (середина интервала).
– исправленная выборочная дисперсия.
– исправленное среднее квадратическое отклонение.
Для этих данных построим соответствующую таблицу. № интервала
|
|
|
|
|
|
| 1
| [4,0; 4,5)
| 4,25
| 7
| 29,74
| 18,0625
| 126,4375
| 2
| [4,5; 5,0)
| 4,75
| 18
| 85,5
| 22,5625
| 406,125
| 3
| [5,0; 5,5)
| 5,25
| 24
| 126
| 27,5625
| 661,5
| 4
| [5,5; 6,0)
| 5,75
| 19
| 109,25
| 33,0625
| 628,1875
| 5
| [6,0; 6,5)
| 6,25
| 12
| 75
| 39,0625
| 468,75
| 6
| [6,5; 7,0)
| 6,75
| 6
| 40,5
| 45,5625
| 273,375
| 7
| [7,0; 7,5)
| 7,25
| 4
| 29
| 52,5625
| 210,25
| Сумма
| —
| —
| 90
| 495
| —
| 2774,625
|
Получим следующие данные
| 5,5
|
| 0,579167
|
| 0,585674
|
| 0,76103
|
С помощью критерия (критерия Пирсона) проверить согласованность теоретического и статистического законов распределений с надежностью .
Для этого найдем:
1)
Где , , а .
2)
Где – интегральная функция Муавра-Лапласа.
3) Находим теоретические частоты
4) Найдем наблюдаем критерий пирсона
Построим таблицу для этих данных.
№
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1
| 4
| 4,5
| 7
| -беск
| -1,31401
| -0,5
| -0,40558
| 0,094422
| 8,497948
| 0,320549897
| 2
| 4,5
| 5
| 18
| -1,31401
| -0,657
| -0,40557835
| -0,24441
| 0,161167
| 14,50507
| 0,678586136
| 3
| 5
| 5,5
| 24
| -0,657
| 0
| -0,24441093
| 0
| 0,244411
| 21,99698
| 0,167169754
| 4
| 5,5
| 6
| 19
| 0
| 0,657004
| 0
| 0,244411
| 0,244411
| 21,99698
| 0,47273219
| 5
| 6
| 6,5
| 12
| 0,657004
| 1,314009
| 0,244410931
| 0,405578
| 0,161167
| 14,50507
| 0,522947095
| 6
| 6,5
| 7
| 6
| 1,314009
| 1,971013
| 0,405578352
| 0,475639
| 0,07006
| 6,305441
| 0,015548998
| 7
| 7
| 7,5
| 4
| 1,971013
| +беск
| 0,475638803
| 0,5
| 0,024361
| 2,192508
| 0,816757097
| Сумма
| -
| -
| 90
|
|
|
|
| 1
| 90
| 2,994291166
|
Отсюда . Далее по таблице критических точек распределения находим .
Так как , то теоретический и статистический законы распределения согласованны.
Получить точечные оценки для математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения.
Несмещенной точечной оценкой математического ожидания служит выборочная средняя . Несмещенной точечной оценкой дисперсии является «исправленная дисперсия» . Несмещенной точечной оценкой среднего квадратического отклонения является исправленное среднее квадратическое отклонение
.
С надежностью найти доверительный интервал для математического ожидания и среднего квадратического отклонения.
Для математического ожидания:
Т.к. и нам известно , то формула доверительного интервала примет следующий вид.
, где
Найдем t.
Тогда доверительный интервал примет вид:
Для среднего квадратического отклонения:
Сначала необходимо найти ближайшее значение по таблице.
Для наших данных .
При :
Получаем:
|