ТАУ2 ЛР4 Модальный регулятор полного порядка. Задание к лабораторной работе 4 синтез модального регулятора полного порядка
 Скачать 0.58 Mb.
|
|
Задание к лабораторной работе №4 СИНТЕЗ МОДАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА ПОЛНОГО ПОРЯДКА 1. Задать передаточную функцию обобщенного объекта управления исследуемой системы третьего порядка без нулей. 2. Получить модель объекта в форме системы дифференциальных уравнений первого порядка; построить структурную схему объекта по полученной системе уравнений. 3. Добавить обратные связи по состояниям системы, получить эквивалентную передаточную функцию системы. 4. Определить желаемое время переходного процесса и перерегулирование; рассчитать соответствующие значения корневых показателей качества системы. 5. Синтезировать модальный регулятор полного порядка по желаемому характеристическому полиному; построить график расположения полюсов системы. 6. Синтезировать модальный регулятор полного порядка по распределению Баттерворта; построить график расположения полюсов системы. 7. Синтезировать модальный регулятор полного порядка по биномиальному распределению; построить график расположения полюсов системы. 8. Оформить отчет. ХОД РАБОТЫ 1 Вывод математической модели синтезируемой системы Предположим, что обобщенный объект управления исследуемой системы описывается следующей передаточной функцией: 3 2 25 ( ) 0.1 2 10 35 О W s s s s Указанная передаточная функция соответствует следующему дифференциальному уравнению: 3 2 3 2 d d d 0.1 2 10 35 25 dt dt dt y y y y u . Перейдем к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого введем замены переменных так, чтобы: 1 2 2 3 2 , d , dt d dt x y x y x y В таком случае система дифференциальных уравнений первого порядка, описывающая объект исследуемой системы, может быть записана следующим образом: 1 2 2 3 3 3 2 1 d , dt d , dt d 20 100 350 250 . dt x x x x x x x x u На основе полученной системы дифференциальных уравнений первого порядка изобразим структурную схему исследуемого объекта на рисунке ниже. Рисунок 1 – Структурная схема обобщенного объекта управления исследуемой системы Добавим в обратные связи настраиваемые коэффициенты 1 2 3 , , k k k Структурная схема такой системы показана на рисунке ниже. Рисунок 2 – Структурная схема системы с регулятором Воспользовавшись правилами преобразования структурных схем, найдем эквивалентную передаточную функцию исследуемой системы: 1 2 3 3 2 3 2 1 250 ( , , , ) ( 20) ( 100) 350 W s k k k s k s k s k Из приведенной передаточной функции очевидно, что регулятор позволяет влиять на коэффициенты характеристического полинома системы и, соответственно, двигать полюсы системы. Далее будем работать с характеристическим полиномом системы. 2 Синтез модального регулятора по желаемому характеристическому полиному Перед расчетом параметров регулятора необходимо определить цель синтеза, задав желаемые значения прямых показателей качества и определив по ним соответствующие значения корневых показателей качества. Известно, что время переходного процесса п t зависит от степени устойчивости системы следующим образом: 3 4 п t В свою очередь перерегулирование определяется степенью колебательности системы . Указанные параметры связаны между собой следующей формулой: e Предположим, что необходимо обеспечить в синтезируемой системе переходный процесс длительностью в 5 с и перерегулированием менее 10%. Такому качеству регулирования соответствует степень устойчивости системы 0.800 и степень колебательности системы 1.364 . Зададим желаемый характеристический полином, обеспечивающий найденные значения корневых показателей качества: 3 2 ( ) ( 0.8 0.8) ( 0.8 0.8) ( 5) 6.600 9.280 6.400. D s s j s j s s s s С учетом того, что характеристический полином исследуемой системы имеет следующий вид: 3 2 1 2 3 3 2 1 ( , , , ) ( 20) ( 100) 350 D s k k k s k s k s k , можем найти значения коэффициентов модального регулятора, обеспечивающего желаемое расположение полюсов: 1 2 3 343.600, 90.720, 13.400. k k k Рисунок 3 – Расположение полюсов системы с регулятором, синтезированным по желаемому характеристическому полиному Рисунок 4 – Переходная характеристика исследуемой системы 3 Синтез модального регулятора по распределению Баттерворта Нормированные полиномы Баттерворта задаются в соответствии с таблицей 1. Таблица 1 – Полиномы Баттерворта для системы различного порядка Порядок системы n Нормированный полином 1 0 s 2 2 2 0 0 1.4 s s 3 3 2 2 3 0 0 0 2 2 s s s 4 4 3 2 2 3 4 0 0 0 0 2.6 3.4 2.6 s s s s 5 5 4 2 3 3 2 4 5 0 0 0 0 0 3.24 5.24 5.24 3.24 s s s s s Значения коэффициентов полинома выбираются в соответствии со значением среднегеометрического корня 0 , которое в свою очередь рассчитывается по формуле 0 п п t , где п – безразмерная величина, характеризующая время переходного процесса; п t – желаемое время переходного процесса. Значение п выбирается в соответствии с порядком системы из таблицы 2. Таблица 2 – Показатели универсальных переходных функций для распределения полюсов по Баттерворту Порядок системы n 1 2 3 4 5 п 3 3 6 6.9 7.6 , % – 4.6 8.1 11.1 12.7 Таким образом, для обеспечения длительности переходного процесса равно 10 с в исследуемой системе третьего порядка нужно выбрать по таблице 2 6 п , тогда 0 0.6 , а желаемый характеристический полином будет иметь следующий вид: 3 2 ( ) 1.2 0.72 0.216 D s s s s Для обеспечения найденных значений коэффициентов характеристического полинома коэффициенты регулятора должны принять следующие значения: 1 2 3 349.784, 99.280, 18.800. k k k Расположение полюсов синтезированной системы показано на рисунке ниже. Рисунок 5 – Расположение полюсов системы с модальным регулятором, синтезированным по распределению Баттерворта Рисунок 6 – Переходная характеристика системы с модальным регулятором, синтезированным по распределению Баттерворта 4 Синтез модального регулятора полного порядка по биномиальному распределению Полиномы с биномиальным распределением задаются следующим выражением: 0 ( ) ( ) n D s s , где 0 – среднегеометрический корень, n – порядок системы. В свою очередь, значения среднегеометрического корня определяются по ранее приведенной формуле, значения п приведены в таблице 3. Таблица 3 – Значения среднегеометрического корня для биномиального распределения Порядок системы n 1 2 3 4 5 п 3 4.75 6.3 7.8 9.1 Таким образом, для обеспечения переходного процесса длительностью в 10 с в системе третьего порядка необходимо выбрать 6.3 п . В таком случае 0 0.63 , а желаемый характеристический полином задан следующим выражением: 3 2 ( ) 1.8900 1.1907 0.2501 D s s s s Для обеспечения таких значений коэффициентов характеристического полинома значения коэффициентов регулятора должны принять следующие значения: 1 2 3 349.74995, 98.80930, 18.11000. k k k Синтезированная система имеет три кратных полюса, расположение которых показано на рисунке 7. Переходная характеристика такой системы показана на рисунке 8. Рисунок 7 – Расположение полюсов системы с модальным регулятором, синтезированным по биномиальному распределению Рисунок 8 – Переходная характеристика системы с модальным регулятором, синтезированным по биномиальному распределению |