Задания - Теория вероятностей и технология. Задание Парадокс спящей красавицы
 Скачать 346.59 Kb.
|
|
Задание 1. Парадокс спящей красавицы Решение 1. У вас нет никакой информации о результате выпадения монеты и предыдущих побудках. Поскольку известно, что монета честная, можно предположить, что вероятность решки ½. Решение 2. Проведём эксперимент 1000 раз. Спящую красавицу будят в среднем 500 раз с орлом и 1000 раз с решкой (т.к. в случае решки спящую красавицу спрашивают 2 раза). Поэтому вероятность решки 2⁄3. - Следует сразу отметить, что в данном случае спор идёт впустую, поскольку «двоечники» и «троечники» отвечают на разный вопрос: первые на вопрос-1 о том, какова вероятность выпадения орла в ряду бросаний монеты, а вторые на вопрос-2 – какова вероятность побудок, связанных с выпадением орла в ряду всех побудок. Это, совершенно разные вопросы. Поскольку в дальнейшем по нашим собственным причинам нас будет интересовать только второй вопрос из двух, то решение-1 мы отставим в сторону. Отметим сразу, что решение-2 допускает не только частотную, но и так называемую байесиановскую интерпретацию, которая отличается тем, что в ней рассматриваются в качестве вероятностей не относительные математическое ожидания частоты выпадений, а степень достоверности того или иного варианта в глазах рационального наблюдателя, имеющего доступ к одной информации и не имеющего – к другой. Таким образом, поскольку монета по условию полностью симметричная, нет никаких рациональных оснований приписывать выпадению орла большую вероятность, чем выпадению решки, если мы говорим о череде бросаний. Однако, мы хотим выяснить не вероятность выпадения орла саму по себе, а вероятность определенного вида побудок, и именно тех, которые связаны с выпадением орла. А по условию задачи с выпадением решки связаны две побудки, а с выпадением орла – только одна. Всего получается три побудки, которые полностью неразличимы в глазах спящей красавицы из-за того, что подопытную усыпляют каким-то сильным наркотиком, и она из-за этого теряет память. Как видим, нет никакого основания считать один из вариантов побудок более заслуживающим доверия из-за известных «перекосов» монеты или другой аналогичной информации. Следовательно, в итоге есть полностью симметричные три варианта побудок. Итак, при рациональной оценке ситуации с точки зрения информации, которая имеется у подопытной, вероятность каждого варианта следует приравнять 1/3. Таким образом, байесианское решение (решение-2) в данном случае не отличается от частотного (референционистского), что, однако, не гарантирует совпадение результатов применения этих двух подходов в других ситуациях. Однако, классический вариант решения содержит существенный недостаток, а именно следующий: в нём не учитывается, что одни и те же наркотические вещества в разных дозировках могут вызывать различные степени беспамятства. В классической версии парадокса беспамятство красавицы весьма относительное: она должна чётко помнить условия задачи, но при этом не должна помнить, что просыпалась накануне. Но в условии задачи не сказано, должна ли она быть уверенной в том, что не помнит своих побудок. Если этот параметр варьировать от полной уверенности в своей памяти до полной неуверенности даже в том, сохранена память или нет, приходим к двум новым интересным вариантам «парадокса спящей красавицы»: Версия-2 (недодозировка): красавице колют недостаточную дозу наркотика, либо она в течении повторяющихся однородных экспериментов к нему уже начала привыкать (возникла толерантность к наркотическому средству). В этом случае красавица может чётко различить, разбудили её один раз, или второй. В этом варианте байесианова вероятность того, что она проснулась второй раз и выпала решка, разумеется равна 1, то есть – является достоверностью. В то же время, если она проснулась первый раз, то вследствие полученного знания (о числе побудок) для неё сохраняют возможность два симметричных варианта побудок: один связанный с выпадением решки и другой, связанный с выпадением орла. Таким образом, байесианскую вероятность следует вычислять, как 1\2 (совпадает с «ответом двоечников» из оригинальной версии задачи). Как видим, в версии-2 при оценке вероятности невозможно отвлечься от номера побудки. Сама же побудка играет роль своеобразного триггера, «инструмента наблюдения», после включения которого функция распределения вероятностей как бы «коллапсирует», перестраиваясь в соответствие с полученной информацией о номере побудки (1 или 2). Версия-3 (передоз): красавице колют двойную дозу наркотика, так что она не способна даже сообразить, помнит она происходящее накануне, или нет. То есть, она не в состоянии различить не только первую побудку от второй, но и то, в какой версии парадокса она сейчас находится: в версии-1 (оригинальной) или в версии-2. Такое легко себе представить, если учесть, что экспериментаторы – люди довольно жесткие, и совсем не обязательно они будут подсказывать подопытной, в каком состоянии находится её память, если случится передозировка. В этом случае действительно ей есть, о чём подумать, проснувшись… Самым простым вариантом решения версии-3 является, как может показаться, сведение её к оригинальной версии-1 на основании того, что если красавица уже даже не соображает, помнит она или нет, она наверняка ничего не помнит, то есть – фактически речь идёт о версии-1. Но этот путь рассуждения имеет свои недостатки: например, если красавица просыпается в первый день, то она в любом случае не помнит, что её уже будили, будь это правда или нет. А, не помня об этом, она не может точно утверждать, сохранена ли её память в принципе, или нет. Она никак не способна верифицировать этот факт, если проснулась в первый день – даже если её память всё ещё способна зафиксировать побудку, сделанную днём накануне. Итак, нам остаётся сделать вывод, что даже при сохранённой памяти, а тем более – при её отсутствии, подопытная, если она проснулась в первый день, не способна понять в какой версии парадокса она находится. А это равнозначно тому, что для неё симметричными (неразличимыми) могут быть не только варианты из версии-1, но, одновременно, и варианты из версии-2. Таким образом, решая задачу оценки вероятности подопытная должна каким-то образом провести «суперпозицию» (наложение) функции распределения вероятности версий 1 и 2. Попробуем мы это сделать за неё: если она проснулась во второй день и точно это помнит, то ответ понятен. В этом случае подопытная может точно сказать, что её память и соображение сохранены (предположим для однозначности условий, что наркотик не даёт галлюцинаций, и она об этом знает, но не знает его дозу). Если так, то её пробуждение связано с выпадением решки. Если же красавица проснулась, и считает, что она проснулась в первый день, либо вообще не может толком сообразить, тогда возможны следующие симметричные (неразличимые для подопытной) варианты: 1) Она проснулась в первый день версии-1 после выпадения орла 2) Она проснулась в первый день версии-1 после выпадения решки 3) Она проснулась во второй день версии-1 после выпадения решки 4) Она проснулась в первый день версии-2 после выпадения орла 5) Она проснулась в первый день версии-2 после выпадения решки Но один вариант для неё выпадает, так как во второй версии он для красавицы вполне различим: 6) Она проснулась во второй день версии-2 после выпадения решки (выпадающий вариант) После составления полного списка симметричных вариантов уже нетрудно вычислить байесианову вероятность тех их них, которые связаны с выпадением орла. Таких вариантов два из пяти. Таким образом, правильный ответ красавицы 2\5. Именно он должен считаться правильным ответом для «парадокса спящей красавицы» и в том случае, когда подопытной не объяснили, что она не должна ничего помнить, так что она вынуждена принимать во внимание возможность двух различных состояний своей памяти. В последнем случае она при строго рациональном (с точки зрения Байеса) расчёте должна также иметь в виду выпадение варианта 6). Задание 2. Парадокс рассеянного водителя Парадокс в том, что первая и третья стратегии — разные. Третья — «в 50 % случаев пропустить первый перекрёсток и свернуть на втором, в 50 % — свернуть на первом». Задание 3. Парадокс спящей красавицы 2 Ответ 1: Вероятностное пространство таково: орёл — решка — ¼ орёл — орёл — ¼ решка — память стёрта в первый день — ¼ решка — память стёрта во второй день — орёл — 1/8 решка — память стёрта во второй день — решка — 1/8 Ответ 2: (так как 2/3 дней Красавица просыпалась с решкой, и 1/3 — с орлом). Тест В D B C C A 7. Введённая функция: X2∧X1∨X2 Вектор функция: 0101 Таблица истинности:
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) ¬X1X2 ∨ X1X2 Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СKНФ) (X1∨X2) ∧ (¬X1∨X2) Полином Жегалкина X2 Решение Построение совершенной дизъюнктивной нормальной формы: Найдём наборы, на которых функция принимает истинное значение: { 0, 1 } { 1, 1 } В соответствие найденным наборам поставим элементарные конъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 0, то она будет записана с отрицанием: K1: { 0, 1 } — ¬X1X2 K2: { 1, 1 } — X1X2 Объединим конъюнкции с помощью операции ИЛИ и получим совершенную дизъюнктивную нормальную форму: K1 ∨ K2 = ¬X1X2 ∨ X1X2 Построение совершенной конъюнктивной нормальной формы: Найдём наборы, на которых функция принимает ложное значение: { 0, 0 } { 1, 0 } В соответствие найденным наборам поставим элементарные дизъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 1, то она будет записана с отрицанием: D1: { 0, 0 } — X1∨X2 D2: { 1, 0 } — ¬X1∨X2 Объединим дизъюнкции с помощью операции И и получим совершенную конъюнктивную нормальную форму: D1 ∧ D2 = (X1∨X2) ∧ (¬X1∨X2) Построение полинома Жегалкина методом Паскаля:
Построение полинома Жегалкина методом треугольника:
1. Строится треугольная таблица, в которой первый столбец совпадает со столбцом значений функции в таблице истинности. 2. Ячейка в каждом последующем столбце получается путём сложения по модулю 2 двух ячеек предыдущего столбца — стоящей в той же строке и строкой ниже. 3. Столбцы вспомогательной таблицы нумеруются двоичными кодами в том же порядке, что и строки таблицы истинности. 4. Каждому двоичному коду ставится в соответствие один из членов полинома Жегалкина в зависимости от позиций кода, в которых стоят единицы. 5. Если в верхней строке какого-либо столбца стоит единица, то соответствующий член присутствует в полиноме Жегалкина. Построение полинома Жегалкина методом неопределённых коэффициентов: Запишем данную функцию в виде полинома Жегалкина с неопределёнными коэффициентами: f(X1,X2) = a00 ⊕ a10X1 ⊕ a01X2 ⊕ a11X1X2 f(0,0) = a00 = 0 ⇒ a00 = 0 f(1,0) = a00 ⊕ a10 = 0 ⊕ a10 = 0 ⇒ a10 = 0 f(0,1) = a00 ⊕ a01 = 0 ⊕ a01 = 1 ⇒ a01 = 1 f(1,1) = a00 ⊕ a10 ⊕ a01 ⊕ a11 = 0 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ a11 = 1 ⇒ a11 = 0 Окончательно получаем: X2 8. Введённая функция: ¬y∧p∧(x∧y) Вектор функция: 00000000 Таблица истинности:
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) не существует Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СKНФ) (p∨x∨y) ∧ (p∨x∨¬y) ∧ (p∨¬x∨y) ∧ (p∨¬x∨¬y) ∧ (¬p∨x∨y) ∧ (¬p∨x∨¬y) ∧ (¬p∨¬x∨y) ∧ (¬p∨¬x∨¬y) Полином Жегалкина Решение Построение совершенной дизъюнктивной нормальной формы: Функция является константой 0. Поэтому её СДНФ отсутствует. Построение совершенной конъюнктивной нормальной формы: Найдём наборы, на которых функция принимает ложное значение: { 0, 0, 0 } { 0, 0, 1 } { 0, 1, 0 } { 0, 1, 1 } { 1, 0, 0 } { 1, 0, 1 } { 1, 1, 0 } { 1, 1, 1 } В соответствие найденным наборам поставим элементарные дизъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 1, то она будет записана с отрицанием: D1: { 0, 0, 0 } — p∨x∨y D2: { 0, 0, 1 } — p∨x∨¬y D3: { 0, 1, 0 } — p∨¬x∨y D4: { 0, 1, 1 } — p∨¬x∨¬y D5: { 1, 0, 0 } — ¬p∨x∨y D6: { 1, 0, 1 } — ¬p∨x∨¬y D7: { 1, 1, 0 } — ¬p∨¬x∨y D8: { 1, 1, 1 } — ¬p∨¬x∨¬y Объединим дизъюнкции с помощью операции И и получим совершенную конъюнктивную нормальную форму: D1 ∧ D2 ∧ D3 ∧ D4 ∧ D5 ∧ D6 ∧ D7 ∧ D8 = (p∨x∨y) ∧ (p∨x∨¬y) ∧ (p∨¬x∨y) ∧ (p∨¬x∨¬y) ∧ (¬p∨x∨y) ∧ (¬p∨x∨¬y) ∧ Разработка маршрута обработки детали, составление эскизов, обработки и контроля При разработке маршрута обработки детали (МОД) дается общий план обработки детали и намечается содержание операций, на основе ранее проанализированных и отобранных к исполнению маршрутов обработки отдельных поверхностей. Эта задача тем сложнее, чем больше у детали точно обрабатываемых поверхностей. При этом всегда существуют несколько приемлемых вариантов технологического процесса. При выборе оптимального варианта руководствуются следующими рекомендациями: 1) прежде всего, обрабатывают технологические базы. Базовые поверхности должны быть специально подготовлены на предшествующих операциях; 2) затем обрабатывают остальные поверхности в порядке восхождения от исходной точности заготовки до требуемой точности поверхностей, представленных наиболее высокими квалитетами точности. Ими являются исполнительные поверхности, с помощью которых деталь выполняет свое служебное назначение. Таким образом, построение МОД должно быть подчинено одному из главных принципов – обеспечению служебного назначения детали. По этой причине значительное влияние на последовательность операций технологического процесса оказывает принятый маршрут обработки исполнительных поверхностей деталей. Обработка остальных поверхностей должна вестись параллельно с обработкой исполнительных поверхностей на тех же этапах, на которых обрабатываются исполнительные поверхности. Технологию изготовления точных и ответственных деталей обычно подразделяют на ряд этапов (табл. 2.9). Представленные в таблице этапы не обязательны для всех технологических процессов, так как далеко не все детали требуют термической обработки, покрытий и отделочных операций. Для прецизионных заготовок могут отсутствовать черновые, получистовые и даже чистовые этапы обработки. Маршрут обработки таких заготовок строится с пропуском тех этапов, в которых нет необходимости. Таблица 2.9 Этапы технологического процесса
Поскольку исполнительные поверхности детали имеют самую высокую точность и минимальную шероховатость, то естественно, что чистовой или отделочной обработкой этих поверхностей и должен заканчиваться маршрут обработки всей детали в целом. Обработка тех поверхностей, точность и шероховатость которых ниже чем у ис полнительных, заканчивается на более ранних этапах, например на этапе получистовой I (табл. 2.10, поверхность 1) или даже черновой обработки (поверхности 2, 3, 4, 6…10). Таблица 2.10 Маршрут поэтапной обработки поверхностей детали, изображенной на рис. 2.14
Разделяя технологический процесс на этапы, достигают ряда положительных моментов. Черновая обработка может выполняться на специально выделенном изношенном или неточном оборудовании рабочими более низкой квалификации. Разрыв во времени между черновой и отделочной обработками позволяет более полно выявиться деформациям до их устранения на последнем этапе обработки. Вынесением отделочной обработки в конец маршрута уменьшается риск случайного повреждения окончательно обработанных поверхностей. Разумеется, от этого основного правила построения МОД могут быть некоторые отступления. Так, например, в конец маршрута часто выносят обработку легко повреждаемых поверхностей (наружных резьб и пр.). Для деталей достаточно жестких часто с целью обнаружения внутренних дефектов на более ранних стадиях обработки назначают чистовую обработку сразу же после черновой. Так поступают при обработке плоских поверхностей на карусельно- и барабанно-фрезерных станках. В этом случае достигается более высокая степень концентрации обработки, уменьшается число установов детали, и сокращаются расходы на механическую обработку тех деталей, которые впоследствии могут оказаться бракованными по причине внутренних дефектов. Если деталь подвергается термической обработке, то технологический маршрут механической обработки (как следует из табл. 2.10) расчленяют на несколько частей. Термическая обработка, как известно, вносит погрешности в форму заготовки, взаимное расположение поверхностей и ухудшает шероховатость. Для устранения этих дефектов иногда в МОД приходится вносить операцию правки или повторную обработку отдельных поверхностей (табл. 2.9, этапы 6 и 10). Кроме того, термическая обработка часто сопряжена с введением в МОД некоторых специфических операций, таких как омеднение нецементируемых участков и др. Переносить механическую обработку из одной части технологического процесса в другую с целью интеграции надо весьма осторожно. Например, не следует объединять операции, обычно выполняемые после отжига или естественного старения, с операциями, которые выполняют до термообработки. Излишняя концентрация операций механической обработки может привести к деформации и браку деталей. При разработке технологических процессов необходимо планировать операции технического контроля, которые вводятся в МОД после тех операций, где возможно появление брака, перед сложными и дорогостоящими операциями, а также в конце обработки. На всех остальных операциях (их должно быть большинство) необходимо планировать выборочный контроль. Предварительное содержание операций устанавливают объединением одноименных переходов, принадлежащих различным поверхностям заготовки, пользуясь при этом ранее намеченными МОП. Особое значение здесь приобретает выбор рациональной схемы обработки на каждой операции. Учитывая, что на многооперационных и координатно-сверлильных станках с ЧПУ отверстия обрабатывают без кондукторов и все параметры обеспечиваются точностью станка и инструмента, не следует предъявлять чрезмерно высокие требования к их точности. При обработке отверстий в сплошном материале необходимо предусматривать технологические переходы по зацентровке будущих отверстий, выполняемые сверлами меньшего диаметра (обычно короткими спиральными сверлами Æ 10 – 20 мм с углом при вершине 90° или центровыми комбинированными сверлами). При установлении последовательности обработки отверстий на станках с ЧПУ следует, помимо достижения заданной точности, учитывать и производительность, зависящую от времени смены инструмента, времени позиционирования и поворота стола. При обработке отверстий в корпусных деталях единичными инструментами структура технологической операции может быть построена по одному из следующих принципов: 1) в единичном производстве на характер построения МОД особое влияние оказывает станочное оборудование и его расположение в цехе; 2) в условиях тяжелого машиностроения при построении МОД необходимо учитывать сложность и трудоемкость транспортирования детали от станка к станку, установки и выверки ее на станке; 3) во всех случаях при составлении МОД необходимо пользоваться типовыми процессами. Это сократит срок составления МОД и уменьшит число нерациональных решений. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
