Динамика задача 4 14 вариант. задача д4 14 вариант. Задание со стр. 73

• Название: Задание со стр. 73
• Анкор: Динамика задача 4 14 вариант
• Дата: 04.10.2022
• Размер: 107.83 Kb.
• Имя файла: задача д4 14 вариант.docx
• Тип: Решение; #713400

Задание со стр. 73

Дано.

Механизм расположен в горизонтальной плоскости.

Водила О₁О₂: М, m₃g=P, ѱ

Шестарня 1: m₁g=Q, R, φ

Шестарня 2: m₂g=Q, r



Трение отсутствует.
Найти:
Решение.

В рассматриваемом механизме водила O₁О₂ и шестеренка 1 вращаются независимо друг от друга вокруг общей оси О₁.

При движении механизма шестерни 1 и водила O₁О₂ вращаются вокруг оси O₁, шестерня 2 совершает плоскопараллельное движение.

Система имеет две степени свободы: мы можем закрепить шестеренку 1, отобрав у механизма одну степень свободы, но механизм при этом не теряет подвижности: водила O₁О₂ может вращаться вокруг оси O₁, приводя в движение шестеренку 2. Если же закрепить и водила O₁О₂, то механизм потеряет подвижность.

1. 
   Скорости тел через обобщённые скорости:
   

2. 
   Кинетическая энергия системы равна:
   

Кинетическая энергия водилы O₁O₂:





Кинетическая энергия шестерни 1:





Кинетическая энергия шестерни 2:





Выражение для кинетической энергии системы принимает вид:



Подставив сюда заданные значения масс, получим:

3. 
   Потенциальная энергия системы
   

Так как механизм расположен в горизонтальной плоскости, то высота центральной тяжести тел не меняется, поэтому

4. 
   Обобщённые силы на возможных скоростях
   

Для нахождения обобщенной силы Q_ѱ, фиксируем координату , даём координате ѱ приращение ѱ, при этом точка О₂ сместится на расстояние , а шестеренка 2 повернется вокруг точки P (м.ц.с.) на угол .

Работа момента на этом возможном перемещении системы равна (работа сил тяжести звеньев равна нулю, так как механизм расположен в горизонтальной плоскости и силы тяжести перпендикулярны возможным перемещениям точек их приложения):



отсюда



Для определения Q_ фиксируем координату ѱ (точка O₂ становится неподвижной) и даем координате  приращение , при этом шестеренка 2 повернется на угол φ₂,



отсюда

5. 
   Уравнения Лагранжа второго рода
   

Выберем за обобщенные координаты углы поворота шестерни 1 –  и водила O₁О₂ – ѱ . Тогда из уравнений Лагранжа:





Составим первое дифференциальное уравнение:





Составляем второе уравнение:







Разрешая уравнения (1) и (2) относительно и получим:



Решаем систему методом подстановки:



Окончательный ответ: