Задания для лабораторных занятий по Прис у заочников Символьные вычисления

• Название: Задания для лабораторных занятий по Прис у заочников Символьные вычисления
• Дата: 04.02.2021
• Размер: 98.7 Kb.
• Имя файла: Zadania_zao_new.docx
• Тип: Документы; #173982

Задания для лабораторных занятий по ПрИС у заочников

Символьные вычисления

Для организации символьных вычислений в общем случае необходимо объявить соответствующие переменные символьными с помощью функции poly следующим образом:

var = poly (0, 'var');

здесь var – имя символьной переменной. Другой способ заключается в том, чтобы указать значение символьной переменной в апострофах

var = 'выражение'

Операции с символьными переменными производят так же, как и с числовыми. Можно строить символьные векторы и матрицы.

ЗАДАНИЕ 1

Пусть y = x³ + 5x² - 10, y₁ = 2x + 10, z = sinx² + cos³x. С помощью системы Scilab вычислить:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6.

Пример выполнения задания 1: пусть в условиях задания y=2x-3, y₁=x+1, z=sinx.Тогда для вычисления выражений 1, 2, 4, 6 можно в ко­мандном окне Scilab набрать следующие строки:

-->x=poly(0, 'x'); d1=derivat(2*x-3), d2=derivat(derivat(2*x-3)), d4=derivat((x+1)/(2*x-3)),

j = integrate('sin(x)', 'x', 0, %pi)

Завершив ввод нажатием клавиши Enter, получим в командном окне результат вычислений в виде

d1 =

2

d2 =

0

d4 =

- 5

-----------------

9 - 12x + 4x²

j =

2.

Указание. Для выполнения задания использовать окно редактора системы Scilab.

Замечание. Очевидно, функции derivat и integrate служат для вычисления соответственно производных и интегралов в системе Scilab. Для получения справки по синтаксису функций и примерам их использования можно набрать в командном окне команды help derivat и help integrate.

Полиномы и полиномиальные матрицы

Алгебраическим полиномом степени n называется выраже­ние вида с вещественными коэф­фициентами Корни полинома – это такие числовые значения неизвестного x, при которых значение полинома p(x) равно нулю. Другими словами, корни полинома – это решения алгебраического уравнения вида .

Для нахождения корней полинома (то есть для решения со­ответствующего алгебраического уравнения) удобно использо­вать функцию roots. Функция roots(p) возвращает вектор-стол­бец из корней полинома p.

Пример. Решить уравнение .

-->p= [7 0 12 23];x = roots(p)

x =

0.5564046 + 1.6257442i

0.5564046 - 1.6257442i

- 1.1128093

Замечание. Коэффициенты полинома следует вводить в по­рядке убывания степеней переменной x. Если в уравнении от­сутствует слагаемое, содержащее, например, x², то в векторе ко­эффициентов на соответствующем месте следует набрать 0.

Задать алгебраический полином можно по-разному.

Способ 1. Использовать команду poly следующего синтаксиса:

p = poly(a, 'x', ['flag'])

Параметры: a – матрица, вектор или действительное число; x – символьная переменная; 'flag' – строковая переменная, при­нимаю­щая значение 'roots' или 'coeff'. По умолчанию имеет значение 'roots'.

Можно писать сокращенно: 'flag'= 'r' или 'c'. Флаг 'c' озна­чает, что параметр a будет иметь смысл коэффициентов поли­нома. Флаг 'r' означает, что будет построен полином, корнями которого будут числа, заданные вектором a.

Пример.

--> poly([-1 0 8], 'x', 'r')

ans =

- 8x - 7x² + x³

--> poly([1 2 3], 'x', 'c')

ans =
1 + 2x + 3x²

Способ 2. Этот способ является более наглядным. Строка

x= poly (0, 'x');

определяет символьную переменную x = 'x'. Теперь можно вво­дить полином обычным образом.

Пример.

--> x = poly(0, 'x'); p=3*x^2-7*x+10

p =

10 - 7x + 3x²

Пример. Построить полиномиальную матрицу с элементами p₁=1+2x²-3x³ и p₂=1-x в первой строке и элементами p₁+p₂ и p₁-p₂ во второй строке.

--> x = poly(0, 'x'); p1=1+2*x^2-3*x^3; p2=1-x;

--> [p1 p2; p1+p2 p1-p2]

ans =

1+ 2x² - 3x³ 1 - x

2 - x + 2x² - 3x³ x + 2x² - 3x³

Над полиномиальными матрицами можно производить обычные операции. Чтобы получить полиномиальную дробь, можно создать числитель и знаменатель дроби с помощью ко­манды poly и воспользоваться знаком деления.

ЗАДАНИЕ 2

1. Построить полином, корнями которого будут числа 1, 2, 3. Сде­лать проверку.

2. Найти корни уравнения 5x⁴ -3x² +10x - 20=0.

3. Найти произведение полиномов p₁ = 3x³ + 2x² - 10x и p₂ = 5x² - 25x +10 и корни полученного полинома.

4. Найти сумму полиномов p₁= 8x⁴ +12x² + 3x, p₂ = 8x² - 13x - 70, p₃ = 2x⁴ - 20x +30 и корни полученного полинома.

Числовые матрицы

ЗАДАНИЕ 3

С помощью системы Scilab найти:

1. произведение AB матриц и ;

2. сумму всех элементов матрицы ;

3. сумму элементов строк и столбцов матрицы C;

4. определитель матрицы .

Системы линейных алгебраических уравнений

ЗАДАНИЕ 4

С помощью среды Scilab решить системы линейных алгебраиче­ских уравнений:

1. 
   2.
   

Пример выполнения задания 4: пусть система уравнений имеет вид



Очевидно, чтобы записать ее в матричном виде, надо учесть, что

, .

Тогда в окне редактора Scilab можно набрать строки:

clc // очистка командного окна

A=[1 2 3

4 5 6];

B=[2; 5];

x=A\B

и, предварительно сохранив файл, подать команду на выполнение. В результате в командном окне получим результат:

x =

0.5000

0

0.5000

то есть

Операторы ввода-вывода

Очевидно, простейшим оператором ввода в системе Scilab является оператор присваивания, с помощью которого непосредственно в тексте программы можно ввести значение переменной (скалярной или векторной). Также значение переменной можно ввести непосредственно с клавиатуры или из буфера обмена с помощью функции input:

v = input ('Текст'),

где v – имя переменной.

Оператор input выводит в командное окно строку «Текст» и ждет, пока пользователь введет значение, которое в результате будет присвоено переменной v.

Пример.

// Вычисление длины окружности

r=0;

r=input ('Введите радиус окружности r = );

disp('Длина окружности L='); disp(2*%pi*r)

Если эту программу набрать в окне редактора, сохранить в виде .sci-файла yyy.sci и запустить, то получим в командном окне:

-->Введите радиус окружности r = -->10

Длина окружности L=

62.8318532

Для вывода значения переменной v в простейшем случае достаточно указать имя этой переменной в строке командного окна. В окне редактора для вывода значения переменной v можно использовать функцию disp. Оператор disp(v) выводит на экран значение переменной v без указания имени перемен­ной. Синтаксис команды в общем случае:

disp (v1 [, v2, ..., vn]),

где v1, v2, …, vn – имена переменных и/или текстовые (сим­вольные) константы.

Файлы-сценарии (скрипт-файлы)

ЗАДАНИЕ 5

1. Вычислить значения функции на отрезке [1, 11] с ша­гом h=2. Вывести на экран все значения аргумента и функции в виде двух столбцов.

2. Вычислить сумму всех значений функции на от­резке [2, 8] с шагом h=0,5. Значение суммы вывести на экран.

3. Для функции на отрезке [1, 5] вычис­лить сумму всех отрицательных значений, считая шаг h=0,4. Значение суммы и количество слагаемых вывести на экран.

4. Суммировать случайные числа в диапазоне (0, 7) до тех пор, пока значение суммы меньше 17. Дополнительное условие: слагаемые должны лежать в интервале (2; 6). Все слагаемые и промежуточные значения суммы вывести на экран.

Пример выполнения задания 5: для функции вычис­лить сумму положительных значений на отрезке [2, 4] с шагом h=0,5.

Для решения этой задачи целесообразно набирать соответст­вующие команды (операторы) в окне редактора. Откроем окно редак­тора и наберем в нем следующие строки:

// Циклические вычисления с условием

clc

s=0; // начальное значение суммы

forx=2:0.5:4;

y=cos(3*x^2);

if y>0

s=s+y;

end

end

disp(s, 'Значениесуммы')

После сохранения набранного .sce-файла и запуска его на решение, получим в командном окне результат

s = 2.4213

Если требуется дополнительно вычислить еще и все значения функции y, то в программу надо добавить одну строку:

. . . . . . . . . . . . . . .

for x=2:0.5:4;

y=cos(3*x^2);

disp([x, y]) // вывод значений x, y

if y>0

s=s+y;

end

. . . . . . . . . . . . . . .

ЗАДАНИЕ 6

1. Пусть x = 0.397; вычислить значение функции



2. Вычислить количество отрицательных элементов заданного вектора произволь­ной длины.

3. Вычислить количество отрицательных элементов вектора, со­стоящего из 10 произвольных целых чисел, вводимых с клавиатуры.

4. Вводить с клавиатуры целые числа и суммировать четные, пока сумма ≤10. На экран вывести сумму и количество слагаемых.

Файл-функции

В случае нескольких выходных параметров файл-функция имеет следующую структуру:

function [var1, var2, ...] = f_name (Список входных параметров)

// Комментарий

Тело файла с любыми выражениями

var1= выражение

var2= выражение

. . . . . . . .

endfunction

При вызове функции в виде f_name (Список входных пара­метров) будет возвращаться только значение первого выходного параметра var1. Чтобы получить значения всех выходных параметров, следует использовать обращение к функции вида

[var1, var2, . . .] = f_name (Список входных параметров)

Пример. Составить программу вычисления значения функции y = sin³(5x) для любого значения х (например, для x = 3). Программу оформить в виде файла-сценария и в виде файла-функции.

Сначала запишем файл-сценарий.

// Вычисление значения функции (script-file)

clc

x = input('Введите x='); // x = 3;

y = sin(5*x)^3;

disp(y, 'y = ')

Дальнейшие действия очевидны.

Теперь запишем файл-функцию.

// Вычисление значения функции (file-function)

clc

function y = sin_value(x)

y = sin(5*x)^3;

disp (y, 'y = ', x, 'x = ')

endfunction

y = sin_value(5) // можно набирать в командном окне

ЗАДАНИЕ 7

1. Составить программу вычисления суммы и произведения n на­туральных чисел. Программу оформить в виде файла-функции с од­ним входным и двумя выходными параметрами.

2. Составить программу, которая вычисляет значения функции y=cosx в n точках, начиная с x=a, с шагом h и суммирует значения y>b. Вывести в командное окно количество слагаемых и значение суммы. Программу оформить в виде файла-функции.

Построение графиков функций

Для построения графика функции y(x) в простейшем случае используют функцию plot(x, y) или plot2d(x, y).

Пример. Построить график функции y=sin(x), если x принимает значения от 0 до 10 с шагом 0,1.

--> x = 0:0.1:10; plot(x, sin(x))

Для построения графиков нескольких функций y₁(x), y₂(x), … , y_n(x) в одном графическом окне можно воспользоваться функцией plot(x, y1, x, y2, …, x, yn).

Очистить графическое окно можно оператором clf().

Для построения графиков функций в разных графических окнах используют оператор scf (set current figure).

Добавить к графику сетку можно командой xgrid.

Для расположения нескольких графиков в одном окне без наложения их друг на друга можно использовать операторы subplot или plotframe. Каждый из этих операторов делит графи­ческое окно на несколько областей, однако оператор subplot имеет более простой синтаксис, чем оператор plotframe.

Оператор subplot следует указать раньше оператора по­строения графика. Синтаксис оператора: subplot(m, n, p), где m – количество окон по вертикали, n – число окон по горизонтали, p – номер текущего окна.

Для изображения графика функции (дискретной или непре­рывной) в виде ступенчатой линии в Scilab существует функция plot2d2(x, y). Она совпадает по синтаксису с функцией plot2d.

Для построения анимированных двумерных и трехмерных графиков используют функции comet и comet3d соответственно. С синтаксисом этих функций и особенностями их использования можно ознакомиться с помощью справочной системы среды Scilab 5. 4.0.

ЗАДАНИЕ 8

Построить графики следующих функций:

1. , ; , h = 0,25 (в одном графиче­ском окне, пересечение осей задать в точке (0, 0)).

2. y = sin(2x+5), , h = 0,3. График построить ступенчатой линией. Добавить в графическое окно легенду и сетку. Пересечение осей задать в точке (0, 0).

3. , , h = 0,2. Добавить в график общий заголовок и заголовки осей.

4. , , , на отрезке с шагом h = 0,25 в одном графическом окне без наложения. В каждом из четырех подокон привести легенду.

5. y = sin(x), z=cos(x) - 0.5, , h = 0,1. Графики функций построить с использованием анимации, в одном графическом окне, разными цветами.

Решение нелинейных уравнений вида f(x)=0

К нелинейным уравнениям относят алгебраические и транс­цендент­ные уравнения. Алгебраическое уравнение – это урав­нение, левая часть которого задана алгебраическим полиномом, то есть имеет вид , где – вещественные коэффициенты. Следовательно, решения (корни) алгебраического уравнения – это корни соответствующего поли­нома, которые можно искать, например, с помощью функции roots (см. с. 2). Трансцендентным называют уравнение, в ко­тором неизвестная величина является аргумен­том показатель­ной, логарифмической или тригонометрической функции.

Численное решение нелинейного уравнения состоит из двух этапов: отделения корня и уточнения корня. При отделении корня ищут отрезок, на котором находится только один корень. На этапе уточнения корень вычисляют с заданной точностью.

Для решения нелинейных уравнений в Scilab применяют функцию fsolve(x0, f), где x0 – начальное приближение, f – функция, описывающая левую часть уравнения f(x) = 0.

ЗАДАНИЕ 9

1. С помощью функции fsolve найти на отрезке [-6, 8] корни урав­нения 3sinx + 6cos(x+3) – 1 = 0. Левую часть уравнения задать в файле-функции с одним входным и одним выходным параметром. Для отде­ления корней уравнения предварительно построить график левой части уравнения.

2. С помощью функции fsolve найти все корни уравнения –x² + 8x + 13cosx – 12 = 0 на отрезке [-3, 5]. Для отделения кор­ней уравнения предварительно построить график левой части уравнения.

Численное интегрирование

При численном интегрировании вычисляют приближенно

,

причем подынтегральная функция f(x) может быть задана как аналитически, так и таблицей. При этом функцию f(x), как пра­вило, аппроксимируют функцией Q(x) и вычисляют интеграл от аппроксимирующей функции.

При вычислении определенных интегралов численными ме­тодами используют функции intsplin, inttrap, integrate, intg.

Способ 1. Использование функции intsplin. Это интегрирова­ние экспериментальных данных с помощью сплайн-интерполя­ции. Значения интегрируемой функции в дискретных точках (уз­лах) предполагаются заданными. Синтаксис функции:

J = intsplin ([x, ] y).

Параметры: x – вектор координат x данных; y – вектор коор­динат y данных; J – искомое значение интеграла.

Пример. Вычислить интеграл от таблично заданной функции

x	1	1.4	1.8	2.2	2.6	3.0	3.4	3.8	4.2	4.6	5
y	1.649	1.377	1.197	1.083	1.020	1.0	1.020	1.083	1.197	1.377	1.648

-->x=1:.4:5;

-->y = exp((x-3)^2/8) // значения у в таблице получены

// табулированием этой функции

-->J = intsplin(x, y)

Результат:

J =

4.7799684

Способ 2. Использование функции inttrap. Подынтегральная функ­ция между соседними узлами интерполируется линейно. Та­кой метод называется методом трапеций. Синтаксис функции:

J = inttrap ([x,] y).

Параметры: x – вектор координат x данных; y – вектор коор­динат y данных (значения ин­тегрируемой функции), yi=f(xi); J – искомое значение интеграла.

Вычислим интеграл от той же самой функции

--> x = 1:.4:5; y = exp((x-3).^2/8); J = inttrap(x, y)

Результат:

J =

4.8017553

Способ 3. Использование функции integrate. Это интегриро­вание по квадратуре. Можно задавать требуемую точность вы­числений. Синтаксис функции:

J = integrate (expr, v, a, b [, ea [, er]]).

Параметры: expr – подынтегральная функция; v – перемен­ная интегрирова­ния; a, b – пределы интегрирования (веществен­ные числа); ea, er – вещественные числа (предельная абсолют­ная и предельная относительная погрешно­сти). По умолчанию ea принимает значение 0, er = 1.d-8.

Пример: вычислить .

-->J =integrate('exp((x-3)^2/8)', 'x', 1, 5)

Результат: J = 4.7798306

Можно это сделать иначе. Набираем и сохраняем в окне ре­дактора под именем m.sci файл

clc

function g = m(x)

g = exp((x-3).^2/8);

endfunction

Загружаем этот файл в среду Scilab. Далее в командном окне набираем:

-->J = integrate('m', 'x', 1, 5)

Результат: J =4.7798306

Способ 4. Использование функции intg. Интегрируемая функция задана либо в виде набора дискретных точек, либо вы­числяется с помощью внешней подпрограммы. Можно задавать требуемую точность вычислений. Синтаксис функции:

[v, err] = intg (a, b, f [, ea [, er]])

Параметры: a, b – пределы интегрирования (действительные числа); f – внешняя функция (или список строк); ea, er – действи­тельные числа; ea – требуемая абсолютная погрешность точности вычисления (по умолчанию принимает значение 0); er – относи­тельная погрешность точности вычисления (по умолчанию равна 1.d-8); err – оценка абсолютной погрешности результата.

Функция f может быть: задана в дискретных узловых точ­ках; именем внешней процедуры, написанной на языке, на­пример Fortran; 3) записана в виде строки как list(f, x1, x2, ...).

В итоге для вычисления интеграла набираем

-->J = ntg(1, 5, m) // m – описанная выше функция.

Результат: J = 4.7798306

З АДАНИЕ 10

1 . Вычислить методом трапеций и методом сплайн-интерполяции. Шаг подобрать так, чтобы в результатах совпали первые 4 цифры после десятичной точки.

2 . Для функции вычислить методом трапеций.

3 . Вычислить с помощью функции intg, по квадратуре и методом трапеций интеграл


(шаг подобрать так, чтобы в ответах совпали первые 3 цифры после десятичной точки).