Закон Архимеда. Полный ответ должен содержать
 Скачать 0.63 Mb.
|
|
Олимпиада школьников «Покори Воробьевы Горы» по ФИЗИКЕ Финальный (очный) тур Ответы и возможные решения Вариант 1 6М. Теория: Закон Архимеда. Полный ответ должен содержать: формулировку закона с определением всех входящих в него величин. Важно обратить внимание, что для полного описания силы Архимеда должны быть указаны ее физическая природа, величина, направление и точка приложения. Задача: На поверхности воды плавает в вертикальном положении цилиндр массой 120 г с площадью основания 75 см 2 . С какой циклической частотой будут происходить вертикальные гармонические колебания цилиндра, если его слегка сместить из положения равновесия? Ускорение свободного падения g = 10 м/с 2 , сопротивлением среды пренебречь. Решение: В положении равновесия сила тяжести уравновешивается силой Архимеда. При вертикальном смещении цилиндра на x возникает возвращающая сила, равная изменению силы Архимеда F = ΔF A = =ρΔVg = ρSxg. Видно, что сила пропорциональна смещению, следовательно m S g m k = 25 рад/сек. Ответ: m S g m k = 25 рад/сек. 13М. Теория: Силы упругости. Понятие о деформациях. Закон Гука. Модуль Юнга. Полный ответ должен содержать: описание природы сил упругости и смысла понятия «деформация» с указанием типов деформаций, описанных в школьной программе, формулировку закона Гука с определением всех входящих в него величин, выражение для коэффициента упругости однородного тела заданной длины и площади поперечного сечения, определение модуля Юнга. Задача: На конце невесомого стержня, прикрепленного с помощью трех одинаковых пружин к потолку, находится груз массой m . Расстояние между пружинами и от крайней пружины до груза одинаковы. Пружины вертикальны. Определите силы упругости F 1 , F 2 , F 3 , в пружинах. Решение. 0 3 2 1 mg F F F - условие равновесия сил, приложенных к стержню, в проекции на вертикаль. 0 3 2 3 2 mgl l F l F - уравнение моментов относительно точки О. Обозначим растяжения пружин 1 x , 2 x , 3 x , коэффициент жесткости – k 1 1 x k F , 2 2 x k F , 3 3 x k F , и, поскольку из геометрии 2 1 1 3 1 2 x x x x 2 1 3 2 x x x 2 1 3 2F F F , то из этого условия и условий равновесия получаем выражения для сил: 2 1 3 3 2 3 2 1 2 3 2 F F F mg F F mg F F F mg F mg F mg F 3 4 , 3 1 , 3 2 3 2 1 Знак «минус» показывает, что первая пружина сжата. Ответ: величины сил упругости mg F mg F mg F 3 4 | | , 3 1 | | , 3 2 | | 3 2 1 5Т. Теория: Теплоемкость тела. Теплоемкость одноатомного идеального газа при изохорном и изобарном процессах. Полный ответ должен содержать: Определение теплоемкости тела и примеры выражений для ее вычисления, описание модели идеального газа и выражения для теплоемкости одноатомного идеального газа при изохорном и изобарном процессах. 1 2 3 О Задача: С одним молем идеального одноатомного газа осуществляется цикл, состоящий из двух изохор (1-2), (3-x) и двух изобар (2-3), (x-1). Определите КПД η цикла. Температуры в точках обозначенных цифрами 1, 2, 3, считать соответственно равными T 1 , T 2 , T 3 Решение: По определению: η = А/Q H ; Работу газа можно вычислить как площадь цикла в координатах P-V: A = (P 1 − P 2 )(V 3 − V 1 ) = P 2 V 3 − P 2 V 1 − P 1 V 3 + P 1 V 1 = RT 3 − RT 2 − RT x + RT 1 ; P 1 /P 2 = T 1 /T 2 = P 1 /P 3 = T x /T 3 =>T x = T 1 T 3 /T 2 ; Газ получает тепло в процессах 1-2 и 2-3, поэтому: Q H = Q 12 + Q 23 = 3/2R(T 2 − T 1 ) + 5/2R(T 3 − T 2 ) = 3/2RT 2 − 3/2RT 1 + 5/2RT 3 − 5/2RT 2 = = 5/2RT 3 − 3/2RT 1 − 2/2RT 2 = 1/2R(5T 3 − 3T 1 − 2T 2 ); η = 2(T 3 − T 2 − T 1 T 3 /T 2 + T 1 )/(5T 3 − 3T 1 − 2T 2 ) = 2/T 2 ×(T 3 T 2 − T 2 2 − T 1 T 3 + T 1 T 2 )/(5T 3 − 3T 1 − 2T 2 )= 2/T 2 ×(T 3 (T 2 − T 1 ) − T 2 (T 2 − T 1 ))/(5T 3 − 3T 1 − 2T 2 ) = (2(T 2 − T 1 )(T 3 − T 2 ))/T 2 (5T 3 − 3T 1 − 2T 2 ) = = 2(T 2 − T 1 )(T 3 − T 2 )/T 2 (5T 3 − 3T 1 − 2T 2 ). Ответ: 2 1 3 2 2 3 1 2 2 3 5 2 T T T T T T T T 5Э. Теория: Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца. Полный ответ должен содержать: Определение работы и мощности тока, формулировку закона Джоуля-Ленца с определением всех содержащихся в ней величин и описание причин существования тепловых потерь при протекании тока в проводнике. Задача: От генератора с ЭДС ε = 250 В и внутренним сопротивлением r = 0,1 Ом необходимо протянуть к потребителю двухпроводную линию длинной l = 100 м. Какая масса алюминия пойдет на изготовление линии, если мощность потребителя P = 22 кВт, и он рассчитан на напряжение U = 220 В? Удельное сопротивление алюминия ρ = 2,8×10 -8 Ом×м, плотность алюминия d = 2,7 г/см 3 Решение. Ток через сопротивление нагрузки R равен J = ε /(r + R + R X ), где R X – сопротивление линии. Мощность, выделяемая на нагрузке P = JU = ε U/(r + R + R X ); отсюда, учитывая, что P = U 2 /R, находим R X = ( ε U – U 2 )/P – r . С другой стороны, R X = ρ×L/S , L = 2l X R l S / 2 , где S - площадь поперечного сечения. Следовательно, m = dV = dLS = r P U U P l d R l d X 2 2 4 4 ≈ 15,1 кг. Ответ: m = r P U U P l d 2 4 ≈ 15,1 кг. 5О. Теория:Законы преломления света. Явление полного (внутреннего) отражения. Полный ответ должен содержать: Формулировку закона преломления света с определением входящих в нее понятий и величин, описание явления полного внутреннего отражения и формулу для угла полного внутреннего отражения. Задача: В дно водоема глубиной a = 2 м вбита свая, которая на b = 0,75 м выступает из воды. Найти длину тени от сваи на дне водоема, если высота Солнца над горизонтом в данный момент = 45 Показатель преломления воды n = 1,33. Решение. Длина тени от сваи на дне водоема l = l 1 + l 2 = b ctg(φ) + a tg(r). Поскольку n = sin(i’)/sin(r) = cos(φ)/sin(r), то, выражая tg(r) через φ, находим, что 2 2 cos cos n a ctg b l ≈ 2м. Ответ: 2 2 cos cos n a ctg b l ≈ 2 м. Вариант 2 5М. Теория: Свободные колебания. Превращение энергии при гармонических колебаниях. Затухающие колебания. Полный ответ должен содержать: Определение свободных и гармонических колебаний, описание превращений энергии при гармонических колебаниях, описание затухающих колебаний и примеры таких колебаний с указанием причины затухания. Задача: Шарик, подвешенный на пружине, отвели от положения равновесия вертикально вниз на 3 см и сообщили ему начальную скорость 1 м/с, после чего шарик стал совершать вертикальные гармонические колебания с циклической частотой 25 рад/с. Найдите амплитуду этих колебаний. Решение: Запишем для шарика закон сохранения механической энергии: ½kx 0 2 + ½mv 0 2 = ½kA 2 A 2 = x 0 2 + v 0 2 /(k/m) = x 0 2 + v 0 2 /ω 2 . Значит, A = 2 2 0 2 0 /ω v x = 5 см. Ответ: A = 2 2 0 2 0 /ω v x = 5 см. 12М. Теория: Условия равновесия тела. Устойчивое, неустойчивое и безразличное равновесии тел. Полный ответ должен содержать: Запись условий равновесия тела и описание типов равновесия. Задача: Правый конец доски, наполовину погруженной в воду, опирается о шероховатый уступ А. Масса доски m . Определите величину силы реакции R А с которой уступ действует на доску. А Решение: Обозначим F A силу Архимеда, тогда уравнение моментов относительно точки А: g m F l F l mg A A 3 2 0 4 3 2 Так как сила Архимеда и сила тяжести направлены вдоль вертикали, то и полная сила реакции (сумма сил нормальной реакции и трения) тоже направлена вдоль нее – вверх, поэтому: mg F mg R R mg F A A A A 3 1 0 Ответ: mg R A 3 1 7Т. Теория: Первый закон термодинамики. Понятие об адиабатическом процессе. Полный ответ должен содержать: Формулировку I Начала термодинамики с определением входящих в него величин и объяснением их взаимосвязи, определение адиабатического процесса и объяснение закономерностей этого процесса. Задача: С одним молем идеального одноатомного газа осуществляется цикл, состоящий из двух изохор (1-2), (3-4) и двух адиабат (2-3), (4-1). При адиабатном расширении объем увеличивается в n раз. Определите КПД цикла. Уравнение адиабаты можно представить в виде PV γ =const, где γ = const – показатель адиабаты. Решение: η = (Q H -Q X )/Q H , причем Q H = Q 12 = 3/2R(T 2 -T 1 ) Q X = - Q 34 = 3/2R(T 3 -T 4 ) Запишем уравнение адиабаты и уравнение Менделеева-Клапейрона: const V T RT pV const V p 1 Следовательно: T 2 V 1 γ-1 = T 3 (nV 1 ) γ-1 T 2 = n γ-1 T 3 T 1 V 1 γ-1 = T 4 (nV 1 ) γ-1 T 1 = n γ-1 T 4 Таким образом, КПД цикла η = 1 – (T 3 −T 4 )/(T 2 – T 1 ) = 1 – (T 3 −T 4 )/(n γ-1 T 3 −n γ-1 T 4 ) = 1 − n 1 − γ . Ответ: η = 1 − n 1 − γ . 4Э. Теория: Электрический ток. Сила тока. Условия существования тока в цепи. Электродвижущая сила. Полный ответ должен содержать: Определение понятия «электрический ток» и определение силы тока, формулировку условий существования тока, определение ЭДС и пояснение физического смысла этой величины. Задача: В изображенной на рисунке схеме конденсатор имеет заряд q 1 = 10 мкКл. Определите заряд q 2 на конденсаторе, после замыкания ключа К. Внутренним сопротивлением источника пренебречь. Решение: Если ключ разомкнут, то J 1 = ε /2R, U 1 = J 1 R = ε /2, q 1 = CU 1 = C ε /2, => ε = 2q 1 /C Если ключ замкнут, воспользуемся правилами Кирхгофа и учтем симметрию ветвей с ЭДС: I + I = I 2 I 2 R + IR = ε 3 2 2 R I ε C q U 3 4 1 2 q 2 = CU 2 = 4/3q 1 ≈ 13 мкКл Ответ: q 2 = 4/3 q 1 ≈ 13 мкКл. 2О. Теория: Законы преломления света. Абсолютный и относительный показатели преломления. Явление полного (внутреннего) отражения. Полный ответ должен содержать: Формулировку закона преломления света с определением входящих в нее понятий и величин, определение абсолютного и относительного показателей преломления и описание его физического смысла, описание явления полного внутреннего отражения и формулу для угла полного внутреннего отражения. Задача: В плоской ванне с жидкостью на глубине h 0 =3 см помещен точечный источник света. Источник начинает смещаться по вертикали со скоростью V = 10 -3 м/c. На дне ванны находится плоское зеркало, а на поверхности, на высоте H=4 см от дна плавает непрозрачный диск радиусом R = 6 см. Центр диска расположен на одной вертикали с источником света. Через какое время t источник света станет виден для внешнего наблюдателя? Показатель преломления жидкости n = 2 Решение: Пусть S, S 1 – источник света и его отражение в зеркале. Чтобы источник стал виден, угол должен быть равен или меньше угла полного внутреннего отажения. В «пограничном» положении n 1 sin n R h H R 1 ) 2 ( sin 2 2 Из этого уравнения определяем h: 1 2 2 n R H h м см h 2 10 2 2 Как видно, источник должен двигаться вверх, причем c V H n R h V h h t 10 2 1 2 0 0 Ответ: t = 10 с, если источник движется вверх. При движении вниз источник не станет виден даже при опускании на дно ванны. Вариант 3 1М. Теория: Система отсчета. Траектория. Вектор перемещения. Путь. Скорость. Ускорение. Полный ответ должен содержать: Определение всех перечисленных понятий и физических величин, описание их взаимосвязей. Задача: Из одной точки над поверхностью земли одновременно вылетают две частицы с горизонтальными противоположно направленными скоростями v 1 = 4 м/с и v 2 = 9 м/с. Через какое время τ угол между направлениями скоростей этих частиц станет равным 90°? Ускорение свободного падения g ≈ 10 м/с. S 1 S * R H * * h h 0 Сопротивлением воздуха пренебречь. Решение: По условию α 1 + α 2 = 90°; Заметим, что sinα 1 = 2 2 2 1 / g v g , cosα 2 = 2 2 2 2 2 / g v v = cos(90° − α 1 ) = sinα 1 ; таким образом: 2 2 2 2 2 / g v v = 2 2 2 1 / g v g ⇒ (gτ) 2 (v 2 2 + (gτ) 2 ) = v 2 2 (v 1 2 + (gτ) 2 ) ⇒ v 1 v 2 = (gτ) 2 ; Следовательно, τ = 2 1 v v /g ≈ 0,6 с. Ответ: τ = 2 1 v v /g ≈ 0,6 с. 10М. Теория:Криволинейное движение. Тангенциальное и нормальное ускорения. Полный ответ должен содержать: Определение криволинейного движения, определение скорости и ускорения тела и описание разбиения ускорения на тангенциальную и нормальную компоненты, формулы для их вычисления. Задача: Пушечное ядро, выпушенное под углом к горизонту с начальной скоростью v 0 , движется по некоторой траектории. Если по этой траектории полетит воробей с постоянной скоростью v 0 , то каким будет его ускорение на высоте, равной высоте наибольшего подъема ядра? Сопротивление воздуха при движении ядра не учитывать. Ускорение свободного падения равно g. Решение: Радиус кривизны траектории (общей для ядра и воробья) в верхней точке вычислим по величине ускорения ядра (оно равно g и направлено вниз, то есть перпендикулярно скорости ядра в этой точке): g v g v R 2 2 0 2 cos Ускорение воробья совпадает с его центростремительным ускорением (так как его скорость неизменна по модулю), и поэтому 2 2 0 cos g R v a Ответ: ускорение воробья в верхней точке траектории 2 cos g a 4Т. Теория:Зависимость давления и плотности насыщенного пара от температуры. Зависимость температуры кипения от давления. Полный ответ должен содержать: Определение насыщенного пара и описание зависимости его давления и плотности от температуры с указанием характерных точек графика этой зависимости, описание зависимости температуры кипения от давления. Задача: В закрытом с обоих концов цилиндре объемом V = 2 л свободно ходит невесомый тонкий поршень. В пространстве с одной стороны поршня вводится m 1 = 2 г воды; с другой стороны поршня m 2 = 1 г азота. Найти отношение объемов частей цилиндра при t = 100 °С. Молярная масса азота μ 2 = 28∙10 -3 кг/моль, молярная масса воды μ 1 = 18∙10 -3 кг/моль. Решение: Установившееся давление не может быть больше давления насыщенных паров воды (p нас ≈ 101 кПа, при t = 100 °С). Если вся вода испарилась, то p < p нас , тогда pV 1 = m 1 RT/μ 1 ; p(V-V 1 ) = m 2 RT/μ 2 ; p = (m 1 RT/μ 1 + m 2 RT/μ 2 )/V = RT(m 1 /μ 1 + m 2 /μ 2 )/V = 8,31∙373(2/18 + 1/28)/(2∙10 -3 ) = 2,28∙10 5 Па; p > p нас , то есть наше предположение неверно; следовательно не вся вода испарилась, и p = p нас p нас (V-V 1 ) = m 2 RT/μ 2 ; (V-V 1 ) = m 2 RT/(μ 2 p нас ) ⇒ V 2 /V=(V-V 1 )/V = m 2 RT/(V μ 2 p нас ) ⇒ V 1 /V = 1 – m 2 RT/(V μ 2 p нас ); 82 , 0 11 9 1 2 2 2 1 T R m p V V V нас Ответ: V 1 /V 2 ≈ 9/11. 2Э. Теория: Закон Ома для полной цепи. Правила Кирхгофа. Полный ответ должен содержать: Формулировку закона Ома для полной цепи и правил Кирхгофа с определением входящих в них величин. Задача: Определите заряд, который пройдет через сопротивление R 1 после размыкания ключа K. Внутренне сопротивление источника ЭДС r = 10 Ом, ε = 50 В, R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = 20 Ом, С = 10 мкФ. Решение: Так как через конденсатор постоянный ток не течет, то при замкнутом ключе К разность потенциалов на обкладках конденсатора равна падению напряжения U 2 на сопротивление R 2 . Так как R 2 и R 3 соединены между собой последовательно и оба они параллельны R 4 , то ток в ветви с источником J = ε (R 2 + R 3 +R 4 )/(r(R 2 + R 3 + R 4 ) + R 4 (R 2 + R 3 )) Ток через сопротивление R 2 : J 2 = ε R 4 /(r(R 1 + R 2 + R 4 ) + R 4 (R 2 + R 3 )), и падение напряжения на нем U 2 = J 2 R 2 = ε R 2 R 4 /( r(R 2 + R 3 + R 4 ) + R 4 (R 2 + R 3 )). Следовательно, заряд на конденсаторе при замкнутом ключе q 2 = CU 2 = ε CR 2 R 4 /(r(R 2 + R 3 + R 4 ) + R 4 ((R 2 + R 3 )) После размыкания ключа К разность потенциалов на обкладках конденсатора будет равна падению напряжения U 3 на сопротивление R 3 . В этом случае сила тока J через R 3 : J = ε /(r + R 2 +R 3 ), и падение напряжение на нем U 3 = JR 3 = ε R 3 /( r +R 2 + R 3 ). Значит, заряд на конденсаторе q 3 = CU 3 = ε CR 3 /(r + R 2 + R 3 ) Т.к. при размыкании ключа разность потенциалов между обкладками меняет знак, то заряд, проходящий через сопротивление R 1 , соединенное последовательно с конденсатором будет равен сумме зарядов q 1 и q 3 , т.е. Δq = q 2 + q 3 = С ε [ R 3 /(r +R 2 + R 3 ) +R 2 R 4 /(r(R 2 + R 3 + R 4 ) + R 4 (R 2 + R 3 ))] ≈ 343 мкКл Ответ: Δq = С ε[ R 3 /(r +R 2 + R 3 ) +R 2 R 4 /(r(R 2 + R 3 + R 4 ) + R 4 (R 2 + R 3 )) ] ≈ 343 мкКл 6О. Теория: Законы отражения света. Плоское зеркало. Полный ответ должен содержать: Формулировку закона отражения света с определением входящих в нее понятий и величин, описание плоского зеркала и принципа построения изображений в плоском зеркале. Задача: Человек, рост которого h = 1,75 м, находится на расстоянии l = 6 м от столба высотой H = 7 м. На каком расстоянии от себя человек должен положить на Землю горизонтальное маленькое плоское зеркало, чтобы в нем видеть изображение верхушки столба? Решение: В соответствии с законом отражения света луч 1, падающий из вершины столба на зеркало, и луч 2, отраженный от зеркала и попадающий в глаз человека, лежат в одной плоскости, а угол падения i и отражения r равны: i = r. Если x – расстояние от человека до зеркала, то tg (i) = (l − x)/H = tg (r) = x/h ⇒ x = h l / (H + h) = 1,2 м. Ответ: x = h l / (H + h) = 1,2 м. Вариант 4 8М. Теория: Закон сохранения механической энергии. Полный ответ должен содержать: Определение кинетической, потенциальной и полной механической энергии, формулировку закона сохранения полной механической энергии. Задача: Тело вращается на невесомой, нерастяжимой нити в вертикальной плоскости. При этом разность сил натяжения нити в нижней и в верхней точках траектории равна Т = 60 Н. Определите массу тела. Ускорение свободного падения g = 10 м/с 2 . Сопротивлением воздуха пренебречь. Решение: Второй закон Ньютона для тела в верхней и нижней точках траектории в проекции на оси, направленные от тела к центру, имеют вид mv 1 2 /l = T 1 − mg, mv 2 2 /l = T 2 + mg. Из закона сохранения энергии получаем: mv 1 2 /2 − mv 2 2 /2 = 2 mgl, и поэтому T 1 − T 2 =2mg + m(v 1 2 – v 2 2 )/l = 6mg = ΔT ⇒ m = ΔT/6g = 1 кг Ответ: m = ΔT/6g = 1 кг. 9М. Теория: Первый, второй и третий законы Ньютона. Полный ответ должен содержать: Формулировку законов Ньютона и краткое объяснение их физического содержания. Задача: На некоторой планете может быть реализован следующий эксперимент. При плоских колебания математического маятника длиной L = 3 м, максимальная сила натяжения нити отличается от минимальной в k = 4 раза, если максимальный угол отклонения равен некоторому значению α. Такой же угол α c вертикалью образует нить маятника, если она вращается с периодом τ = 4 с вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса (конический маятник). Определите численное значение ускорения свободного падения на данной планете. Решение: Колебательное движение: T max − mg = mv 2 /L; T min − mgcosα = 0; mv 2 /2 = mgL(1 − cosα); mv 2 /L = 2mg(1 − cosα) = 2mg − 2mgcosα; T max = mg + 2mg − 2mgcosα = 3mg − 2mgcosα; T min = mgcosα; T max /T min = k = (3mg − 2mgcosα)/mgcosα => cosα = 3/(k + 2) = 3/6 = 1/2. Вращательное движение — конический маятник: x: Tsinα = mω 2 Lsinα ⇒ T = mω 2 L; y: Tcosα = mg ⇒ mω 2 Lcosα = mg; Следовательно: g = ω 2 L cosα = ω 2 L∙3/(k + 2) = (2π/τ) 2 L∙3/(k + 2) = 3,7 м/с 2 Ответ: g = (2π/τ) 2 L∙3/(k + 2) = 3,7 м/с 2 3Т. Теория: Внутренняя энергия системы. Количество теплоты и работа как меры изменения внутренней энергии. Понятие об адиабатическом процессе. Полный ответ должен содержать: Определение внутренней энергии системы, описание связи ее изменений с количеством теплоты и работой (на основе I Начала термодинамики), определение адиабатического процесса и объяснение закономерностей этого процесса. Задача: Сосуд с газом разделен теплопроводящей подвижной перегородкой на две части. Первоначально температура газа в первой части была t 1 = – 73 C, а объем этой части – V 1 . Объем второй части V 2 , а температура t 2 = 527 C. При выравнивании температур перегородка перемещается. Когда температуры выровнялись, объем первой части стал равен V 2 . Найти температуру газа в конечном состоянии. Теплообмен с окружающей средой отсутствует. Деформациями и тепловым расширением стенок сосуда пренебречь. Решение: Уравнения Менделеева-Клапейрона до выравнивания температур: P 1 V 1 = 1 RT 1, P 1 V 2 = 2 RT 2. Из этих уравнений следует, что 1 1 2 2 1 2 T T V V (1). После выравнивания температур: PV 2 = 1 RT, PV 1 = 2 RT. Откуда следует 2 1 1 2 V V (2). Из (1) и (2) следует, что 1 1 2 2 T T (3). Поскольку по условию теплообмен с внешней средой отсутствует, а работу газы из частей сосуда совершают только друг на другом, то внутренняя энергия газа во всем сосуде не изменяется. Тогда 1 1 2 2 1 2 2 2 2 i i i RT RT RT , поэтому 1 1 2 2 1 2 T T T Используя (3) в последнем выражении, получаем 2 1 1 2 1 2 1 2 T T T T T TT T T = 400 К. Ответ: 1 2 T TT = 400 К. 7Э. Теория: Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца. Полный ответ должен содержать: Формулировку закона электромагнитной индукции Фарадея и правила Ленца с определением входящих в них величин. Задача: По двум медным шинам, установленным под углом к горизонту, скользит под действием силы тяжести проводящая перемычка массой m и длиной l . Скольжение происходит в однородном магнитном поле с индукцией В. Поле перпендикулярно плоскости перемещения перемычки. Вверху шины соединены резистором сопротивлением R. Коэффициент трения скольжения между поверхностями шин и перемычки равен ( <tg ). Пренебрегая сопротивлением шин и перемычки, найдите ее установившуюся скорость. Перемычка находится в горизонтальной плоскости и перпендикулярна шинам. Ускорение свободного падения g. Решение: В «установившемся» режиме величина ЭДС индукции Bvl t Blvt инд , R Bvl I Скорость перемычки в этом режиме постоянна, поэтому сумма приложенных к ней сил равна нулю: 0 sin mg F F тр A , и при этом cos mg F тр , IBl F A . Следовательно: 0 sin cos 2 2 mg mg R v l B ⇒ ⇒ 2 2 ) cos (sin l B mgR v Ответ: 2 2 ) cos (sin l B mgR v 1О. Теория: Тонкие линзы. Фокусное расстояние и оптическая сила линзы. Формула линзы. Полный ответ должен содержать: Определение понятия «тонкая линза» с описанием границ применимости приближения тонкой линзы, определение точки фокуса, фокусного расстояния и оптической силы линзы, запись формулы линзы с определением входящих в нее величин. Задача: В отверстие радиусом R = 1, 5 см в тонкой непрозрачной перегородке вставлена собирающая линза. Точечный источник света расположен на главной оптической оси линзы по одну сторону от перегородки. По другую сторону находится экран. Экран, соприкасающийся вначале с линзой, отодвигают от линзы. При этом радиус светлого пятна на экране плавно увеличивается и на расстоянии L = 18 см от перегородки достигает значения r 1 = 3 см. Если линзу убрать, оставив экран на месте, то радиус пятна на экране станет r 2 = 4,5 см. Определите фокусное расстояние линзы. F А F тр mg B R Решение: В соответствии с условием, преломленные в линзе лучи расходятся, то есть изображение источника мнимое (см. рис.) Пусть d - расстояние от источника до линзы, f – расстояние от мнимого изображения до линзы (по модулю). Из подобных треугольников имеем: r 1 /R = (L +f)/f, откуда: f = LR/(r 1 – R) = 18 см; r 2 /R = (L + d)/d, откуда: d = LR/(r 2 – R) = 9 см. Фокусное расстояние найдем из формулы тонкой линзы (знак «минус» связан с тем, что изображение является мнимым): 1/d – 1/f = 1/F ⇒ F = df/(f – d) = LR/(r 2 – r 1 ) = 18 см. Ответ: F = LR/(r 2 – r 1 ) = 18 см. Вариант 5 4М. Теория: Гармонические колебания. Смещение, амплитуда и фаза при гармонических колебаниях. Полный ответ должен содержать: Определение гармонических колебаний, определение перечисленных в вопросе физических величин и описание взаимосвязи между ними. Задача: Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси X с амплитудой A = 5 см и циклической частотой ω = 5 рад/с. Найдите модуль ускорения точки в те моменты, когда ее скорость равна v 1 = 7 см/с. Решение: Совместим начало отсчета по оси X с положением равновесия точки. Тогда x = Asin(ωt + φ); v x (t) = x' = Aωcos(ωt + φ); a x (t) = x'' = − Aω 2 sin(ωt + φ). Моменты времени, когда модуль скорости точки равен v 1 , найдем из равенства v 1 = |Aωcos(ωt 1 + φ)|. Чтобы найти ускорение в интересующие нас моменты, определим |sin(ωt 1 + φ)| = 2 1 1 2 / 1 ) ( cos 1 A v t Таким образом, a = ω 2 1 2 2 v A = 1,2 м/с 2 Ответ: a = ω 2 1 2 2 v A = 1,2 м/с 2 14М. Теория: Закон Паскаля. Гидравлический пресс. Полный ответ должен содержать: Формулировку закона Паскаля и определение давления, описание применения этого закона к объяснению принципа работы гидравлического пресса. Задача: Тонкая струя воды выпущена из точки, находящейся на высоте h над землей под некоторым углом к горизонту. Найти начальную v 0 и конечную v 1 скорости струи, если отношение диаметра струи в нижней точке траектории к диаметру выходного отверстия равно n. Струя не распадается на капли и диаметр струи много меньше дальности полета. Сопротивлением воздуха пренебречь. Решение: Объем воды, проходящей в единицу времени через любое сечение S струи, остается постоянным. Тогда v 0 S 0 = v 1 S 1 (1), где v 0 – начальная скорость струи, v 1 – скорость струи у поверхности земли, 2 0 0 4 d S - площадь сечения выходного отверстия, 2 1 1 4 d S Из (1) следует, что 2 2 0 0 1 1 v d v d , или v 0 = v 1 n 2 (2), Закон сохранения энергии для небольшой массы воды m 2 2 0 1 2 2 mv mv mgh , или 2 2 0 1 2 v gh v (3). Решая совместно (2) и (3) относительно v 0 и v 1 , получаем 2 0 4 2 1 gh v n n , 1 4 2 1 gh v n Ответ: 2 0 4 2 1 gh v n n , 1 4 2 1 gh v n 1Т. Теория: Идеальный газ. Уравнение Клапейрона – Менделеева (уравнение состояния идеального газа). Полный ответ должен содержать: Описание модели идеального газа и обсуждение возможности применения ее к реальным газам, запись уравнения Клапейрона-Менделеева и определения входящих в нее величин. Задача: В вертикальном гладком цилиндре с площадью сечения S = 5 см 2 под поршнем массой М = 1 кг находится некоторый газ. При увеличении абсолютной температуры газа в n = 1.5 раз поршень поднимается вверх и упирается в уступы. При этом объем газа по сравнению с первоначальным увеличивается в k = 1.2 раза. Определить силу F, с которой поршень давит на уступы. Атмосферное давление p 0 = 100 кПа. Ускорение свободного падения g ≈ 10 м/с 2 Решение: Поскольку количество газа в сосуде не меняется, то 2 2 2 1 1 1 T V P T V P ⇒ k n P T V T V P P 1 1 2 2 1 1 2 - давление в цилиндре после нагрева. Но из условий равновесия поршня можно найти, что S Mg p P 0 1 , а S Mg S F p P 0 2 . Следовательно, k n S Mg p S Mg S F p ) ( 0 0 ⇒ Н Mg S p k n F 15 ) )( 1 ( 0 Ответ: Н Mg S p k n F 15 ) )( 1 ( 0 6Э. Теория: Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца. Полный ответ должен содержать: Изложение представлений о магнитном поле и определение индукции поля как его силовой характеристики, описание действия магнитного поля на движущийся заряд, формулу силы Лоренца с определением входящих в нее величин. Задача: Отрицательно заряженная частица влетает в область однородного магнитного поля с индукцией В = 10 -3 Тл, где движется по дуге окружности радиусом R = 0,2 м. Затем частица попадает в однородное электрическое поле, где пролетает вдоль направления силовой линии участок с разностью потенциалов U = 10 3 B, при этом скорость частицы изменяется в 3 раза. Определите конечную скорость v k частицы. Решение: Движение по окружности в магнитном поле: B qv R mv 0 2 0 ⇒ 0 v BR q m , где 0 v - скорость частицы в магнитном поле. Пусть, например, после движения в электрическом поле 0 3 1 v v k . Тогда изменение кинетической энергии qU mv mv k 2 2 2 2 0 ⇒ c м BR U v k / 10 75 3 4 3 6 Если же 0 3v v k , то qU mv mv k 2 2 2 0 2 , но ответ для конечной скорости не изменяется! Ответ: c м BR U v k / 10 75 3 4 3 6 3О. Теория: Фокусное расстояние и оптическая сила линзы. Полный ответ должен содержать: Определение понятия «линза», описание линз и их классификацию, определение точки фокуса, фокусного расстояния и оптической силы линзы. Задача: На экране, расположенном на расстоянии f = 60 см от собирающей линзы, получено изображение точечного источника, находящегося на главной оптической оси линзы. На какое расстояние Х переместится изображение на экране, если при неподвижном источнике переместить линзу на = 2 см в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси? Фокусное расстояние линзы F = 20 см. Решение: Ясно (например, исходя из формулы линзы), что изображение сместится вдоль экрана. Из построения видно, что: f X F ⇒ 6 F f X см Ответ: см F f X 6 Х F экран |