Фнп. Закон f, по которому каждой точке x 1

• Название: Закон f, по которому каждой точке x 1
• Дата: 12.12.2022
• Размер: 0.91 Mb.
• Имя файла: Metodichka_po_FNP.pdf
• Тип: Закон; #840503

3
1.
ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение. Скалярной функцией векторного аргумента
называют закон f, по которому каждой точке
X


1
,...,
x
x
n

некоторого множества D из мерного вещественного арифметического пространства 
n
поставлено в соответствие единственное вещественное число

y
f


X

. Функцию


y
f
1
x ,...,
n
x

, где
f D


:
,
также называют функцией n переменных, или функцией нескольких переменных (ФНП). Множество D называют областью определения ФНП, а множество областью значений ФНП. Если ФНП задана формулой, то можно найти ее естественную область определения, состоящую из всех для которых определена
 
,
f X

те. справедлива формула, задающая эту функцию, так как в нее входят только известные элементарные функции, введенные для одной переменной. Используя известные области допустимых значений этих элементарных функций, получаем область определения ФНП в пространстве
,
n
 записанную в виде системы неравенств. Изобразить эту область можно на плоскости для
2
n
 или в обычном трехмерном пространстве для
3.
n
 Пример 1.
Найти область определения функции z =


1 1
ln
x
y
x Решение Запишем систему ограничений
1,
1,
0,
1.
x
y
x y
x y





  

  Изобразим эту систему на плоскости. Для этого заменим все неравенства на равенства, по полученным уравнениям построим соответствующие линии, затем с помощью пробных точек установим, где лежит искомая область D рис. 1). Линии, входящие в область D, изобразим сплошными линиями, а не входящие пунктирными. Точки Аи В 1) — точки разрыва, отрезок АВ целиком состоит из точек разрыва и называется линией разрыва.
Определение.
Графиком функции :
f D
  называется множество, Г y
x
x
D y
f Рис. 1

График Г описывает множество точек в (n + мерном пространстве, координаты которых удовлетворяют уравнению у =


1 2
,
, ...,
n
f x x
x

Графиком функции двух переменных, те является поверхность. Например, для функции
2 2
z x
y


— это параболоид вращения с осью вращения Существует и другой способ графической интерпретации
ФНП. Определение. Пусть дана функция переменных у = f
(x
1
, x
2
,
…, x
n
). Множество






1 2
1 2
, ,...,
, , ...,
const
n
n
n
x x
x
D
f x x
x
 называется поверхностью уровня. Для функции двух переменных


,
z
f x y

получаем линии уровня
   Г y f x y
C C E


   Каждая из этих линий представляет собой кривую на плоскости, лежащую в области D, во всех точках которой функция
 
,
z
f x y

имеет постоянное значение С. Линии уровня ГС можно получить из графика функции Г путем сечения его плоскостями
z = C, проецируя полученные линии пересечения на плоскость
XOY. По линиям уровня на плоскости, наоборот, можно представить себе график функции в пространстве, если каждую линию уровня ГС на плоскости
0
z
 поднять на С единиц, те. расположить ее на плоскости z = C. Таким образом, можно изобразить любую поверхность в пространстве в виде семейства линий уровня на плоскости. Это используется, например, в географических картах для изображения рельефа местности. Рассмотрим функцию
2 2
z x
y


Линии уровня для этой функции — окружности


2 2
0
x
y
C C



с центром вначале координат и радиусами
C
Если каждую окружность радиусом
C
поднять на С (по оси OZ), то можно представить себе параболоид вращения, те. график исходной функции.
Для функции трех переменных


, ,
u
f x y z

получаем поверхности уровня

 



, ,
, Г y z f x y z
C C E


   Например, функция u x y z
   имеет поверхности уровня
,
x y z C
  

6
C
 Они представляют собой параллельные плоскости, отсекающие от осей координат одинаковые отрезки, равные С. Если изобразить эти плоскости и указать на каждой значение Ст. е. u
(u = C), то можно получить какое-то представление о распределении физического параметра u (например, температуры) по всему пространству как о функции трех переменных.
Пример 2.
Используя линии уровня, найти минимальное и максимальное значения функции
2 2
z x
y


в области определения функции
 


,
arcsin
2
arccos
2
y
g x Решение Линии уровня функции
2 2
z x
y


есть окружности


2 2
0 .
x
y
C C



Запишем область допустимых значений другой функции
2 1,
1 или 2.
1 2
x
x
y
y
  
 



  Получим прямоугольник со сторонами 1,
3,
2,
x
x
y


 
2,
y
 причем границы входят в область D. Изобразим эту область и линии уровня для Си Сна плоскости (рис. 2). Рис. 2 Линии уровня С = 1 касаются границы области D и соответствуют минимальному значению функции z
min
= 1, так как меньшие значения не входят в область D. На рис. 2 пунктиром показана линия уровня, соответствующая С < 1 (z < 1). Она не пересекается с областью, поэтому не существует значения z < 1, те. минимум функции в области D z
min
= 1. Для определения z
max надо найти линию уровня с максимальным С, которая пересекает область D хотя бы водной точке, а любая линия уровня, соответствующая большему значению Сне пересекает область D. Такой линией уровня является
2 2
13,
x
y


те. окружность радиусом 13. Радиус равен длине ОА или ОВ. Координаты точки А 2), отсюда ОА =
2 2
max
3 2
13,
13.
z




Этот максимум достигается в точке А 2) или В –2). Минимум z
min
= 1 достигается в точке (1; 0).
2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Пусть внутренняя точка


1
, ...,
n
M
x
x

принадлежит области
n
D
  задания функции


1
, ...,
n
y
f Если всем аргументам придать произвольные приращения
1 2
,
, ...,
n
x
x
x
 
 так, чтобы точка


1 1
2 2
,
, ...,
n
n
x
x x
x
x
x
 
 
 оставалась в области задания функции, то величина
y
 




1 1
1
,..,
,...,
, .., , ...,
i
i
n
n
i
n
f x
x
x
x
x
x
f x
x
x

 
 
 получит название полного приращения или просто приращения функции


1
,..,
n
y
f x
x

в точке


1
, Зафиксируем все аргументы, кроме одного, например,


1
,
i
x i
n
 
и аргументу
i
x придадим произвольное приращение
i
x
 так, чтобы точка


1
, ..,
, ...,
i
i
n
X
x
x
x
x

 
находилась вобла- сти задания этой функции.
Определение.
Величина


1
, ...,
, ...,
i
x
i
i
n
y
f x
x
x
x


 



1
, ..., , ...,
i
n
f x
x
x

называется частным приращением функции нескольких переменных по .
i
x Если же всем аргументам придать произвольные приращения
1 2
,
, ...,
n
x
x
x
 
 так, чтобы точка


1 1
2 2
,
, ...,
n
n
x
x x
x
x
x
 
 
 оставалась в области задания функции, то полным приращением или просто приращением функции


1
, ...,
n
y f x
x

в точке


1
, называется величина


1 1
, ...,
, ...,
i
i
n
n
y
f x
x
x
x
x
x
 
 
 
 



1
, ..., , ...,
i
n
f Определение Частной производной функции


1
, ...,
n
y
f в точке


1
, ...,
n
M x
x по аргументу
i
x называется предел (если он существует и конечен) отношения частного приращения
i
x
y
 функции в точке М к соответствующему приращению
i
x
 аргумента в этой точке при
0 0 :
lim
i
i
x
i
x
i
i
y
y
x
x
x
 


 Помимо
i
y
x


применяют также обозначения
,
i
f
x


,
i
i
x
x
y
f

 Видим, что частная производная по аргументу
i
x представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной
i
x при фиксированных значениях остальных переменных. Поэтому вычисление частных производных проводится по обычным правилам дифференцирования функции одной переменной.
Рассмотрим примеры для функций двух переменных z =


,
f x y

и трех переменных


, ,
u g x y Пример 1.
Найти частные производные от функции z =


cos Решение Вычисляя частную производную попеременной, рассматриваем


cos sin
y
z
x

как сложную степенную функцию вида
,
u

где sin
u
x

и cos .
y
 
Так как производная
 
1
,
u
u
u




 
а y = const, то cos
1
cos (sin )
cos При нахождении частной производной попеременной заданную функцию рассматриваем как показательную вида
,
u
a где

9
sin
a
x

и cos .
u
y

В этом случае
 
ln
,
u
u
a
a
au



а x = const, тогда





cos sin ln sin Пример 2.
Найти значение частной производной функции arctg
y
z
x

в точке
 
0 1; 2 Решение Найдем сначала все частные производные заданной функции в произвольной точке


;
:
M x y
2 2
2 2
2 1
1
z
y
y
x
y
x
x
y
x





 







,
2 2
2 2
1 и подставим в них координаты точки
 
0 1; 2 :
M
0 2
,
5
M
z
x

 

0 Пример 3. Найти частные производные от функции
3 2
2 2
3
u
y Решение Имеем функцию трех независимых переменных


; ; .
u u x y z

Найдем ее три частные производные
1 2
0
,
2
u
y
y
x
x
x


 

3 2
2 6
,
u
x
y z
y




1 3
2 2
3 2
2 0 3 3
u
y
y
z
z
z


 Пример 4.
Доказать, что функция


2 2
2
sin
z
y
x
y


удовлетворяет уравнению
2 2 .
z
z
y
xy
xz
x
y







14 Наибольшая скорость изменения функции в данной точке определяется формулой (2):
 
     
2 2
2
max grad
3 1
1 11.
u
u A
l





 


3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ Определение. Функция


1 2
,
, ...,
n
y
f x x
x

называется непрерывной в точке


0 0
0 0
1 2
, , ...,
,
n
x
x x
x

если она определена в некоторой окрестности этой точки и
 
 
0 0
lim
x
x
f x
f Для непрерывных функций нескольких переменных верны теоремы об их свойствах, аналогичные соответствующим теоремам одномерного анализа.
Определение. Функция
 
y
f x

называется дифференцируемой в точке
0
,
x
если ее полное приращение может быть представлено в виде


1 1
2 2
1 1
1
, ...,
n
n
n
y
A x
A x
A x
x
x
x
    
  
  

 




2 1
2 1
, ...,
, ...,
,
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
  


  где
1 2
, ,...,
n
A A
A
— константы, независящие от
,
x



1 1
,...,
,
n
x
x
 



1
...,
,...,
n
n
n
x
x
x
 

 — бесконечно малые при x
 
=
1
,
(
,...
)
0.
n
x
x


 Определение Главная часть приращения, линейная относительно приращения независимых переменных функции в данной точке, называется полным дифференциалом
1 1
2 2
n
n
dy A x
A x
A x
      

15 К необходимым условиям дифференцируемости относят две теоремы. Теорема. Если функция


1
, ...,
n
y
f x
x

дифференцируема в точке
0
,
x то она непрерывна в этой точке. Теорема Если функция


1
, ...,
n
y
f x
x

дифференцируема в точке
0
,
x то она имеет все частные производные в этой точке, причем
 
0
i
i
y Отсюда
1 2
1 1
2
n
n
i
i
n
i
y
y
y
y
dy
dx
dx
dx
dx
x
x
x
x







 






(3) Пример 1. Найти полный дифференциал функции трех переменных Решение Найдем частные производные заданной функции


2 2
1 1
;
2
u
y
z
x
x
x y z
x

 



 


2 1
;
u
y
y
x
x y z




 


1 1
2
u
x
z
z
x y z

 


 Из формулы (3) получаем полный дифференциал функции трех переменных




2 2
1 1
2 1
2
y
z
y
du
dx
dy
x
x y z
x
x y z
x




 













 
 






1 1
2
x
dz
z
x y z








 

