РГЗ по математической статистике. РГЗ 1 часть Громова ПМИ-01. Закон Неизвестные параметры
 Скачать 0.86 Mb.
|
|
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Н ОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ » Кафедра теоретической и прикладной информатики Расчётно-графическое задание по дисциплине «Математическая статистика» Часть 1 Факультет: ФПМИ Группа: ПМИ-01 Студент: Громова Екатерина Вариант: 7 Преподаватель: Лемешко Борис Юрьевич Новосибирск 2022 № варианта Закон Неизвестные параметры Известные параметры 7 Двустрононнее экспоненциальное a λ=1, α=1 Двустороннее экспоненциальное распределение имеет вид 𝑓(𝑥) = 𝛼 2𝜆Г( 1 𝛼 ) е −| 𝑥−𝑎 𝜆 | ɑ Подставим известные параметры 𝑓(𝑥) = 1 2 е −|𝑥−𝑎| 1. Найти числовые характеристики заданной модели: а) математическое ожидание (1 балл) 𝑀(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑥𝑑𝑥 +∞ −∞ = 1 2 ∫ 𝑥𝑒 −|𝑥−𝑎| 𝑑𝑥 +∞ −∞ = 1 2 ∫ 𝑥𝑒 −(𝑎−𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑎 −∞ 1 2 ∫ 𝑥𝑒 −(𝑥−𝑎) 𝑑𝑥 +∞ 𝑎 = 1 2 ∫ 𝑥𝑒 𝑥−𝑎 𝑑𝑥 + 1 2 ∫ 𝑥𝑒 𝑎−𝑥 𝑑𝑥 +∞ 𝑎 = 𝑎 −∞ 𝑎−1 2 + 𝑎+1 2 = 𝑎 Ответ: 𝑀(𝑥) = 𝑎 б) дисперсию (1 балл). 𝐷(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑥 2 𝑑𝑥 +∞ −∞ − (𝑀(𝑥)) 2 = … Отдельно вычислим ∫ 𝑓(𝑥)𝑥 2 𝑑𝑥 +∞ −∞ : ∫ 𝑓(𝑥)𝑥 2 𝑑𝑥 +∞ −∞ = 1 2 ∫ 𝑥 2 𝑒 −|𝑥−𝑎| 𝑑𝑥 +∞ −∞ = 1 2 ∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥−𝑎 𝑑𝑥 + 1 2 ∫ 𝑥 2 𝑒 𝑎−𝑥 𝑑𝑥 +∞ 𝑎 = 𝑎 −∞ 1 2 (𝑎 2 − 2𝑎 + 2 + 𝑎 2 + 2𝑎 + 2) = 𝑎 2 + 2 Подставим в формулу дисперсии … = 𝑎 2 + 2 − 𝑎 2 = 2 Ответ: 𝐷(𝑥) = 2 2. Найти точечную оценку неизвестного параметра a: а) по методу моментов (2 балла); Найдём первый теоретический момент 𝑀 1 (𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑥𝑑𝑥 +∞ −∞ = 𝑀(𝑥) = 𝑎 (из предыдущего задания) Выборочный момент: 𝑚 ̂ 1 = 1 𝑛 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 𝑋̅ Приравняем теоретический и выборочный моменты: 𝑎̂ = 𝑋̅ Ответ: 𝑎̂ = 𝑋̅ б) по методу максимального правдоподобия (2 балла). 𝑓(𝑥) = 1 2 е −|𝑥−𝑎| При x>a: 𝑓(𝑥) = 1 2 𝑒 𝑎−𝑥 При x 𝑓(𝑥) = 1 2 𝑒 𝑥−𝑎 Функция правдоподобия при x>a: 𝐿(𝑋 𝑛 , 𝑎) = ∏ 1 2 𝑒 𝑎−𝑥 𝑛 𝑖=1 = 1 2 𝑛 𝑒 ∑ 𝑎−𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 1 2 𝑛 𝑒 𝑎𝑛−∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 Функция правдоподобия при x 𝐿(𝑋 𝑛 , 𝑎) = ∏ 1 2 𝑒 𝑥−𝑎 𝑛 𝑖=1 = 1 2 𝑛 𝑒 ∑ 𝑥 𝑖 −𝑎 𝑛 𝑖=1 = 1 2 𝑛 𝑒 ∑ 𝑥 𝑖 −𝑎𝑛 𝑛 𝑖=1 Функция правдоподобия: 𝐿(𝑋 𝑛 , 𝑎) = 1 2 𝑛 𝑒 −|∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 −𝑎𝑛| При фиксированных значениях выборки, график функции выглядит следующим образом: Максимум функции достигается в точке X n Поэтому искомая оценка максимального правдоподобия 𝑎̂ = 𝑋 𝑛 Ответ: 𝑎̂ = 𝑋 𝑛 3. Проверить условия регулярности модели. В случае регулярности модели вычислить информационное количество Фишера (2 балла). Вероятностная модель является регулярной, если область определения случайной величины не зависит от параметров закона и функция плотности дифференцируема по a. Проверим дифференцируемость функции по a: При x>a: 𝑓(𝑥) = 1 2 𝑒 𝑎−𝑥 𝑓′(𝑥) = 1 2 𝑒 𝑎−𝑥 При x 𝑓(𝑥) = 1 2 𝑒 𝑥−𝑎 𝑓 ′(𝑥) = − 1 2 𝑒 𝑥−𝑎 Производная функции не является непрерывной, значит, функция не является дифференцируемой и модель не является регулярной. 4. Подобрать удобную параметрическую функцию (a) для исследования свойств оценок. Записать оценку ̂(a) на основании любой оценки a из п. 1. Проверить свойства ̂(a): В качестве функции 𝜏(ɑ) примем ɑ, а её оценку 𝜏̂(ɑ)на основании оценки ɑ по методу моментов из пункта 2. 𝜏̂(ɑ) = ɑ̂ = 𝑋 а) несмещенность (2 балла) 𝑀(ɑ̂) = 𝑀(𝑋̅) = 𝑀 ( 1 𝑛 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) = 1 𝑛 𝑀 (∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) = 1 𝑛 𝑛𝑎 = 𝑎 Оценка несмещённая б) состоятельность (2 балла) 𝐷(ɑ̂) = 𝐷(𝑋̅) = 𝐷 ( 1 𝑛 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) = 1 𝑛 2 𝐷 (∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) = 1 𝑛 2 2𝑛 = 2 𝑛 При n→∞, 𝐷(𝑋̅) → 0 Оценка состоятельная в) эффективность (не используя критерий эффективности) (2 балла). Без критерия эффективности можно проверить, достигается ли нижняя граница Рао-Крамера, а для этого требуется выполнение условия регулярности. В силу нерегулярности модели проверить эффективность не можем. 5. Найти достаточную статистику для заданной модели (2 балла). 𝑓(𝑥) = 1 2 е −|𝑥−𝑎| Для того, чтобы статистика 𝑇(𝑋 𝑛 ) была достаточной для a, необходимо и достаточно, чтобы функция правдоподобия имела вид: 𝐿(𝑋 𝑛 , 𝑎) = 𝑔(𝑇(𝑋 𝑛 ); 𝑎) ℎ(𝑋 𝑛 ) где 𝑔(𝑡, 𝑎) зависит от выборки только через 𝑇(𝑋 𝑛 )= 𝑡 и ℎ(𝑋𝑛) не зависит от 𝑎. Воспользуемся критерием факторизации. При x>a: 𝑓(𝑥) = 1 2 𝑒 𝑎−𝑥 При x 𝑓(𝑥) = 1 2 𝑒 𝑥−𝑎 Случай x > a: 𝐿(𝑋 𝑛 , 𝑎) = ∏ 1 2 𝑒 𝑎−𝑥 𝑛 𝑖=1 = 1 2 𝑛 𝑒 ∑ 𝑎−𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 1 2 𝑛 𝑒 𝑎𝑛−∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 𝑒 𝑎𝑛 1 2 𝑛 𝑒 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ℎ(𝑥 𝑛 ) = 1 2 𝑛 𝑒 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑔(𝑇, 𝑎) = 𝑒 𝑎𝑛 = (𝑒 𝑎 ) 𝑛 = 𝑇 − достаточная статистика при 𝑥 > 𝑎 Случай x < a: 𝐿(𝑋 𝑛 , 𝑎) = ∏ 1 2 𝑒 𝑥−𝑎 𝑛 𝑖=1 = 1 2 𝑛 𝑒 ∑ 𝑥 𝑖 −𝑎 𝑛 𝑖=1 = 1 2 𝑛 𝑒 −𝑎𝑛+∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 𝑒 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 2 𝑛 𝑒 𝑎𝑛 ℎ(𝑥 𝑛 ) = 𝑒 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 2 𝑛 𝑔(𝑇, 𝑎) = 1 𝑒 𝑎𝑛 = (𝑒 𝑎 ) −𝑛 = 𝑇 − достаточная статистика при 𝑥 < 𝑎 Результирующая достаточная статистика: 𝑇 = 𝑒 |𝑎𝑛| Ответ: 𝑒 |𝑎𝑛| 6. Найти функцию (a), допускающую эффективную оценку (с помощью критерия эффективности) (2 балла) Не можем воспользоваться критерием эффективности, так как вероятностная модель нерегулярна. 7. Построить асимптотический доверительный интервал для a (2 балла). Так как модель не является регулярной и нельзя вычислить информационное количество Фишера, то асимптотически доверительный интервал можно построить на основании центральной предельной теоремы. При выполнении условий ЦПТ в качестве асимптотической центральной статистики может рассматриваться статистика 𝐺(𝑥 𝑛 , ɑ) = √𝑛 𝑥̅ 𝑛 − 𝑀 ɑ 𝜉 √𝐷 ɑ 𝜉 ≻ 𝑁(0,1)при 𝑛 → ∞ Для того, чтобы эти статистики были центральными, необходимо, чтобы выполнялось условие монотонности и непрерывности по параметру λ. По центральной предельной теореме распределение случайной величины √𝑛 𝑥̅ 𝑛 − 𝑀 ɑ 𝜉 √𝐷 ɑ 𝜉 = √𝑛 1 𝑛 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 − 𝑎 √2 = √ 𝑛 2 (𝑋̅ − 𝑎) слабо сходится к стандартному нормальному закону. Если мы устремим n к бесконечности, то получим: 𝑃{−𝑐 𝛾 < √ 𝑛 2 (𝑋̅ − 𝑎) < 𝑐 𝛾 }, 𝑐 𝛾 - квантиль, соответствующий уровню 𝛾 для нормального стандартного закона. 𝑃{−𝑐 𝛾 √ 2 𝑛 < (𝑋̅ − 𝑎) < 𝑐 𝛾 √ 2 𝑛 } 𝑃{−𝑐 𝛾 √ 2 𝑛 − 𝑋̅ < −𝑎 < 𝑐 𝛾 √ 2 𝑛 − 𝑋̅} 𝑃{−𝑐 𝛾 √ 2 𝑛 + 𝑋̅ < 𝑎 < 𝑐 𝛾 √ 2 𝑛 + 𝑋̅} |