Распределение Максвелла. Презентация Лекция 15 Распределение Максвелла. Начала термодинам. Закон о распределения молекул идеального газа по скоростям
 Скачать 0.81 Mb.
|
|
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ТЕРМОДИНАМИКА Распределение Максвелла Начала термодинамики Цикл Карно Распределение Максвелла В газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям Функция распределения молекул по скоростям 𝑓 𝑣 Распределение Максвелла Функция 𝒇 𝒗 определяет относительное число молекул, скорости которых лежат в интервале от 𝒗 до 𝒗 + 𝒅𝒗 𝑑𝑁 𝑣 𝑁 = 𝑓 𝑣 𝑑𝑣 𝑓 𝑣 = 𝑑𝑁 𝑣 𝑁𝑑𝑣 Закон о распределения молекул идеального газа по скоростям 𝑓 𝑣 = 4𝜋 𝑚 0 2𝜋𝑘𝑇 3 2 𝑣 2 𝑒 − 𝑚 0 𝑣 2 2𝑘𝑇 0 ∞ 𝑓 𝑣 𝑑𝑣 = 1 Закон о распределения молекул идеального газа по скоростям Наиболее вероятная скорость 𝑣 в = 2𝑘𝑇 𝑚 0 = 2𝑅𝑇 𝜇 Средняя арифметическая скорость 𝑣 = 0 ∞ 𝑣𝑓 𝑣 𝑑𝑣 = 8𝑘𝑇 𝜋𝑚 0 = 8𝑅𝑇 𝜋𝜇 Средняя квадратичная скорость 𝑣 кв = 1 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑣 𝑖 = 3𝑅𝑇 𝜇 Распределение Максвелла Распределение молекул по скоростям 𝑑𝑁 𝑣 = 𝑁 ∙ 4𝜋 𝑚 0 2𝜋𝑘𝑇 3 2 𝑣 2 𝑒 − 𝑚 0 𝑣 2 2𝑘𝑇 ∙ 𝑑𝑣 Распределение Максвелла 𝑣 = 2𝜀 𝑚 0 Распределение молекул по энергиям теплового движения 𝑑𝑁 𝜀 = 2𝑁 𝜋 𝑘𝑇 − 3 2 ∙ 𝜀 1 2 ∙ 𝑒 − 𝜀 𝑘𝑇 𝑑𝜀 Распределение Больцмана Распределение молекул в силовом поле Разность давлений 𝑃 − 𝑃 + 𝑑𝑃 = 𝜌𝑔𝑑ℎ 𝑑𝑃 = −𝜌𝑔𝑑ℎ 𝜌 = 𝑚 𝑉 = 𝑃𝜇 𝑅𝑇 Распределение Больцмана Распределение молекул в силовом поле Разность давлений 𝑃 − 𝑃 + 𝑑𝑃 = 𝜌𝑔𝑑ℎ 𝑑𝑃 = −𝜌𝑔𝑑ℎ 𝜌 = 𝑚 𝑉 = 𝑃𝜇 𝑅𝑇 𝑑𝑃 = − 𝜇𝑔 𝑅𝑇 𝑃𝑑ℎ 𝑃 2 = 𝑃 1 𝑒 − 𝜇𝑔 𝑅𝑇 ℎ 2 −ℎ 1 Распределение Больцмана Барометрическая формула 𝑃 = 𝑃 0 𝑒 − 𝜇𝑔ℎ 𝑅𝑇 𝑃 = 𝑛𝑘𝑇 𝑛 = 𝑛 0 𝑒 − 𝑚 0 𝑔ℎ 𝑘𝑇 = 𝑛 0 𝑒 − 𝑊 пот 𝑘𝑇 𝑊 пот = 𝑚 0 𝑔ℎ Распределение Больцмана 𝑛 = 𝑛 0 𝑒 − 𝑊 пот 𝑘𝑇 При постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул Внутренняя энергия 𝑼 — энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц системы (молекул, атомов, электронов, ядер и т. д.) и энергия взаимодействия этих частиц К внутренней энергии не относятся кинетическая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях Число степеней свободы – это число независимых переменных (координат), полностью определяющих положение системы в пространстве Молекулу одноатомного идеального газа можно рассматривать как материальную точку Закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул Для статистической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная 𝑘𝑇 2 а на каждую колебательную степень свободы — 𝑘𝑇 𝑈 пост = 𝑈 вращ = 𝑘𝑇 2 𝑈 колеб = 𝑘𝑇 Внутренняя энергия 𝑼 Средняя энергия молекулы 𝜀 = 𝑖 2 𝑘𝑇 𝑖 = 𝑖 пост + 𝑖 вращ + 2𝑖 колеб 𝑈 𝑚 = 𝜀 𝑁 𝐴 = 𝑖 2 𝑘𝑇𝑁 𝐴 = 𝑖 2 𝑅𝑇 𝑈 = 𝜈 𝑖 2 𝑅𝑇 Первое начало термодинамики Теплота, сообщаемая системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение ею работы против внешних сил 𝑄 = Δ𝑈 + 𝐴 𝛿𝑄 = 𝑑𝑈 + 𝛿𝐴 𝑑𝑈 — бесконечно малое изменение внутренней энергии 𝛿𝐴 — элементарная работа 𝛿𝑄 — бесконечно малое количество теплоты Вечный двигатель первого рода Периодически действующий двигатель, который совершал бы бóльшую работу, чем сообщенная ему извне энергия Δ𝑈 = 0 𝐴 = 𝑄 Работа газа 𝛿𝐴 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑙 = 𝑃 ∙ 𝑆 ∙ 𝑑𝑙 = 𝑃 ∙ 𝑑𝑉 𝐴 = 𝑉 1 𝑉 2 𝑃𝑑𝑉 Теплоемкость Удельная теплоемкость вещества — величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1 К 𝑐 = 𝛿𝑄 𝑚 ∙ 𝑑𝑇 𝑐 = Дж кг ∙ К Теплоемкость Молярная теплоемкость — величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моля вещества на 1 К 𝐶 𝑚 = 𝛿𝑄 𝜈 ∙ 𝑑𝑇 = Дж моль ∙ К 𝐶 𝑚 = 𝑐 ∙ 𝜇 Теплоемкость Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме 𝐶 𝑉 = 𝑑𝑈 𝑚 𝑑𝑇 = 𝑖𝑅 2 Молярная теплоемкость газа при постоянном давлении 𝐶 𝑃 = 𝑑𝑈 𝑚 𝑑𝑇 + 𝑃𝑑𝑉 𝑚 𝑑𝑇 Уравнение Майера 𝐶 𝑃 = 𝐶 𝑉 + 𝑅 𝐶 𝑃 = 𝑖 + 2 2 𝑅 𝛾 = 𝐶 𝑃 𝐶 𝑉 = 𝑖 + 2 𝑖 Изопроцессы – равновесных процессов, при которых один из основных параметров состояния сохраняется постоянным Равновесные процессы — процессы, состоящие из последовательности равновесных состояний Все реальные процессы строго говоря неравновесны Изохорный процесс 𝑽 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 𝛿𝐴 = 𝑃𝑑𝑉 = 0 𝛿𝑄 = 𝑑𝑈 𝑑𝑈 = 𝜈𝐶 𝑉 𝑑𝑇 𝛿𝑄 = 𝑑𝑈 = 𝜈𝐶 𝑉 𝑑𝑇 Изобарный процесс 𝑷 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 𝐴 = 𝑉 1 𝑉 2 𝑃𝑑𝑉 = 𝑃 𝑉 2 − 𝑉 1 𝐴 = 𝜈𝑅 𝑇 2 − 𝑇 1 𝑑𝑈 = 𝜈𝐶 𝑉 𝑑𝑇 𝛿𝑄 = 𝑃 𝑑𝑉 + 𝜈𝐶 𝑉 𝑑𝑇 = 𝜈𝐶 𝑃 𝑑𝑇 Изотермический процесс 𝑻 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 𝑑𝑈 = 0 𝐴 = 𝑉 1 𝑉 2 𝑃𝑑𝑉 = 𝑉 1 𝑉 2 𝜈𝑅𝑇 𝑉 ∙ 𝑑𝑉 𝐴 = 𝜈RT ∙ ln 𝑉 2 𝑉 1 = 𝜈RT ∙ ln 𝑃 1 𝑃 2 𝑄 = 𝐴 Адиабатный процесс 𝑸 = 𝟎 𝑄 = 0 𝐴 = −Δ𝑈 𝐴 = −𝜈𝐶 𝑉 𝑇 1 𝑇 2 𝑑𝑇 𝐴 = −𝜈𝐶 𝑉 𝑇 2 − 𝑇 1 Адиабатный процесс 𝑸 = 𝟎 𝑃 2 𝑃 1 = 𝑉 1 𝑉 2 𝛾 Уравнение Пуассона 𝑃𝑉 𝛾 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝛾 = 𝐶 𝑃 𝐶 𝑉 Политропный процесс – процесс, в котором теплоемкость остается постоянной 𝑃𝑉 𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑛 = 𝐶−𝐶 𝑃 𝐶−𝐶 𝑉 – показатель политропы 𝐶 = 0 – адиабата 𝐶 = ∞ – изотерма 𝐶 = 𝐶 𝑃 – изобара 𝐶 = 𝐶 𝑉 – изохора Обратимые и необратимые процессы Круговым процессом (или циклом) называется процесс, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное Цикл тепловой машины Обратимые и необратимые процессы Тепловые двигатели — периодически действующие двигатели, совершающие работу за счет полученной извне теплоты Холодильные машины — периодически действующие установки, в которых за счет работы внешних сил теплота переносится к телу с более высокой температурой 𝐴 > 0 𝐴 > 0 Коэффициент полезного действия для кругового процесса 𝑄 = Δ𝑈 + 𝐴 = 𝐴 𝑄 = 𝑄 получ. − 𝑄 отдан. = 𝑄 1 − 𝑄 2 𝜂 = 𝐴 𝑄 1 = 𝑄 1 − 𝑄 2 𝑄 1 = 1 − 𝑄 2 𝑄 1 Обратимые и необратимые процессы Обратимый процесс – термодинамический процесс, который может происходить как в прямом, так и в обратном направлении Всякий процесс, не удовлетворяющий этим условиям, является необратимым Энтропия Приведенное количество теплоты – отношение теплоты, полученной телом в изотермическом процессе, к температуре теплоотдающего тела 𝛿𝑄 𝑇 Энтропия Приведенное количество теплоты, сообщаемое телу в любом обратимом круговом процессе, равно нулю 𝛿𝑄 𝑇 = 0 → 𝛿𝑄 𝑇 = 𝑑𝑆 Функция состояния, дифференциалом которой является приведенное количесто теплоты, называется энтропией Энтропия Для обратимых процессов в замкнутой системе изменение энтропии равно нулю Δ𝑆 = 0 Для необратимых процессов Δ𝑆 > 0 Неравенство Клаузиуса Энтропия замкнутой системы может либо возрастать (в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянной (в случае обратимых процессов) Δ𝑆 ≥ 0 Энтропия в изопроцессах Δ𝑆 = 𝑆 2 − 𝑆 1 = 𝛿𝑄 𝑇 = 𝑑𝑈 + 𝛿𝐴 𝑇 Δ𝑆 = 𝜈 𝐶 𝑉 ln 𝑇 2 𝑇 1 + 𝑅 ln 𝑉 2 𝑉 1 Энтропия в изопроцессах Адиабатический процесс – изоэнтропийный Δ𝑆 = 0 → 𝑆 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Изотермический Δ𝑆 = 𝜈𝑅 ln 𝑉 2 𝑉 1 Изохорный Δ𝑆 = 𝜈𝐶 𝑉 ln 𝑇 2 𝑇 1 Аддитивность энтропии Энтропия системы равна сумме энтропий тел, входящих в систему Свойством аддитивности обладают также внутренняя энергия, масса, объем 𝑆 = 𝑆 1 + 𝑆 2 + ⋯ Состояние тела Макросостояние – состояние тела, заданное с помощью макроскопических величин, характеризующих все тело в целом. Микросостояние – состояние тела, при котором заданы состояния отдельных молекул тела (с помощью микропараметров) Статистический смысл энтропии Термодинамическая вероятность состояния системы — это число способов, которыми может быть реализовано данное состояние макроскопической системы, или число микросостояний, осуществляющих данное макросостояние Формула Больцмана 𝑆 = 𝑘 ln 𝑊 Энтропия является мерой неупорядоченности системы Статистический смысл энтропии Формула Больцмана 𝑆 = 𝑘 ln 𝑊 Энтропия является мерой неупорядоченности системы Возрастание энтропии означает переход системы из менее вероятных в более вероятные состояния Второе начало термодинамики Первое начало термодинамики не позволяет установить направление протекания термодинамических процессов Второго начала термодинамики связано с необходимостью дать ответ на вопрос, какие процессы в природе возможны, а какие нет Второе начало термодинамики Закон возрастания энтропии замкнутой системы при необратимых процессах Любой необратимый процесс в замкнутой системе происходит так, что энтропия системы при этом возрастает В процессах, происходящих в замкнутой системе, энтропия не убывает Второе начало термодинамики по Кельвину: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является превращение теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу по Клаузиусу: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому Вечный двигатель второго рода — периодически действующий двигатель, совершающий работу за счет охлаждения одного источника теплоты Без совершения работы нельзя отбирать теплоту от менее нагретого тела и отдавать ее более нагретому Третье начало термодинамики Теорема Нернста-Планка Энтропия всех тел в состоянии равновесия стремится к нулю по мере приближения температуры к нулю Кельвина lim T→0 S = 0 Цикл Карно Цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат 𝐴 12 = 𝜈𝑅𝑇 1 ln 𝑉 2 𝑉 1 = 𝑄 1 𝐴 34 = 𝜈𝑅𝑇 2 ln 𝑉 4 𝑉 3 = −𝑄 2 Цикл Карно 𝐴 12 = 𝑄 1 𝐴 34 = −𝑄 2 𝐴 23 = −𝜈𝐶 𝑉 𝑇 2 − 𝑇 1 𝐴 41 = −𝜈𝐶 𝑉 𝑇 1 − 𝑇 2 = − 𝐴 23 𝐴 = 𝐴 12 + 𝐴 23 + 𝐴 34 + 𝐴 41 𝐴 = 𝑄 1 − 𝑄 2 Цикл Карно 𝐴 = 𝑄 1 − 𝑄 2 Термический КПД цикла Карно 𝜂 = 𝐴 𝑄 1 = 𝑄 1 − 𝑄 2 𝑄 1 = 𝑇 1 − 𝑇 2 𝑇 1 |