Законы распределения случайных величин. Закон распределения Среди законов распределения для дискретных случайных величин наиболее распространенным является биномиальный закон распределения. Биномиальное распределение имеет место в следующих условиях
![]()
|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Среди законов распределения для дискретных случайных величин наиболее распространенным является биномиальный закон распределения. Биномиальное распределение имеет место в следующих условиях. Пусть случайная величина ![]() ![]() ![]() испытаниях, вероятность появления ![]() ![]() является дискретной случайной величиной, ее возможные значения ![]() ![]() ![]() ![]() Определение 15. Закон распределения дискретной случайной величины ![]() распределения, если вероятности значений случайной величины вычисляются по формуле Бернулли. Ряд распределения будет иметь вид:
Убедимся, что сумма вероятностей различных значений случайной величины равна 1. Действительно, ![]() Так как при данных вычислениях получилась биномиальная формула Ньютона, поэтому закон распределения называется биномиальным. Если случайная величина ![]() формулам: ![]() ![]() ![]() Пример 15.Имеется партия из 50 деталей. Вероятность брака для одной детали ![]() величина ![]() среднее квадратичное отклонение данной случайной величины. Решение. Случайная величина ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда среднее квадратичное отклонение будет равно ![]() Вопрос. Приобретено 200 лотерейных билетов, вероятность выигрыша одного билета равна 0,01. Тогда среднее число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, равно: а) 10; б) 2; в) 20; г) 1. в) а) г) б) Закон распределения Пуассона При решении многих практических задач приходится иметь дело с дискретными случайными величинами, которые подчиняются закону распределения Пуассона. Типичными примерами случайной величины, имеющей распределение Пуассона, являются: число вызовов на телефонной станции за некоторое время ![]() отказов сложной аппаратуры за время ![]() единицу времени приходится ![]()
То есть вероятность того, что случайная величина ![]() ![]() ![]() поэтому данный закон и называется законом распределения Пуассона. Случайная величина, распределенной по закону Пуассона, имеет следующие числовые характеристики: ![]() ![]() ![]() Распределение Пуассона зависит от одного параметра ![]() случайной величины. На рисунке 14 показан общий вид многоугольника распределения Пуассона при различных значениях параметра ![]() ![]() Рис.14 Распределение Пуассона может быть использовано как приближенное в тех случаях, когда точным распределением случайной величины является биномиальное распределение, при этом число испытаний велико, а вероятность появления события ![]() Пуассона называют законом редких событий. А еще, если математическое ожидание мало отличается от дисперсии, то есть когда ![]() различных приложений. Пример 16. Завод отправляет на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,002. Найти математическое ожидание числа поврежденных при перевозке деталей. Решение. Случайная величина ![]() ![]() Вопрос. Вероятность искажения символа при передаче сообщения равна 0,004. Чтобы среднее число искаженных символов было равно 4, надо передать 100 символов. верно неверно Равномерное распределение Определение 16.Непрерывная случайная величина ![]() если на этом отрезке плотность распределения данной случайной величины постоянна, а вне его равна нулю, то есть ![]() График плотности для равномерного распределения изображен на рисунке 15: ![]() Рис.15 Так как площадь под кривой распределения должна равняться 1, то ![]() плотность распределения имеет вид: ![]() Непрерывная случайная величина ![]() значения лежат в пределах некоторого определенного интервала, кроме того, в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны. Случайные величины, имеющие равномерное распределение часто встречаются в измерительной практике при округлении отсчетов измерительных приборов до целых делений шкал. Ошибка при округлении отсчета до ближайшего целого деления является случайной величиной ![]() между двумя соседними целыми делениями. Числовые характеристики случайной величины, имеющей равномерное распределение, вычисляются по формулам: ![]() ![]() ![]() Функция распределения вероятностей случайной величины, равномерно распределенной на промежутке ![]() имеет вид: ![]() График данной функции представлен на рисунке 16: ![]() Рис.16 Пример 17. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Найти математическое ожидание случайной величины ![]() Решение. Случайная величина ![]() от 0 до 0,1, ее математическое ожидание вычисляется по формуле (47): ![]() Вопрос. Непрерывная случайная величина ![]() ![]() Тогда ее дисперсия равна: а) ![]() б) ![]() в) ![]() г) ![]() г) а) в) б) Нормальное распределение Среди распределений непрерывных случайных величин центральное место занимает нормальный закон , плотность распределения которого имеет вид: ![]() где ![]() ![]() величины. График плотности распределения нормального закона называют кривой Гаусса, он приведен на рисунке 17: ![]() Рис.17 Отметим некоторые свойства кривой Гаусса. 1. Кривая распределения симметрична относительно ординаты, проходящей через точку ![]() 2. Кривая имеет один максимум при ![]() ![]() 3. При ![]() ![]() 4. Изменение математического ожидания ![]() ![]() распределения вдоль оси ![]() При изменении среднего квадратичного отклонения при ![]() На рисунке 18 показана зависимость кривой распределения от среднего квадратичного отклонения. ![]() Рис.18 Функция распределения вероятностей для нормального закона имеет вид: ![]() где ![]() Нормальный закон распределения очень широко распространен в задачах практики. Он проявляется во всех тех случаях, когда случайная величина ![]() Каждый фактор в отдельности на величину ![]() степени, чем остальные. Примерами случайных величин, имеющих нормальное распределение, могут служить: отклонение действительных размеров деталей, обработанных на станке, от номинальных размеров; ошибки при измерении; отклонения при стрельбе и другие. Основной особенностью, выделяющей нормальный закон среди других законов, служит то, что он является предельным законом для других законов распределения. Вероятность того, что случайная величина ![]() ![]() ![]() Вероятность того, что случайная величина ![]() модулю меньшую ![]() ![]() Пример18.Ошибка радиодальномера подчинена нормальному закону. Математическое ожидание этой ошибки равно 5 м, а среднее квадратичное отклонение равно 10 м. Найти вероятность того, что измеренное значение дальности будет отклоняться от истинного не более чем на 20 м. Решение. По условию надо найти вероятность попадания случайной величины ![]() на промежуток ![]() ![]() ![]() Вопрос. Нормальное распределение характеризуется одним параметром. неверно верно Показательное распределение В практических приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового обслуживания, исследовании операций, в физике, биологии, вопросах надежности и других приложениях, часто имеют дело со случайными величинами, имеющими показательное распределение. Определение 17. Непрерывная случайная величина ![]() плотность вероятности имеет вид: ![]() Кривая распределения изображена на рисунке 19: ![]() Рис.19 Функция распределения задается следующим образом: ![]() Ее график показан на рисунке 20: ![]() Рис.20 Числовые характеристики случайной величины, имеющей показательное распределение вычисляются по формулам: ![]() ![]() ![]() Пример 19. Случайная величина ![]() вероятность того, что время работы радиолампы будет не меньше 600 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов. Решение. По условию задачи математическое ожидание данной случайной величины равно 400, тогда ![]() ![]() Вопрос. Случайная величина ![]() ![]() ее математическое ожидание равно 2,5. неверно верно |