Законы распределения случайных величин. Закон распределения Среди законов распределения для дискретных случайных величин наиболее распространенным является биномиальный закон распределения. Биномиальное распределение имеет место в следующих условиях

Название	Закон распределения Среди законов распределения для дискретных случайных величин наиболее распространенным является биномиальный закон распределения. Биномиальное распределение имеет место в следующих условиях
Анкор	Законы распределения случайных величин.docx
Дата	02.05.2017
Размер	231.45 Kb.
Формат файла
Имя файла	Законы распределения случайных величин.docx
Тип	Закон #6420

Биномиальный закон распределения

Среди законов распределения для дискретных случайных величин наиболее распространенным является
биномиальный закон распределения. Биномиальное распределение имеет место в следующих условиях.
Пусть случайная величина $\xi$ - число появлений некоторого события

независимых
испытаниях, вероятность появления

в отдельном испытании равна

. Данная случайная величина
является дискретной случайной величиной, ее возможные значения

. Вероятность того, что случайная величина $\xi$ примет значение

вычисляется по формуле Бернулли: $p(\xi = m) = c_n^m p^m q^{n - m}$ .
Определение 15. Закон распределения дискретной случайной величины $\xi$ называется биномиальным законом
распределения, если вероятности значений случайной величины вычисляются по формуле Бернулли.

Ряд распределения будет иметь вид:

	0	1	...
		$c_n^1pq^{n-1}$	...

Убедимся, что сумма вероятностей различных значений случайной величины равна 1. Действительно,
$\sum\limits_{m = 0}^n {p(\xi = m) = \sum\limits_{m = 0}^n {c_n^m p^m q^{n - m} = c_n^0 q^n + c_n^1 pq^{n - 1} + ... + c_n^n p^n = (p + q)^n = 1} }$
Так как при данных вычислениях получилась биномиальная формула Ньютона, поэтому закон распределения
называется биномиальным.
Если случайная величина $\xi$ имеет биномиальное распределение , то ее числовые характеристики находятся по
формулам:

$m[\xi ] = np$ (41)

$d[\xi ] = npq$ (42)

$\sigma [\xi ] = \sqrt {npq}$ (43)

Пример 15.Имеется партия из 50 деталей. Вероятность брака для одной детали

. Пусть случайная
величина $\xi$ - число бракованных деталей в данной партии. Найти математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратичное отклонение данной случайной величины.
Решение. Случайная величина $\xi$ имеет биномиальное распределение, так как вероятность того, что она примет значение

вычисляется по формуле Бернулли. Тогда ее математическое ожидание находится по формуле (41), а именно, $m[\xi]=50\cdot0,06=3$ ; дисперсию находим по формуле (42): $d[\xi]=50\cdot0,06\cdot0,94=2,82$ .
Тогда среднее квадратичное отклонение будет равно $\sigma[\xi]=\sqrt{2,82}\approx 1,68$ .

Вопрос. Приобретено 200 лотерейных билетов, вероятность выигрыша одного билета равна 0,01. Тогда среднее число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, равно:
а) 10;
б) 2;
в) 20;
г) 1.

в)

а)

г)

б)

Закон распределения Пуассона

При решении многих практических задач приходится иметь дело с дискретными случайными величинами,
которые подчиняются закону распределения Пуассона. Типичными примерами случайной величины, имеющей
распределение Пуассона, являются: число вызовов на телефонной станции за некоторое время

; число
отказов сложной аппаратуры за время

, если известно, что отказы независимы друг от друга и в среднем на
единицу времени приходится $\lambda$ отказов.Ряд распределения будет иметь вид:

	0	1	...		...
	$\frac{{\lambda ^0 }}{{0!}}e^{ - \lambda }$	$\frac{{\lambda ^1 }}{{1!}}e^{ - \lambda }$	...	$\frac{{\lambda ^m }}{{m!}}e^{ - \lambda }$	...

То есть вероятность того, что случайная величина $\xi$ примет значение

вычисляется по формуле Пуассона:

$p\left( {\xi = m} \right) = \frac{{\lambda ^m }}{{m!}}e^{ - \lambda }$

поэтому данный закон и называется законом распределения Пуассона.
Случайная величина, распределенной по закону Пуассона, имеет следующие числовые характеристики:
$m[\xi]=\lambda$ (44)

$d[\xi]=\lambda$ (45)
$\sigma [\xi ] = \sqrt \lambda$ (46)

Распределение Пуассона зависит от одного параметра $\lambda$ , который является математическим ожиданием
случайной величины. На рисунке 14 показан общий вид многоугольника распределения Пуассона при
различных значениях параметра $\lambda$ .

$d:\док\ргрту\теория вероятности\загруженное (17).gif$

Рис.14

Распределение Пуассона может быть использовано как приближенное в тех случаях, когда точным
распределением случайной величины является биномиальное распределение, при этом число испытаний
велико, а вероятность появления события

в отдельном испытании мала, поэтому закон распределения
Пуассона называют законом редких событий. А еще, если математическое ожидание мало отличается от
дисперсии, то есть когда $np \approx npq$ . В связи с этим распределение Пуассона имеет большое количество
различных приложений.

Пример 16. Завод отправляет на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие
повредится, равна 0,002. Найти математическое ожидание числа поврежденных при перевозке деталей.
Решение. Случайная величина $\xi$ имеет распределение Пуассона, поэтому $m[\xi]=500\cdot0,002=1$ .

Вопрос. Вероятность искажения символа при передаче сообщения равна 0,004. Чтобы среднее число
искаженных символов было равно 4, надо передать 100 символов.
верно

неверно

Равномерное распределение

Определение 16.Непрерывная случайная величина $\xi$ имеет равномерное распределение на отрезке [a;b],
если на этом отрезке плотность распределения данной случайной величины постоянна, а вне его равна нулю,
то есть

$f(x) = \left\{ \begin{gathered}c ,x \in [a;b]; \hfill \\ 0,x \notin [a;b] \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (45)

График плотности для равномерного распределения изображен на рисунке 15:

$d:\док\ргрту\теория вероятности\загруженное (18).gif$

Рис.15

Так как площадь под кривой распределения должна равняться 1, то $c = \frac{1}{{b - a}}$ и следовательно,
плотность распределения имеет вид:

$f(x) = \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{b - a}},x \in [a;b]; \hfill \\ 0,x \notin [a;b] \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (46)

Непрерывная случайная величина $\xi$ подчиняется закону равномерного распределения, если ее возможные
значения лежат в пределах некоторого определенного интервала, кроме того, в пределах этого интервала все
значения случайной величины одинаково вероятны. Случайные величины, имеющие равномерное
распределение часто встречаются в измерительной практике при округлении отсчетов измерительных
приборов до целых делений шкал. Ошибка при округлении отсчета до ближайшего целого деления является
случайной величиной $\xi$ , которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение
между двумя соседними целыми делениями.
Числовые характеристики случайной величины, имеющей равномерное распределение, вычисляются по формулам:

$m[\xi ] = \frac{{a + b}}{2}$ (47)

$d[\xi ] = \frac{{\left( {b - a} \right)^2 }}{{12}}$ (48)

$\sigma [\xi ] = \frac{{b - a}}{{2\sqrt 3 }}$ (49)

Функция распределения вероятностей случайной величины, равномерно распределенной на промежутке

имеет вид:

$f(x) = \left\{ \begin{gathered} 0,x < a; \hfill \\ \frac{{x - a}}{{b - a}},a \leqslant x \leqslant b; \hfill \\ 1,x> b \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (50)
График данной функции представлен на рисунке 16:

$d:\док\ргрту\теория вероятности\загруженное (19).gif$

Рис.16
Пример 17. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1. Показания прибора округляют до
ближайшего деления. Найти математическое ожидание случайной величины $\xi$ - ошибки округления.
Решение. Случайная величина $\xi$ - ошибка округления имеет равномерное распределение на промежутке
от 0 до 0,1, ее математическое ожидание вычисляется по формуле (47): $m[\xi]=\frac{{0+0,1}}{2}=0,05$ .

Вопрос. Непрерывная случайная величина $\xi$ имеет плотность распределения вероятностей

$f(x) = \left\{ \begin{gathered} 0,25,x \in [m - 2;m + 2]; \hfill \\ 0,x \notin [m - 2;m + 2] \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Тогда ее дисперсия равна:

а) $\frac{4}{3}$ ;
б) $\frac{1}{4}$ ;
в) $\frac{1}{2}$ ;
г)

.

г)

а)

в)

б)

Нормальное распределение

Среди распределений непрерывных случайных величин центральное место занимает нормальный закон ,
плотность распределения которого имеет вид:
$f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma _\xi }}e^{ - \frac{{(x - m_\xi )^2 }}{{2\sigma _\xi ^2 }}}$ (51)
где $m_\xi$ - математическое ожидание, а $\sigma_\xi$ - среднее квадратичное отклонение данной случайной
величины.
График плотности распределения нормального закона называют кривой Гаусса, он приведен на рисунке 17:

$d:\док\ргрту\теория вероятности\загруженное (20).gif$

Рис.17

Отметим некоторые свойства кривой Гаусса.
1. Кривая распределения симметрична относительно ординаты, проходящей через точку $m_\xi$ .
2. Кривая имеет один максимум при $x=m_\xi$ , равный $\frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma _\xi }}$ .
3. При $\left| x \right| \to \infty$ ветви кривой асимптотически приближаются к оси

.
4. Изменение математического ожидания $m_\xi$ при $\sigma_\xi=const$ приводит к смещению кривой
распределения вдоль оси

. При этом кривая распределения сохраняет свой вид.
При изменении среднего квадратичного отклонения при $m_\xi=const$ кривая распределения изменяет свой вид.
На рисунке 18 показана зависимость кривой распределения от среднего квадратичного отклонения.

$d:\док\ргрту\теория вероятности\загруженное (21).gif$

Рис.18
Функция распределения вероятностей для нормального закона имеет вид:
$f(x) = \frac{1}{2} + \phi \left( {\frac{{x - m_\xi }}{{\sigma _\xi }}} \right)$ (52)

где $\phi (x) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_0^x {e^{ - \frac{{t^2 }}{2}} dt}$ - функция Лапласа.
Нормальный закон распределения очень широко распространен в задачах практики. Он проявляется во всех тех

случаях, когда случайная величина $\xi$ является результатом действия большого числа различных факторов.
Каждый фактор в отдельности на величину $\xi$ влияет незначительно и нельзя указать, какой именно в большей
степени, чем остальные. Примерами случайных величин, имеющих нормальное распределение, могут служить:
отклонение действительных размеров деталей, обработанных на станке, от номинальных размеров; ошибки при
измерении; отклонения при стрельбе и другие.
Основной особенностью, выделяющей нормальный закон среди других законов, служит то, что он является
предельным законом для других законов распределения.

Вероятность того, что случайная величина $\xi$ , распределенная по нормальному закону, попадет на промежуток
$(\alpha;\beta)$ вычисляется по формуле:
$p(\alpha < \xi < \beta ) = \phi \left( {\frac{{\beta - m_\xi }}{{\sigma _\xi }}} \right) - \phi \left( {\frac{{\alpha - m_\xi }}{{\sigma _\xi }}} \right)$ (53)

Вероятность того, что случайная величина $\xi$ отклонится от своего математического ожидания на величину по
модулю меньшую $\delta$ вычисляется по формуле:
$p\left( {\left| {\xi - m_\xi } \right| < \delta } \right) = 2\phi \left( {\frac{\delta }{{\sigma _\xi }}} \right)$ (54)
Пример18.Ошибка радиодальномера подчинена нормальному закону. Математическое ожидание этой ошибки
равно 5 м, а среднее квадратичное отклонение равно 10 м. Найти вероятность того, что измеренное значение
дальности будет отклоняться от истинного не более чем на 20 м.
Решение. По условию надо найти вероятность попадания случайной величины $\xi$ - ошибки радиодальномера
на промежуток

. По формуле (53) находим:

$p\left( { - 20 < \xi < 20} \right) = \phi \left( {\frac{{20 - 5}}{{10}}} \right) - \phi \left( {\frac{{ - 20 - 5}}{{10}}} \right) =$
$= \phi (1,5) + \phi (2,5) = 0,4332 + 0,4938 = 0,927$ .

Вопрос. Нормальное распределение характеризуется одним параметром.

неверно

верно

Показательное распределение

В практических приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового обслуживания, исследовании
операций, в физике, биологии, вопросах надежности и других приложениях, часто имеют дело со случайными
величинами, имеющими показательное распределение.

Определение 17. Непрерывная случайная величина $\xi$ распределена по показательному закону, если ее
плотность вероятности имеет вид:
$f(x) = \left\{ \begin{gathered} 0,x < 0; \hfill \\ \lambda e^{ - \lambda x} ,x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (55)

Кривая распределения изображена на рисунке 19:

$d:\док\ргрту\теория вероятности\загруженное (22).gif$

Рис.19

Функция распределения задается следующим образом:
$f(x) = \left\{ \begin{gathered} 0,x < 0; \hfill \\ 1 - e^{ - \lambda x} ,x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (56)
Ее график показан на рисунке 20:

$d:\док\ргрту\теория вероятности\загруженное (23).gif$

Рис.20
Числовые характеристики случайной величины, имеющей показательное распределение вычисляются по формулам:
$m[\xi ] = \frac{1}{\lambda }$ (57)

$d[\xi ] = \frac{1}{{\lambda ^2 }}$ (58)

$\sigma [\xi ] = \frac{1}{\lambda }$ (59)
Пример 19. Случайная величина

- время работы радиолампы- имеет показательное распределение. Найти
вероятность того, что время работы радиолампы будет не меньше 600 часов, если среднее время работы
радиолампы 400 часов.
Решение. По условию задачи математическое ожидание данной случайной величины равно 400, тогда $\lambda = \frac{1}{{400}}$ . Искомая вероятность :
$p\left( {t \geqslant 600} \right) = 1 - p\left( {t < 600} \right) = 1 - f\left( {600} \right) = 1 - \left( {1 - e^{ - \frac{1}{{400}}600} } \right) \approx 0,22$ .

Вопрос. Случайная величина $\xi$ распределена по показательному закону с параметром $\lambda=0,4$ . Тогда
ее математическое ожидание равно 2,5.

неверно

верно