Основные законы распределения случайных величин. Закон распределения

• Название: Закон распределения
• Дата: 08.01.2019
• Размер: 0.5 Mb.
• Имя файла: Основные законы распределения случайных величин.doc
• Тип: Закон; #62862

Основные законы распределения случайных величин

1. Биномиальный закон распределения

Вернемся к схеме независимых испытаний и найдем закон распределения случайной величины Х – числа появлений события А в серии из п испытаний. Возможные значения А: 0, 1, …, п.

Биномиальным законом распределения называется распределение вероятностей дискретной случайной величины X = k - числа появлений события в n независимых испытаниях, описываемое формулой Бернулли:



Ряд распределения биномиального закона имеет вид

	0	1	…	K	…	n
			…		…

Пример 1. Составим ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.

Решение.

р(Х=0) = 1·(0,2)⁵ = 0,00032;

р(Х=1) = 5·0,8·(0,2)⁴ = 0,0064;

р(Х=2) = 10·(0,8)²·(0,2)³ = 0,0512;

р(Х=3) = 10·(0,8)³·(0,2)² = 0,2048;

р(Х=4) = 5·(0,8)⁴·0,2 = 0,4096;

р(Х=5) = 1·(0,8)⁵ = 0,32768.

Таким образом, ряд распределения имеет вид:

х	0	1	2	3	4	5
р	0,00032	0,0064	0,0512	0,2048	0,4096	0,32728

Справедливы теоремы:

1. При биномиальном распределении математическое ожидание (среднее значение) числа появлений события равно произведению числа испытаний на вероятность p появления события в одном испытании M(X) = np, а дисперсия равна D(X) = npq.

2. Наивероятнейшее число появлений события в n независимых испытаниях (такое число k, которое при данном n имеет наиболь­шую вероятность ) удовлетворяет двойному неравенству

np - q < k < np + p .

Если (np – q) - дробное число, то существует единственное значение k*,

если (np – q) - целое число, то k* может принимать два значения.

Пример 2. Произведено 6 выстрелов по цели. Вероятность промаха при каждом выстреле одинакова и равна 0,4. Найти наивероятнейшее число попаданий и его вероятность; вероятность разрушения цели, если для этого требуется не менее двух попаданий.

Решение. Каждый выстрел можно рассматривать как отдельное независимое испытание. Поэтому применима схема повторяющихся не­зависимых испытаний. По условию n = 6, p = 0,6; q = 0,4. Поэтому np - q = 3,2; np + p = 4,2. Следовательно, k = 4.

Вероятность 4-x попаданий равна

Пусть A - событие, состоящее в том, что будет не менее двух попаданий при 6 выстрелах. Удобно перейти к противоположно­му ему событию - менее двух попаданий (либо 0 – событие , либо 1 - событие ).

Очевидно, .

Так как события и несовместны, то или

Искомая вероятность

Для дискретной случайной величины Х, представляющей собой число появлений события А в серии из п независимых испытаний, М(Х) можно найти, используя свойство 4 математического ожидания. Пусть Х₁ – число появлений А в первом испытании, Х₂ – во втором и т.д. При этом каждая из случайных величин Х_iзадается рядом распределения вида

Xi	0	1
pi	q	p

Следовательно, М(Х_i) = p. Тогда

Аналогичным образом вычислим дисперсию: D(X_i) = 0²·q + 1²·p – p²= p – p² = p(1 – p), откуда по свойству 4 дисперсии

2. Закон распределения Пуассона

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую только целые неотрицательные значения (0, 1, 2,…, т,…), последовательность которых не ограничена.

В предельном случае биномиального распределения, когда число испытаний n очень велико, а вероятность появления события в каждом отдельном испытании очень мала, вероятность появления события k раз в n независимых испытаниях может быть определена по приближенной формуле

,

где - среднее число появлений события в различных сериях испытаний, предполагаемое постоянным.

Эта формула выражает закон распределения вероятностей диск­ретной случайной величины k - числа появлений события в n неза­висимых испытаниях (в случае массовых, но редких событий ), на­зываемый законом распределения Пуассона.

Замечание. Практически формулой Пуассона с достаточной сте­пенью точности можно пользоваться при p < 0,1; .

Замечание. Таким образом, обнаружено интересное свойство распределения Пуассона: математическое ожидание равно дисперсии (и равно единственному параметру , определяющему распределение).

3. Геометрическое распределение

Пусть производится ряд независимых испытаний (”попыток”) для достижения некоторого результата (события ), и при каждой попытке событие может появиться с вероятностью . Тогда число попыток до появления события , включая удавшуюся, - дискретная случайная величина, возможные значения которой 1,2… … . Вероятности их по теореме умножения вероятностей для независимых событий равны



где .

Вероятности образуют для ряда последовательных значений бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем (поэтому распределение называется геометрическим).

Ряд распределения имеет вид

	1	2	3	….	M	…
				….		…

Математическое ожидание и дисперсия равны

.

Пример 1. Производится ряд попыток включить двигатель. Каждая занимает время и заканчивается успешно независимо от других с вероятностью . Построить ряд распределения общего времени , которое потребуется для включения двигателя, найти его математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Число попыток - дискретная случайная величина с возможными значениями Поэтому общее время - тоже случайная величина, подчиненная геометрическому закону распределения, и ее ряд распределения будет иметь вид

				…		…
				…		…

По свойствам математического ожидания и дисперсии

,

.

Пример 2. Имеется лампочек; каждая из них с вероятностью имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон и включается ток; при этом дефектная лампочка сразу же перегорает и заменяется новой. Построить ряд распределения числа лампочек , которое будет испробовано и найти вероятность того, что свет появится при третьем включении.

Решение. По условию Ряд распределения будет

	1	2	3	…		…
				…		…

.

4. Закон равномерного распределения вероятностей

Часто на практике мы имеем дело со случайными величинами, распределенными определенным типовым образом, то есть такими, закон распределения которых имеет некоторую стандартную форму. Были рассмотрены примеры таких законов распределения для дискретных случайных величин (биномиальный и Пуассона). Для непрерывных случайных величин тоже существуют часто встречающиеся виды закона распределения, и в качестве первого из них рассмотрим равномерный закон.

Закон распределения непрерывной случайной величины называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение (f(x) = const при a ≤ x ≤ b, f(x) = 0 при x < a, x > b.

Непрерывная случайная величина Х подчинена закону равномерного распределения вероятностей, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения Х , плотность вероятностей постоянна и равна



а функции распределения F(x):

График плотности вероятностей равномерно распределенной случайной величины Х и ее функции распределения F(x) показан на рисунке.

Обычно вместо параметров aи bиспользуют математическое ожидание Х и половину ширины области возможных значений случайной величины.

Очевидно,

Дисперсия закона равномерного распределения .

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал , принадлежащий , равна

.

Пример. Автобусы некоторого маршрута идут с интервалом 5 минут. Найти вероятность того, что пришедшему на остановку пассажиру придется ожидать автобуса не более 2 минут.

Решение. Время ожидания является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале [0, 5]. Тогда

Для равномерно распределенной на отрезке [a, b] непрерывной случайной величины то есть математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины равно абсциссе середины отрезка [a, b] .

Дисперсия

.

5. Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Показательное распределение широко применяется в теории надежности, в теории массового обслуживания.

Непрерывная случайная величина подчинена показательному закону распределения, если ее плотность вероятностей равна



Интегральная функция распределения показательного закона:



Графики и показаны на рисунке.



В отличие от нормального распределения, показательный закон определяется только одним параметром λ. В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее не известны и их приходится оценивать приближенно. Понятно, что оценить один параметр проще, чем несколько.

Вероятность попадания на конечный интервал случайной величины, распределенной по показательному закону, равна



Числовые характеристики показательного распределения

следовательно,

Поэтому математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению. Это равенство является характерным признаком показательного распределения.

Пусть - время безотказной работы элемента (непрерывная случайная величина), а - время, по прошествии которого происходит отказ. Тогда функция распределения определяет вероятность отказа за время . Поэтому вероятность противоположного события то есть вероятность безотказной работы за время будет равна



Эту функцию называют функцией надежности.

Показательный закон надежности.

Часто длительность безотказной работы элемента имеет показательное распределение, то есть .

Следовательно, функция надежности в этом случае имеет вид: .

Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством , где λ – интенсивность отказов.

Пример 1. Испытываются два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение второго Найти вероятность того, что за время = 6 час откажут оба элемента; оба элемента будут работать; откажет только один элемент.

Решение. Вероятность отказа первого элемента за 6 часов равна



Вероятность отказа второго элемента за то же время



Вероятность отказа двух элементов по теореме умножения вероятностей равна



Вероятности безотказной работы каждого элемента



Поэтому вероятность отказа только одного элемента будет равна



Пример 2. Пусть время безотказной работы элемента распределено по показательному закону с плотностью распределения f(t) = 0,1 e^-0,1tприt ≥ 0. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 10 часов.

Решение. Так как λ = 0,1, R(10) = e^-0,1·10 = e^-1 = 0,368.

Задачи для самостоятельной работы

1. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр .

2. Найти дисперсию и среднее квадратическое от­клонение показательного распределения, заданного плот­ностью вероятности .

3. Найти дисперсию и среднее квадратическое от­клонение показательного закона, заданного функцией распределения .

4. Обычно совещание длится час. На этот раз за час оно не закончилось. Какова вероятность того, что оно закончится в ближайшие 15 мин. Длительность со­вещания распределена по показательному закону.

5. Длительность междугородних телефонных разговоров распределена при­мерно по показательному закону, разговор продолжается в среднем 3 мин. Найти вероятность того, что очередной разговор будет продолжаться более 3 мин. Опре­делить долю разговоров, которые длятся менее 1 мин. Найти вероятность того, что разговор, который длится уже 10 мин, закончится в течение ближайшей минуты, а также математическое ожидание и дисперсию длительности разговора.

6. Устройство, состоящее из 5 независимо работающих элементов, включается на время t. Вероятность отказа каждого из элементов за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что за время t откажут: 1) 3 элемента; 2) не менее 4; 3) не более 4

6.6 Нормальный закон распределения

Непрерывная случайная величина подчинена нормальному закону распределения (закону распределения Гаусса), если ее плотность вероятностей равна

.

Здесь и -параметры, вероятностный смысл которых таков:

математическое ожидание. - среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X.

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

График плотности вероятностей нормально распределенной случайной величины (называемый нормальной или гауссовой кривой) показан на рисунке.

1. 
   Область определения этой функции: (-∞, +∞).
   
2. 
   f(x) > 0 при любом х (следовательно, весь график расположен выше оси Ох).
   
3. 
   то есть ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика при
   
4. 
   при х = а; при x > a, при x < a. Следовательно, - точка максимума.
   
5. 
   F(x – a) = f(a – x), то есть график симметричен относительно прямой х = а.
   
6. 
   при , то есть точки являются точками перегиба.
   

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на произвольный конечный интервал () равна



где - функция Лапласа.

Функция Лапласа табулирована. При пользовании таблицами следует иметь в виду, что она нечетная:

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал, симметричный относительно среднего значе­ния, равна



В частности, при Поэтому вероятность противоположного события: Такой малой вероятностью можно пренебречь.

На этом и базируется важное для приложений правило трех сигм:

Если случайная величина распределена по нормальному закону, то с вероятностью, близкой к достоверности, можно считать, что практически все рассеивание укладывается на интервале от центра распределения, то есть можно пренебречь вероятностью попадания случайной величины вне интервала .

Полученный результат позволяет сформулировать правило «трех сигм»: если случайная величина распределена нормально, то модуль ее отклонения от х = а не превосходит 3σ.

Пример 1. На станке изготовляется партия однотипных дета­лей. Длина детали X - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами Найти:

1) вероятность того, что длина наудачу взятой детали заклю­чена между 17,7 см и 18,4 см;

2) какое отклонение длины детали от номинального размера можно гарантировать с вероятностью 0,95?

3) в каких пределах будут заключены практически все длины деталей?

Решение.

1).

2). Воспользуемся формулой . По условию . Поэтому или По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим , откуда .

Следовательно, или

3). По правилу трех сигм можно считать, что практически все длины деталей с вероятностью 0,9973 будут заключены в интервале , то есть , откуда .

Пример 2. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математи­ческим ожиданием (проектной длиной), равным 60 мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 58 мм и не более 62 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали:

а) больше 61 мм; б) меньше 60,5 мм.

Решение. Предварительно найдем неизвестный параметр нор­мального распределения из условия или



откуда и по таблицам функции Лапласа находим

Следовательно, Поэтому

,

.

Пример 3. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а = 3, σ = 2. Найти вероятность того, что она примет значение из интервала (4, 8).

Решение.



Для вычисления математического ожидания нормально распределенной случайной величины воспользуемся тем, что интеграл Пуассона .



( первое слагаемое равно 0, так как подынтегральная функция нечетна, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля).



.

Следовательно, параметры нормального распределения (а и σ) равны соответственно математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению исследуемой случайной величины.