Задачи тв. Типовые задачи часть 4. Содержание раздел первый. Основные законы распределения случайных величин

• Название: Содержание раздел первый. Основные законы распределения случайных величин
• Анкор: Задачи тв
• Дата: 21.10.2021
• Размер: 1.51 Mb.
• Имя файла: Типовые задачи часть 4.pdf
• Тип: Закон; #253117
• страница: 1 из 5

3
СОДЕРЖАНИЕ
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ……..…………………………………………… 4 1.1. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ……………………………. 4 1.1.1. Биномиальное распределение …..………………………………… 4
Задачи для самостоятельного решения.……………………………. 7 1.1.2. Распределение Пуассона …….……..………….…………………… 8
Задачи для самостоятельного решения.…………………………….10 1.1.3. Геометрическое распределение ………….………..………............. 11
Задачи для самостоятельного решения.……………………………. 13 1.2. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ…..………………………. 13 1.2.1. Равномерное распределение ……….….……..……..………..……. 13
Задачи для самостоятельного решения.……………………………. 18 1.2.2. Показательное распределение……………..……….......................... 19
Задачи для самостоятельного решения.……………………………. 24 1.2.3. Нормальное распределение…………………………….…………… 27
Задачи для самостоятельного решения.……………………………. 30
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ ……………………………………….…………………….. 32 2.1. Локальная теорема Муавра – Лапласа…………………………….………. 32
Задачи для самостоятельного решения.……… ………………………... 33 2.2. Интегральная теорема Муавра – Лапласа………………..………………… 34
Задачи для самостоятельного решения.…………
…………………. 35
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН…………… 36 3.1. Системы дискретных случайных величин…………………………….…… 36
Задачи для самостоятельного решения.………… ………
…………. 40 3.2. Независимость дискретных случайных величин……..………………
42
Задачи для самостоятельного решения.……………… …………….
47

4
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
1.1. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1.1.1. Биномиальное распределение
Пример 1.1.1.1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной ве- личины
X  числа появления события A в семи независимых испытаниях, если вероятность появления события
A в каждом испытании равна 0,4 .
Решение. Случайная величина
X  число появления события A в семи не- зависимых испытаниях имеет биномиальный закон распределения с парамет- рами
7
n   число независимых испытаний и
0,4
p 
 вероятность появления события
A в каждом испытании.
Известно, что математическое ожидание случайной величины распреде- ленной по биномиальному закону вычисляется по формуле:
( )
M X
np

. Следова- тельно, математическое ожидание случайной величины
X : ( ) 7 0,4 2,8
M X  

Дисперсия случайной величины распределенной по биномиальному зако- ну вычисляется по формуле: ( )
D X
npq

, где q  вероятность не наступления события
A в каждом испытании


1
p q
  . Следовательно, дисперсия случай- ной величины
X : ( ) 7 0,4 (1 0,4) 7 0,4 0,6 1,68
D X  
 
 


Пример 1.1.1.2. Составить закон распределения случайной величины
X  чис- ла появления события
A в трех независимых испытаниях, если вероятность не появления события
A в каждом испытании равна 0,1.
Решение. Случайная величина
X  число появления события A в трех не- зависимых испытаниях может принимать четыре значения:
1 0
X 
,
2 1
X 
,
3 2
X 
и
4 3
X 
. Случайная величина
X имеет биномиальный закон распреде- ления с параметрами
3
n   число независимых испытаний и
1 0,9
p
q
  
 вероятность появления события
A в каждом испытании.
Вероятности возможных значений случайной величины
X найдем по формуле Бернулли: ( )
,
0,1,2,3
m
m n m
n
n
P m
C p q
m



. Имеем:


0 0
3 3
3 0
(0)
0,9 0,1 1 1 0,001 0,001
P X
P
C





  

;


1 1
2 3
3 1
(1)
0,9 0,1 3 0,9 0,01 0,027
P X
P
C
 



 


;


2 2
1 3
3 2
(2)
0,9 0,1 3 0,81 0,1 0,243
P X
P
C





 


;


3 3
0 3
3 3
(3)
0,9 0,1 1 0,729 1 0,729
P X
P
C





 
 
Теперь можно записать закон распределения случайной величины
X :

5
i
x
- Возможные значения
X
0 1
2 3
i
p
- Вероятности
0,001 0,027 0,243 0,729
Пример 1.1.1.3. Монета подбрасывается шесть раз. Составить закон распреде- ления случайной величины
X  числа появлений герба.
Решение. Случайная величина
X  число появления герба в шести незави- симых подбрасываниях монеты может принимать семь значений:
1 0
X 
,
2 1
X 
,
3 4
5 6
7 2,
3,
4,
5,
6
X
X
X
X
X





. Случайная величина
X имеет биноми- альный закон распределения с параметрами
6
n   число независимых испыта- ний и
0,5
p 
 вероятность появления герба в каждом подбрасывании. Вероят- ности возможных значений случайной величины найдем по формуле Бернулли:


0 0
6 6
6 1
1 0
(0)
0,5 0,5 1 1 64 64
P X
P
C





  

;


1 1
5 6
6 1 1 6
1
(1)
0,5 0,5 6
2 32 64
P X
P
C
 



  

;


2 2
4 6
6 1 1 15 2
(2)
0,5 0,5 15 4 16 64
P X
P
C





  

;


3 3
3 6
6 1 1 20 3
(3)
0,5 0,5 20 8 8 64
P X
P
C






  
;


4 4
2 6
6 1 1 15 4
(4)
0,5 0,5 15 16 4 64
P X
P
C





 
 
;


5 5
1 6
6 1 1 6
5
(5)
0,5 0,5 6
32 2 64
P X
P
C





 
 
;


6 6
0 6
6 1
1 6
(6)
0,5 0,5 1
1 64 64
P X
P
C





 
 
Теперь можно записать закон распределения случайной величины
X :
i
x
0 1
2 3
4 5
6
i
p
1 64 6
64 15 64 20 64 15 64 6
64 1
64
Пример 1.1.1.4. Производится телефонный опрос потребителей некоторой про- дукции. Каждый потребитель независимо от других может дать положительный отзыв о продукции с вероятностью 0,6. Составить закон распределения случайной величины
X - числа положительных отзывов среди трех опрошенных. Найти ве- роятность того, что число положительных отзывов составит не менее двух.
Решение. Данный телефонный опрос представляет собой последователь- ность независимых опытов с постоянной вероятностью успеха, то есть схему Бер- нулли. Поэтому случайная величина
X (число успехов) имеет биномиальное рас-

6 пределение с параметрами
3
n  и
0,6
p 
. Необходимые вероятности могут быть найдены с помощью формулы Бернулли: (
)
, (
0,1,2,3)
k
k n k
n
P X
k
C p q
k




, где
1 0,4
q
p
  
. Тогда имеем:
0 0
3 3
(
0)
0,6 0,4 1 1 0,064 0,064
P X
C




  

;
1 1
2 3
(
1)
0,6 0,4 3 0,6 0,16 0,288
P X
C
 


 


;
2 2
1 3
(
2)
0,6 0,4 3 0,36 0,4 0,432
P X
C




 


:
3 3
0 3
(
3)
0,6 0,4 1 0,216 1 0,216
P X
C
 


 
 
Искомый закон распределения имеет вид:
i
x
0 1
2 3
i
p
0,064 0,288 0,432 0,216
С помощью этого ряда распределения найдем вероятность того, что число положительных отзывов составит не менее двух:
(
2)
(
2)
(
3) 0,432 0,216 0,648
P X
P X
P X


 
 


Пример 1.1.1.5. Изделие состоит из 10 блоков, работающих независимо. Каж- дый блок за год отказывает с вероятностью 0,3. Найти математическое ожида- ние, дисперсию и среднеквадратическое отклонение числа исправных блоков через год.
Решение. Пусть случайная величина
X  число исправных блоков через год. Работа блоков представляет собой совокупность независимых опытов с по- стоянной вероятностью успеха, то есть схему Бернулли. Поэтому случайная вели- чина
X (число успехов) имеет биномиальное распределение с параметрами
10
n 
и
1 0,3 0,7
p  

. Для вычисления числовых характеристик биномиального рас- пределения воспользуемся формулами:
10 0,7 7;
MX
np

 

(1
) 10 0,7 0,3 2,1;
DX
npq np
p



 


2,1 1,45
X
DX




Пример 1.1.1.6. Случайная величина
X имеет биномиальное распределение с математическим ожиданием равным 6 и дисперсией равной 2. Найти вероят- ность того, что случайная величина
X примет значение, больше семи.
Решение. Воспользуемся формулами для вычисления числовых характери- стик биномиального распределения:
6;
2.
MX
np
DX
npq




Теперь можно найти параметры биномиального распределения:
2 1 1 2 6
;
1 1
;
9.
6 3 3 3 2 / 3
DX
MX
q
p
q
n
MX
p

 
    



Поскольку случайная величина X имеет биномиальное распределение, а па- раметр
9
n  , то
7
X  , если
8
X  или
9
X  :

7 8
9 8
8 1 9
9 0 9
9 2
1 2
(
7)
(
8)
(
9)
9 1
0,14.
3 3
3
P X
P X
P X
C p q
C p q
 
 


 



 
  

 
 
 
 
Вероятности (
8)
P X 
и (
9)
P X 
находятся по формуле Бернулли.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
X  чис- ла появления события
B в шести независимых испытаниях, если вероятность появления события
B в каждом испытании равна 0,65 .
2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
X  чис- ла появления события C в шести независимых испытаниях, если вероятность не появления события C в каждом испытании равна
0,3.
3. Составить закон распределения случайной величины
X  числа появления события
A в двух независимых испытаниях, если вероятность появления собы- тия
A в каждом испытании равна 0,8.
4. Составить закон распределения случайной величины
X  числа появления события
D в четырех независимых испытаниях, если вероятность не появления события
D в каждом испытании равна 0,3.
5. Вероятность того, что продаваемая стиральная машина потребует в течение гарантийного срока ремонта, равна 0,3. Продано три стиральные машины. Со- ставить закон распределения случайной величины
X  числа стиральных машин, потребовавших ремонта в течение гарантийного срока. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока потребуется ремонт не более одной машины.
6. В универсаме пять касс, работающих независимо. Для бесперебойной работы универсама необходимо иметь в рабочем режиме не менее 3 касс. Вероятность того, что любой кассирши в данный момент времени нет на рабочем месте рав- на 0,15. Составить закон распределения случайной величины Х - числа работаю- щих касс в универсаме в случайный момент времени. Найти вероятность того, что в данный момент времени универсам работает бесперебойно.
7. Передается 20 сообщений по каналу связи. Каждое сообщение независимо от других искажается с вероятностью 0,2. Найти математическое ожидание, дис- персию и среднеквадратическое отклонение числа сообщений, переданных без искажений.
8. Игральная кость бросается 8 раз. Случайная величина
X – количество вы- павших шестерок. Построить ряд распределения этой случайной величины, найти ее математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того, что шестерка выпадет не менее двух раз.
9. Случайная величина
X имеет биномиальное распределение с математическим ожиданием равным 8 и среднеквадратическим отклонение равным 2. Найти веро- ятность того, что
X примет значение: а) равное 3; б) не меньше 15.

8
1.1.2. Распределение Пуассона
Пример 1.1.2.1. Закон распределения случайной величины
Z имеет вид:
2 2
(
)
,
0,1,2,...
!
k
P Z k
k
e k




Найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение этой случай- ной величины.
Решение. Сравнивая приведенный закон распределения с формулой Пу- ассона
(
)
, (
0,1,2,3,...)
!
k
P X
k
e
k
k







, приходим к выводу, что случайная величина
Z имеет распределение Пуассона с параметром
2.

 Для вычисления числовых характеристик распределения Пуас- сона воспользуемся формулами:
2;
2;
2 1,41.
X
MX
DX
DX



 
 



Пример 1.1.2.2. Случайная величина
X имеет распределение Пуассона с мате- матическим ожиданием
3
MX  .
1) Составить закон распределения этой случайной величины
X .
2) Найти вероятности: (
1),
(
2),
(
3)
P X
P X
P X


 .
Решение. 1) Для распределения Пуассона
(
)
, (
0,1,2,3,...)
!
k
P X
k
e
k
k







известно, что
3
MX

  , а значит, для составления закона распределения вос- пользуемся формулой
3 3
(
)
, (
0,1,2,3,...)
!
k
P X
k
e
k
k





:
i
x
0 1
2 3
… k
…
i
p
0 3
3 0!
e


1 3
3 1!
e


2 3
3 2!
e


3 3
3 3!
e


…
3 3
!
k
e
k


…
2) Вычислим вероятности:
1 3
3 3
3
(
1)
0,1494 1!
P X
e
e

  


,
0 1
2 3
3 3
3 3
3 3
8,5
(
2)
(
0)
(
1)
(
2)
0,4232 0!
1!
2!
P X
P X
P X
P X
e
e
e
e





 
 



 




(
2) 1
(
2) 1 0,4232 0,5768
P X
P X

 

 

Пример 1.1.2.3 (закон редких явлений). Вероятность появления бракованного изделия при массовом производстве равна 0,002. Считая, что бракованные из- делия появляются при производстве независимо составить закон распределения

9 случайной величины
X – числа бракованных изделий в партии из 800 изделий.
Определить вероятность того, что в партии из 800 изделий окажется более трех бракованных. Найти математическое ожидание и дисперсию числа бракован- ных изделий в этой партии.
Решение. Производство изделий по условию представляет собой совокуп- ность независимых опытов с постоянной вероятностью успеха. Поскольку число опытов 800 велико, а вероятность появления бракованного изделия 0,002 мала, то случайная величина
X (число успехов) имеет распределение Пуассона с пара- метром
800 0,002 1,6.
np





Необходимые вероятности могут быть найдены по формуле Пуассона:
(
)
, (
0,1,2,3,...)
!
k
P X
k
e
k
k







, где
1,6


. Данное равенство представляет собой закон распределения случайной величины
X . Закон распределения случайной величины X имеет вид:
i
x
0 1
2 3
… k
…
i
p
0 1,6 1,6 0!
e


1 1,6 1,6 1!
e


2 1,6 1,6 2!
e


3 1,6 1,6 3!
e


…
1,6 1,6
!
k
e
k


…
Так как:
0 1
1,6 1,6 1,6 1,6 2
3 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6
(
0)
,
(
1)
1,6
,
0!
1!
1,6 1,6
(
2)
1,28
,
(
3)
0,68
,
2!
3!
P X
e
e
P X
e
e
P X
e
e
P X
e
e












 






 


то искомая вероятность равна:
1,6 1,6 1,6 1,6 1,6
(
3) 1
(
0)
(
1)
(
2)
(
3)
1 1,6 1,28 0,68 1 4,56 0,079.
P X
P X
P X
P X
P X
e
e
e
e
e





  
 
 
 
 
 



 

Для вычисления числовых характеристик распределения Пуассона восполь- зуемся формулами:
1,6;
1,6.
MX
DX


 
 