Задачи тв. Типовые задачи часть 4. Содержание раздел первый. Основные законы распределения случайных величин
 Скачать 1.51 Mb.
|
|
а) 20 0 ( 20) 0,4 50 0 P X ; б) 50 30 (30 60) 0,4 50 0 P X 2) Для вычисления числовых характеристик равномерного распределения воспользуемся формулами: 2 2 0 50 25; 2 2 ( ) (50 0) 208,3; 12 12 208,3 14,4. X a b MX b a DX DX Пример 1.2.1.4. Наручные электронные часы со стрелками прошли полный цикл работы до остановки стрелок из-за выработки элемента питания. Случай- ная величина X - величина угла (в градусах) между направлением часовой и минутной стрелок после остановки часов. 1) Найти плотность распределения случайной величины X . 2) Найти вероятность того, что после остановки часов величина угла (в гра- дусах) между направлением часовой и минутной стрелок: а) будет больше 150; б) будет лежать в пределах от 100 до 400; в) будет равна 100. 3) Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Решение. Очевидно, что случайная величина X имеет равномерное распре- деление на отрезке от своего минимального до своего максимального значения. Эти значения равны 0 и 180 градусов соответственно. Поэтому случайная величи- на X равномерна распределена на отрезке [0;180]. 1) Плотность распределения случайной величины, равномерно распределен- ной на отрезке [ ; ] a b , имеет вид: 1 , ( ; ); ( ) 0, ( ; ). x a b f x b a x a b Для рассматриваемой случайной величины 0; 180 a b , а значит: 1 , (0;180); ( ) 180 0, (0;180). x f x x 2) Искомые вероятности найдем с помощью формулы для вычисления веро- ятности попадания равномерно распределенной случайной величины на заданный промежуток, приведенной в предыдущем примере: 18 а) 180 150 1 ( 150) 180 0 6 P X ; б) 180 100 4 (100 400) 180 0 9 P X в) Для всякой непрерывной случайной величины вероятность принятия лю- бого конкретного значения равна нулю, поэтому ( 100) 0 P X . 3) Для вычисления числовых характеристик равномерного распределения воспользуемся формулами: 2 2 0 180 ( ) (180 0) 90; 2700. 2 2 12 12 a b b a MX DX Задачи для самостоятельного решения 1. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке 3;11 . 1) Найти функцию распределения случайной величины X , построить ее график. 2) Найти функцию плотности распределения случайной величины X , построить ее график. 3) Найти математическое ожидание ( ) M X , дисперсию ( ) D X и среднеквадра- тическое отклонение X случай ной величины X . 4) Найти ( 7) P X ; ( 4) P X ; (5 8) P X . 5) Найти ( 5| 8) P X X . 2. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке 2;6 1) Найти функцию распределения случайной величины X , построить ее график. 2) Найти функцию плотности распределения случайной величины X , построить ее график. 3) Найти математическое ожидание ( ) M X , дисперсию ( ) D X и среднеквадра- тическое отклонение X случай ной величины X . 4) Найти ( 0) P X ; ( 0) P X ; ( 0) P X ; ( 1 4) P X . 5) Найти ( 1| 4) P X X . 3. Случайная величина X равномерно распределена на интервале 1;11 . 1) Найти функцию распределения случайной величины X , построить ее график. 2) Найти функцию плотности распределения случайной величины X , построить ее график. 3) Найти математическое ожидание ( ) M X , дисперсию ( ) D X и среднеквадрати- ческое отклонение X случай ной величины X . 4) Найти ( 4) P X ; ( 4) P X ; ( 12) P X ; (4 15) P X , 5) Найти ( 4 | 15) P X X ; ( 4 | 1) P X X . 4. Плотность распределения непрерывной случайной величины X равна 0, (1;7); ( ) ,1 7. x f x с x 19 1) Найти неизвестный параметр с . 2) Найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение слу- чайной величины X . 3) Построить функцию распределения случайной величины X . 5. Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид: 0, 2; 2 ( ) ,2 5; 1, 5. x x F x x с x 1) Найти неизвестный параметр с . 2) Найти плотность распределения этой случайной величины, построить ее график. 3) Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. 4) Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение, от- личающееся от среднего ожидаемого не менее, чем на два. 6. При измерении земельного участка его длина округляется в большую сторо- ну до ближайшего целого числа метров. Случайная величина X – ошибка ок- ругления, измеряемая в сантиметрах. 1) Найти: ( 30), P X 15 20 , 1 P Х ( 25) P X 2) Найти МХ и Х . 7. Поезда в метро в городе М ходят точно по расписанию ровно через 4 минуты. Найти плотность распределения случайной величины X - времени ожидания поезда, построить ее график. 1) Найти вероятность того, что время ожидания поезда составит: а) более трех минут; б) будет лежать в пределах от двух до шести минут. 2) Найти математическое ожидание и дисперсию времени (в минутах) ожида- ния поезда в метро. 1.2.2. Показательное распределение Пример 1.2.2.1. Случайная величина X имеет показательное распределение с па- раметром 7 . 1) Найти функцию распределения случайной величины X , построить ее график. 2) Найти функцию плотности распределения случайной величины X и по- строить ее график. 3) Найти математическое ожидание ( ) M X , дисперсию ( ) D X и среднеквадра- тическое отклонение X случай ной величины X . 4) Найти: ( 3) P X ; ( 3) P X ; ( 3) P X ; (3 5) P X . 20 5) Найти ( 3| 5) P X X . Решение. 1) Функция распределения случайной величины X , имеющей по- казательный закон распределения с параметром , имеет вид: 0, при 0; ( ) 1 , при 0. x x F x e x Рассматриваемая случайная величина X имеет показательный закон распреде- ления с параметром 7 , и ее функция распределения имеет вид: 7 0, 0; ( ) 1 , 0. x при x F x e при x График функции распределения имеет вид: 2) Функция плотности распределения случайной величины, имеющей пока- зательный закон распределения с параметром , имеет вид: 0, при 0; ( ) , при 0. x x f x e x Рассматриваемая случайная величина X имеет показательный закон распреде- ления с параметром 7 , и ее функция плотности распределения имеет вид: 7 0, 0; ( ) 7 , 0. x при x f x e при x График плотности показательного распределения имеет вид: 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 21 3) Если случайная величина X имеет показательный закон распределения с параметром , то ее числовые характеристики (математическое ожидание, дис- персию и среднеквадратическое отклонение) можно вычислить по формулам: 2 1 1 1 ; ; X MX DX DX Рассматриваемая случайная величина X имеет показательный закон рас- пределения с параметром 7 , следовательно: 1 1 1 ; ; 7 49 7 X MX DX 4) Так как X непрерывная случайная величина, то ( 3) 0 P X . Так как функция распределения ( ) ( ) F x P X x , то ее можно использовать для нахождения вероятности ( 3) P X : 7 3 21 ( 3) (3) 1 1 P X F e e Отсюда следует: 21 21 ( 3) 1 ( 3) 1 (1 ) P X P X e e Для непрерывной случайной величины X вероятность попадания слу- чайной величины в промежуток вычисляется по формуле: ( ) ( ) ( ) P c X d F d F c Следовательно 7 5 7 3 21 35 (3 5) (5) (3) 1 1 P X F F e e e e 5) ( 3| 5) P X X это условная вероятность. Условная вероятность вычисляется по формуле ( ) ( ) ( ) A P AB P B P A , а значит (3 5) ( 3| 5) ( 5) P X P X X P X . Поскольку 35 ( 5) (5) 1 P X F e , то: 21 35 35 21 35 35 ( 3| 5) 1 1 e e e e P X X e e -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -3 -2 -1 0 1 2 3 22 Пример 1.2.2.2. Найти параметр λ показательного закона распределения, за- данного функцией плотности распределения 0, 0; ( ) 10 , 0. x при x f x e при x Решение. Из выражения функции плотности распределения, приведѐнной в условии задачи, следует, что параметр 10 . Пример 1.2.2.3. Найти параметр λ показательного закона распределения, за- данного функцией распределения 5 0, 0; ( ) 1 , 0. x при x F x e при x Решение. Из выражения функции распределения, приведѐнной в условии задачи, следует, что параметр 5 . Пример 1.2.2.4. Закон распределения непрерывной случайной величины X за- дан функцией плотности распределения 1,4 0, 0; ( ) 1,4 , 0. x при x f x e при x 1) Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины X . 2) Построить графики функции распределения и функции плотности рас- пределения. Решение. 1) Из выражения функции плотности следует, что случайная ве- личина X имеет показательный закон распределения с параметром 1,4 . По- этому математическое ожидание 1 1 0,7 1,4 MX , а функция распределения имеет вид: 1,4 0, 0; ( ) 1 , 0. x при x F x e при x 2) График функции распределения имеет вид: -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 -2 0 2 4 6 8 23 Пример 1.2.2.5. Случайная величина имеет показательный закон распределения, заданный функцией плотности распределения 16 0, 0 ( ) 16 , 0 x при x f x e при x Найти вероятность того, что в результате проведения опыта значение случай- ной величины попадѐт в интервал (0,13; 0,25) ? Решение. Из вида плотности распределения следует, что случайная вели- чина X имеет показательный закон распределения с параметром 16 . Тогда функция распределения этой случайной величины имеет вид: 16 0, 0; ( ) 1 , 0. x при x F x e при x Для нахождения вероятности попадания случайной величины на заданный ин- тервал воспользуемся формулой: ( ) ( ) ( ) P a X b F b F a . Имеем: 16 0,25 16 0,13 (0,13 0,25) (0,25) (0,13) 1 1 P X F F e e 2 4 1 1 0,117. 7,4 54,7 e e Пример 1.2.2.6. Время ремонта автомашины на станции техобслуживания яв- ляется случайной величиной T , имеющей показательный закон распределения с параметром 1 0,25 час . Определить вероятность того, что время ремонта одной автомашины составит менее 7 часов. Найти среднее время ремонта одной автомашины и среднеквадратическое отклонение этого времени. Решение. Для решения задачи будем использовать функцию распределе- ния показательного закона и его числовые характеристики: 0, 0; ( ) ( ) 1 , 0; t при t F t P T t e при t 1 1 ; T MT . Таким образом, 0,25 7 ( 7) (7) 1 P T F e Среднее время ремонта и его среднеквадратическое отклонение составляют: 1 1 4 ; 4 0,25 0,25 T MT час час Пример 1.2.2.7. (показательное распределение в простейшем потоке). К ки- оску покупатели подходят в среднем через каждые 2 минуты. Киоск начинает работу в 9 часов утра. 1) Считая простейшим поток покупателей, подходящих к киоску, построить график плотности распределения времени между двумя соседними поку- пателями, подходящими к киоску. 2) Найти вероятность того, что между 13 и 14 покупателем (от начала рабо- чего дня) пройдет: 24 а) не менее 3 минут; б) от 3 до 5 минут. 3) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X - времени, прошедшего с 10 часов утра до прихода первого покупателя. Решение. Пусть случайная величина T – время (в минутах) между двумя соседними покупателями, подходящими к киоску. Поскольку поток покупате- лей является простейшим, то случайная величина T (время между двумя сосед- ними событиями в простейшем потоке) имеет показательное распределение с па- раметром , равным интенсивности потока. По условию покупатели подходят к киоску в среднем через каждые 2 минуты, поэтому в данном потоке интенсив- ность составляет 1 1 0,5 2 мин 1) Плотность показательного распределения с параметром 0 имеет вид: 0, 0; ( ) , 0. t t f t e t Таким образом, искомая плотность распределения имеет вид: 0,5 0, 0; ( ) 0,5 , 0. t t f t e t 2) Вычисления вероятности попадания на заданный промежуток случайной величины, имеющей показательное распределение можно провести по формулам: , 0 ; ( ) 1 , 0 ; 0, 0. e e если P T e если если Теперь с помощью этих формул найдем искомые вероятности: а) 3 0,5 1,5 ( 3) (3 ) 0 0,22; P T P T e e e б) 3 0,5 5 0,5 1,5 2,5 (3 5) 0,14. P T e e e e 3) Поскольку простейший поток обладает свойством отсутствия последейст- вий, то случайная величина – время от любого фиксированного момента до перво- го после этого события в потоке имеет то же распределение, что и время между двумя соседними событиями в потоке. Поэтому для нахождения математического ожидания и дисперсии случайной величины X можно воспользоваться соответст- вующими формулами для показательного распределения с параметром : 2 1 1 2; 4. MX DX Задачи для самостоятельного решения 1. Случайная величина X имеет показательное распределение с параметром 4 . 1) Найти функцию распределения случайной величины X и построить ее график. 25 2) Найти функцию плотности распределения случайной величины X и по- строить ее график. 3) Найти математическое ожидание ( ) M X , дисперсию ( ) D X и среднеквадра- тическое отклонения X случайной величины X . 4) Найти: ( 4) P X ; ( 4) P X ; ( 4) P X ; (4 7) P X . 5) Найти ( 4 | 7) P X X . 2. Найти параметр λ показательного закона распределения, заданного функци- ей плотности распределения 0, 0; ( ) 5 , 0. x при x f x e при x 3. Найти параметр λ показательного закона распределения, заданного функци- ей распределения 10 0, 0; ( ) 1 , 0. x при x F x e при x 4. Закон распределения непрерывной случайной величины X задан функцией плотности распределения 0,4 0, 0; ( ) 0,4 , 0. x при x f x e при x 1) Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины X . 2) Построить графики функции распределения и функции плотности рас- пределения 5. Случайная величина имеет показательный закон распределения с математи- ческим ожиданием 2,5 MX . Найти вероятность попадания случайной вели- чины в интервал (0,5; ) ? 6. Непрерывная случайная величина имеет показательный закон распределения с математическим ожиданием 0,5 MX 1) Составить функцию плотности и функцию распределения. Построить график плотности распределения. 2) Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. 3) Найти вероятность того, что случайная величина попадѐт в интервал (0,2; ). 7. Время работы светодиода T есть случайная величина с показательным зако- ном распределения. Среднее время безотказной работы светодиода 500 MT час Найти вероятность того, что время безотказной работы свето- диода будет не менее 600 часов. 8. Длительность работы элемента некоторого устройства есть случайная вели- чина T , функция плотности распределения которой имеет вид: 26 0,003 0, 0; ( ) 0,003 , 0. t при t f t e при t Требуется найти среднее время работы элемента и вероятность того, что эле- мент проработает не более 400 часов. 9. Средняя продолжительность разговора продавца с покупателем составляет 2 минуты. Найти вероятность того, что разговор с произвольным покупателем будет продолжаться не более 3 минут, если время разговора есть случайная ве- личина T , имеющая показательный закон распределения. 10. Мастер по ремонту обуви в среднем тратит на одного клиента 25 минут. Ка- кова вероятность того, что за один час мастер обслужит менее двух клиентов, если время обслуживания есть случайная величина с показательным законом распределения? 11. Время ремонта автомобиля есть случайная величина T , имеющая показа- тельный закон распределения. Какова вероятность того, что время ремонта не- которого автомобиля будет менее 16 дней, если среднее время ремонта автомо- биля равно 8 дней? 12. На автозаправочную станцию (АЗС) автомобили подходят в среднем через 2 минуты. Случайная величина T – время (в минутах) между двумя соседними авто- мобилями, подходящими к АЗС. Считая поток автомобилей на АЗС простейшим: 1) Найти функцию распределения случайной величины T, построить ее график. 2) Найти: ( 3), , ( 2 1) 1 P T P T P T 3) Найти МT и T . 13. К зданию отделения банка клиенты подходят в среднем через каждые 5 ми- нут. Отделение начинает работу в 8 часов утра. Рассматриваются две случай- ные величины: X – время (в минутах) между 10 и 11 клиентом (от начала ра- бочего дня) и Y - время (в минутах) от 10 часов утра до прихода первого клиен- та. Считая поток клиентов простейшим: 1) Найти ( 3), P X , 0 ( 5) 4 P P Х X 2) Найти функцию плотности распределения случайной величины X и по- строить ее график. 3) Найти MY и Y . 14. Длительность безотказной работы двух микросхем имеет показательный за- кон распределения, функции распределения которых при 0 t соответственно равны: 0,02 1 ( ) 1 t F t e и 0,05 2 ( ) 1 t F t e . Найти вероятность того, что за 10 ча- сов работы откажут обе микросхемы, если они работают независимо друг от друга. 15. Длительность безотказной работы двух независимо работающих светодио- дов имеет показательный закон распределения, функции распределения кото- рых соответственно равны: 27 1 0,02 0, 0; ( ) 1 , 0 t при t F t e при t и 2 0,05 0, 0; ( ) 1 , 0. t при t F t e при t Найти вероятность того, что за 10 часов работы откажет только один светодиод. 1.2.3. Нормальное распределение Пример 1.2.3.1. Случайная величина X задана плотностью распределения ве- роятностей: 2 ( 1) 18 1 ( ) 3 2 x f x e Определить тип распределения случайной величины X и его параметры. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Решение. Плотность нормального распределения с параметрами a и 0 имеет вид: 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 x a f x e . Параметр a математическое ожидание, а среднеквадратическое отклонение случайной величины. Заметим, что за- данная плотность распределения может быть записана в виде: 2 2 ( 1) 2 3 1 ( ) 3 2 x f x e Сравнивая заданную плотность распределения с приведенной формулой плотности нормального распределения, приходим к выводу, что случайная ве- личина X имеет нормальное распределение с параметрами 1 a и 3 . Тогда 1 MX a , 2 ( ) 9 D X . Пример 1.2.3.2. Математическое ожидание нормально распределенной случай- ной величины X равно 3 a и среднеквадратическое отклонение 1 . 1) Записать функцию плотности вероятности случайной величины X . 2) Построить график плотности распределения случайной величины X . Решение. 1) Плотность нормального распределения с параметрами a математическое ожидание и 0 среднеквадратическое отклонение имеет вид: 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 x a f x e . Для известных параметров 3 a и 1 плотность распределения будет иметь вид: 2 2 2 ( 3) ( 3) 2 1 2 1 1 ( ) ( ) 1 2 2 x x f x e f x e 2) График функции плотности распределения будет иметь вид: 28 Пример 1.2.3.3. Случайная величина X имеет нормальный закон распределе- ния с математическим ожиданием 12 MX и среднеквадратическим отклоне- нием 3 . 1) Найти: ( 13) P X ; ( 13) P X ; ( 13) P X ; 2) Найти (14 16) P X ; 3) Найти (10 14) P X Решение. 1) Так как X непрерывная случайная величина, то ( 13) 0 P X . Так как функция распределения ( ) ( ) F x P X x , то ее можно использовать для нахождения вероятности ( ) P X : 2 2 ( ) 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 x a a P X F e dx Ф , где 2 2 0 1 ( ) 2 x z Ф x e dz функция Лапласа, параметр a MX Получаем: 1 13 12 ( 13) (13) 0,5 0,3333 0,5 0,1293 0,6293 2 3 P X F Ф Ф Отсюда следует: 1 13 12 ( 13) 1 ( 13) 1 0,5 0,3333 0,3707. 2 3 P X P X Ф Ф Значение функции Лапласа находим по соответствующей таблице. 2) Так как интервал (14;16) не симметричен относительно математиче- ского ожидания 12 MX , то для нахождения (14 16) P X используем сле- дующую формулу: ( ) a a P X Ф Ф , 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 29 где 2 2 0 1 ( ) 2 x z Ф x e dz функция Лапласа, параметр a MX Учитывая, что 12, 3 a MX , получим: 16 12 14 12 (14 16) (1,33) (0,67) 0,403 0,245 0,16. 3 3 P X Ф Ф Ф Ф Значение функции Лапласа находим по соответствующей таблице. 3) Так как интервал (10;14) симметричен относительно математического ожидания 12 a , то для нахождения (10 14) P X можно использовать фор- мулу: ( ) 2 P X MX Ф , откуда 2 ( 12 2) 2 2 (0,67) 2 0,2486 0,4972 3 P X Ф Ф Пример 1.2.3.4. Размер детали (в сантиметрах) есть случайная величина X с нормальным законом распределения, математическое ожидание которой 13 MX , а среднеквадратическое отклонение 4 . Найти вероятность того, что при изготовлении детали еѐ размер окажется в интервале (12;14) ? Решение. Так как интервал (12;14) симметричен относительно математи- ческого ожидания 13 a , то для решения задачи используем формулу вероят- ности попадания нормальной случайной величины на такой интервал: ( ) 2 P X MX Ф , откуда 1 ( 13 1) 2 2 (0,25) 2 0,0987 0,197 4 P X Ф Ф Пример 1.2.3.5 (правило «трех сигм»). В результате измерения массы боль- шого числа яблок некоторого сорта, установлено, что масса одного яблока ле- жит в пределах от 100 до 220 граммов. Считая, что масса яблока – случайная величина X , имеющая нормальное распределение, найти математическое ожи- дание и среднеквадратическое отклонение массы яблока в граммах. Найти ве- роятность того, что масса случайно выбранного яблока больше 200 граммов. Решение. Для решения задачи будем использовать правило «трех сигм». Согласно правилу «трех сигм» возможные значения нормальной случайной ве- личины отклоняются от математического ожидания не более, чем на утроенной значение среднеквадратического отклонения в ту и другую сторону. То есть минимальное и максимальное значение такой величины равны 3 a и 3 a соответственно. Из условий задачи вытекает, что 30 3 100; 3 220. a a Тогда 220 100 220 100 160; 20 2 6 a Теперь воспользуемся формулой для вычисления вероятности попадания слу- чайной величины на промежуток вида ( ; ) : ( ) 0,5 a P X Ф Отсюда 200 160 ( 200) 0,5 0,5 (2) 0,5 0,34 0,16 20 P X Ф Ф Пример 1.2.3.6. После изготовления детали контролируется еѐ размер. Ошибка измерения контролируемого размера детали есть случайная величина X , имеющая нормальный закон распределения с математическим ожиданием 0 MX и среднеквадратическим отклонением 4 мм. Какова вероятность того, что ошибка измерения по модулю не превысит 17 мм? Решение. Так как ошибка измерения есть случайная величина X с нор- мальным законом распределения, а рассматриваемый интервал возможных зна- чений симметричен относительно математического ожидания 0 MX , то для решения задачи можно использовать формулу 2 P X Ф , откуда: 17 ( 17) 2 2 (1,06) 2 0,3554 0,71. 16 P X Ф Ф Пример 1.2.3.7. Размер изготавливаемой на станке детали представляет собой случайную величину X , подчинѐнную нормальному закону распределения. Средний размер детали 25 MX мм, а среднеквадратическое отклонение 0,5 мм. Найти вероятность того, что при изготовлении детали отклонение ее размера не превысит допуска 0,2 мм? Решение. Так как отклонение размера детали симметрично относительно математического ожидания, то для решения задачи используем формулу: 0,2 ( ( ) ) 2 2 2 (0,4) 0,31 0,5 P X M X Ф Ф Ф Это значит, что только у 31% деталей размер будет соответствовать установ- ленным требованиям. Задачи для самостоятельного решения 1. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей: 31 2 ( 3) 8 1 ( ) 2 2 x f x e Определить тип распределения случайной величины X и его параметры. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. 2. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно 2 MX , а среднеквадратическое отклонение 2 . 1) Записать функцию плотности вероятности случайной величины X . 2) Построить график плотности распределения случайной величины X . 3. Случайная величина X имеет нормальный закон распределения с математи- ческим ожиданием 11 MX и среднеквадратическим отклонением 2 . 1) Найти: ( 10) P X ; ( 10) P X ; ( 10) P X ; 2) Найти (10 13) P X ; 3) Найти (10 12) P X 4. Рост студентов группы, выраженный в сантиметрах, - случайная величина , X имеющая нормальный закон распределения с математическим ожиданием 175 MX и среднеквадратическим отклонением 10 . Найти плотность рас- пределения случайной величины X и вероятность того, что рост случайно вы- бранного студента группы меньше 165 см. 5. Вес продаваемых арбузов есть случайная величина X с математическим ожиданием 10 MX кг, среднеквадратическое отклонение 5 кг. Найти ве- роятность того, что вес одного случайно купленного арбуза окажется в интер- вале от 9 до 12 кг. 6. Размер детали (в см) есть случайная величина X с нормальным законом рас- пределения, математическое ожидание которой 20 MX , а среднеквадратиче- ское отклонение 2 . Найти вероятность того, что при изготовлении детали еѐ размер попадѐт в интервал (15;25) ? 7. После изготовления детали контролируется еѐ размер. Ошибка измерения раз- мера детали есть случайная величина X с нормальным законом распределения, математическое ожидание которой 0 MX , а среднеквадратическое отклонение 10 мм. Найти вероятность того, что ошибка измерения будет менее 20 мм? 8. У изготовленных деталей контролируется длина. Многочисленные измере- ния показали, что длина деталей лежит в пределах от 10 до 13 сантиметров. Считая, что длина детали (в см) – случайная величина X , имеющая нормальное распределение, и, используя правило «трех сигм»: 1) Найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение длины детали. 2) Найти вероятность того, что длина случайно выбранной детали: а) меньше 11 см; б) лежит в пределах от 10,5 см до 12 см; в) отклоняется от среднего более чем на 0,7 см; г) равна 12,5 см. 32 9. Размер изготавливаемой на станке детали представляет собой случайную ве- личину X , подчинѐнную нормальному закону распределения. Средний размер детали 30 MX мм, а среднеквадратическое отклонение 0,8 мм. Найти ве- роятность того, что отклонение размера детали от среднего при еѐ изготовле- нии не превысит допуска 0,4 мм. 10. Размер изготавливаемой на станке детали, выраженный в миллиметрах, есть случайная величина X с нормальным законом распределения. Средний размер детали 18 MX мм, а среднеквадратическое отклонение 0,6 мм. Найти вероятность того, что отклонение размера детали от среднего при еѐ из- готовлении превысит допустимое значение, равное 0,5 мм. 11. Размер изготавливаемой на станке детали, выраженный в сантиметрах, представляет собой случайную величину X , подчинѐнную нормальному зако- ну распределения. Средний размер детали 20 MX см, а среднеквадратическое отклонение 0,6 см. Требуется определить гарантированную точность изго- товления детали, если вероятность невыхода за пределы заданного допуска должна быть не менее 0,98. 12. Известно, что средний расход краски на один квадратный метр детали со- ставляет 90 граммов, а среднеквадратическое отклонение расхода краски равно 10 граммам. Считая расход краски нормально распределѐнной случайной вели- чиной, определить диапазон, в который попадѐт наносимый объѐм краски с ве- роятностью 0,98. |