Задачи тв. Типовые задачи часть 4. Содержание раздел первый. Основные законы распределения случайных величин
 Скачать 1.51 Mb.
|
|
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 2.1. Локальная теорема Муавра-Лапласа Пример 2.1.1. В городе М из каждых 100 семей в среднем 40 имеют автомо- биль. Найти вероятность того, что из 500 случайно выбранных семей ровно 210 имеют автомобиль. Решение. Вероятность наличия автомобиля для каждой семьи: 40 0,4. 100 p Поскольку число выбранных семей 500 достаточно велико, то для нахож- дения искомой вероятности применим локальную теорему Муавра-Лапласа: 1 ( ) ( ), n P m x npq где ( ) n P m - вероятность появления m успехов в n независимых опытах, , m np x npq p - вероятность успеха в каждом опыте, 1 q p - вероятность не- 33 удачи, а значения функции 2 2 1 ( ) 2 x x e указаны в соответствующей табли- це. Локальная теорема Муавра-Лапласа дает весьма точные результаты, если 20. npq Так как по условию 500, n 0,6 q , 0,4, p а 500 0,4 0,6 120 npq , то применение данной теоремы оправдано. Имеем: 210 500 0,4 0,913 500 0,4 0,6 m np x npq Значение функции ( ) x находим в соответствующей таблице: (0,913) 0,263 Теперь найдем искомую вероятность 500 0,263 (210) 0,024 120 P Пример 2.1.2. Фирма делает рекламные объявления о своей продукции путем раздачи рекламных буклетов. Практика показывает, что эффективность такой рекламы характеризуется следующими цифрами: в среднем на 100 буклетов приходится 12 сделанных заказов на товар данной фирмы. Найти вероятность того, что после раздачи 200 буклетов будет сделано ровно 24 заказа. Решение. Вероятность того, что вручение каждого конкретного буклета приведет к заказу: 12 0,12. 100 p Поскольку число буклетов 200 достаточно велико, то для нахождения искомой вероятности применим локальную теорему Муавра-Лапласа: 1 ( ) ( ), n P m x npq где m np x npq Так как 200, 0,12, 0,88, n p q то 200 0,12 0,88 21,12 npq . Поскольку 20 npq , то применение локальной теоремы Муавра-Лапласа приводит к не- значительной погрешности. Вычисляем: 24 200 0,12 0 88200 0,12 0,6 m np x npq . Зна- чение функции 2 2 1 ( ) 2 x x e находим в соответствующей таблице: (0) 0,399 . Искомая вероятность равна: 500 0,399 (210) 0,087 21,12 P Задачи для самостоятельного решения 1. В некотором районе города М из 10000 семей 5700 имеют более, чем по од- ному ребенку. Найти вероятность того, что из пятисот случайно выбранных се- мей данного района ровно 600 имеют, как минимум, двух детей. 34 2. Вероятность отказа в получении визы некоторого государства равна 0,03. Найти вероятность того, что на 1000 заявлений в получении визы придется ровно 32 отказа. 3. Опрос, производимый у выхода с избирательного участка показал, что среди 500 опрошенных 150 проголосовали за некоторого кандидата. Найти вероят- ность, что среди 200 случайно выбранных избирателей ровно 60 проголосовали за этого кандидата. 2.2. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Пример 2.2.1. В городе М из каждых 100 семей в среднем 40 имеют автомо- биль. Найти вероятность того, что из 1000 случайно выбранных семей более 420 имеют автомобиль. Решение. Вероятность наличия автомобиля для каждой семьи: 40 0,4. 100 p Поскольку число выбранных семей 1000 достаточно велико, то для нахождения искомой вероятности применим интегральную теорему Муав- ра-Лапласа: ( ) b np a np P a X b Ф Ф npq npq , где ( ) P a X b - вероятность того, что число успехов в n независимых опы- тах лежит в заданных пределах, p - вероятность успеха в каждом опыте, 1 q p - вероятность неудачи, 2 2 0 1 ( ) 2 x t Ф x e dt - табличная функция Лап- ласа, которая также называется интегралом вероятностей. Данная формула дает высокую степень точности, если 20. npq По условию 420 n , 0,4 p , 0,6 q и 420 0,4 0,6 100,8 npq , и по- этому, для решения задачи можно применить интегральную теорему Муавра- Лапласа. Теперь вычислим искомую вероятность: 1000 420 (420 1000) np np P X Ф Ф npq npq 1000 1000 0,4 420 1000 0,4 600 20 1000 0,4 0,6 1000 0,4 0,6 240 240 Ф Ф Ф Ф Учитывая, что, при 3 x ( ) 0,5, Ф x получим: 20 (420 1000) 0,5 0,5 (1,29). 240 P X Ф Ф 35 Значение функции Лапласа ( ) Ф x находим в соответствующей таблице: (1,29) 0,4 Ф . Теперь найдем искомую вероятность: (420 1000) 0,5 0,4 0,1 P X Пример 2.2.2. Фирма делает рекламные объявления о своей продукции путем раздачи рекламных буклетов. Практика показывает, что эффективность такой рекламы характеризуется следующими показателями: в среднем на 100 букле- тов приходится 12 сделанных заказов на товар данной фирмы. Найти вероят- ность того, что после раздачи 500 буклетов будет сделано: а) не менее 70 заказов; б) от 40 до 50 заказов. Решение. Вероятность того, что вручение каждого конкретного буклета приведет к заказу: 12 0,12. 100 p Поскольку число буклетов 500 достаточно велико, то для нахождения искомых вероятностей применим интегральную теорему Муавра-Лапласа: ( ) b np a np P a X b Ф Ф npq npq Проверим обоснованность применения данной теоремы: 500 n , 0,12 p 0,88 q , 500 0,12 0,88 52,8 npq 500 0,12 0,88 52,8 npq Поскольку 20 npq , то применение интегральной теоремы Муавра-Лапласа приводит к незначительной погрешности. Теперь можно найти требуемые вероятности. Значения функции Лапласа ( ) Ф x находим в соответствующей таблице, при этом учтем, что функция Лапласа является нечетной: а) 500 70 (70 500) np np P X Ф Ф npq npq 500 500 0,12 70 500 0,12 0,5 (1,38) 0,5 0,42 0,08; 52,8 52,8 Ф Ф Ф б) 50 40 50 500 0,12 40 500 0,12 (45 50) 52,8 52,8 np np P X Ф Ф Ф Ф npq npq ( 1,38) ( 2,06) (1,38) (2,06) 0,42 0,48 0,06. Ф Ф Ф Ф Задачи для самостоятельного решения 1. В некотором районе города М из 10000 семей 5700 имеют более, чем по од- ному ребенку. Найти вероятность того, что из тысячи случайно выбранных се- мей данного района: 36 а) более 600 имеют, как минимум, двух детей; б) количество семей имеющих более одного ребенка лежит в пределах от 550 до 580. 2. Вероятность отказа в получении визы некоторого государства равна 0,03. Най- ти вероятность того, что число отказов на 2000 заявлений в получении визы: а) будет не более двух с половиной процентов; б) составит от 50 до 70. 3. Из 1500 автомобилей, проданных некоторой фирмой в России, 440 имели производственный дефект рулевого управления, и были отозваны производите- лями. Найти вероятность того, что среди 100 случайно выбранных покупателей данного автомобиля в России более 30 получили уведомления об отзыве авто- мобиля и возмещении ущерба. РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 3.1. Системы дискретных случайных величин Пример 3.1.1. Дан закон распределения случайной величины X : i x 0 1 3 5 8 i p 0,3 0,2 0,1 0,25 0,15 Построить закон распределения случайной величины max ; 4 Y X Решение. Случайная величина Y принимает значение 4, если 0 X , 1 X или 3 X , принимает значение 5, если 5 X и значение 8, если 8 X . Найдем вероятности того, что случайная величина Y примет значения 4, 5 и 8: ( 4) ( 0) ( 1) ( 3) 0,3 0,2 0,1 0,6; ( 5) ( 5) 0,25; ( 8) ( 8) 0,15. P Y P X P X P X P Y P X P Y P X Теперь построим закон распределения случайной величины Y : i y 4 5 8 i p 0,6 0,25 0,15 Пример 3.1.2. Дан совместный закон распределения системы двух дискретных случайных величин , X Y . Построить закон распределения случайной величи- ны Z X Y . Y X -1 0 1 1 0,3 0 0,25 2 0,15 0,15 0,15 37 Решение. Чтобы построить закон распределения случайной величины Z X Y , найдем, какие значения может принимать сумма двух случайных ве- личин X и Y . Для этого составим таблицу, где на пересечении строк и столб- цов запишем число, равное сумме соответствующих значений случайных вели- чин X и Y : Y X -1 0 1 1 0 1 2 2 1 2 3 Таким образом, случайная величина Z X Y может принимать четыре значения 0 Z , 1 Z , 2 Z и 3 Z . Для получения соответствующих вероят- ностей достаточно сложить вероятности в соответствующих ячейках таблицы закона распределения двумерной случайной величины , X Y , так как ( 1) ( 1, 0) ( 2, 1) 0,15 0 0,15 P Z P X Y P X Y и т.д.: i z 0 1 2 3 i p 0,3 0,15 0,4 0,15 Пример 3.1.3. Дан совместный закон распределения системы двух дискретных случайных величин , X Y : Y X 0 1 2 5 1 0,2 0,1 0 0,25 4 0,15 0,1 0,15 0,05 1) Построить законы распределения составляющих данной системы случай- ных величин. 2) Найти числовые характеристики составляющих данной системы случай- ных величин. 3) Построить закон распределения случайной величины min , Z X Y Решение. 1) Закон распределения случайной величины X можно полу- чить, складывая вероятности, входящие в совместный закон распределения по столбцам. Например: ( 0) ( 0, 1) ( 0, 4) 0,2 0,15 0,35 P X P X Y P X Y В результате получим закон распределения случайной величины X : i x 0 1 2 5 i p 0,35 0,2 0,15 0,3 38 Закон распределения случайной величины Y можно получить, складывая вероятности, входящие в совместный ряд распределения по строкам. Например: ( 1) ( 0, 1) ( 1, 1) ( 2, 1) ( 5, 1) P Y P X Y P X Y P X Y P X Y 0,2 0,1 0 0,25 0,55. В результате, получим ряд распределения случайной величины Y : i y 1 4 i p 0,55 0,45 2) Числовые характеристики случайных величин X и Y вычислим по обычным формулам, используя законы распределения этих случайных величин: 0 0,35 1 0,2 2 0,15 5 0,3 2; i i MX x p 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 0 0,35 1 0,2 2 0,15 5 0,3 4 4,3; i i DX MX MX x p 4,3 2,07. X DX 1 0,55 4 0,45 2,35; i i MY y p 2 2 2 2 2 2 ( ) 2,35 1 0,55 4 0,45 5,5225 2,23; i i DY MY MY y p 2,23 1,49. Y DY 3) Чтобы построить закон распределения случайной величины min , Z X Y , найдем, какие значения может принять минимум двух случай- ных величин X и Y . Для этого составим таблицу, где на пересечении строк и столбцов запишем число, равное минимуму соответствующих значений слу- чайных величин X и Y : Y X 0 1 2 5 1 0 1 1 1 4 0 1 2 4 Таким образом, случайная величина min , Z X Y может принимать че- тыре значения 0 Z , 1 Z , 2 Z и 4 Z . Для получения соответствующих ве- роятностей достаточно сложить вероятности в соответствующих ячейках таб- лицы распределения двумерной случайной величины , X Y , так как ( 0) ( 1, 0) ( 4, 0) 0,2 0,15 0,35 P Z P X Y P X Y и т.д.: i z 0 1 2 4 i p 0,35 0,45 0,15 0,05 Пример 3.1.4. Дан совместный закон распределения системы двух дискретных случайных величин , X Y . 39 X Y 0 1 4 1 0,2 0,1 0 2 0,15 0,1 0,15 5 0,1 0,15 0,05 1) Построить условный закон распределения случайной величины X , при условии, что случайная величина Y приняла значение 2. 2) Найти условное математическое ожидание 2 M X Y Решение. 1) Сначала найдем вероятность того, что случайная величина Y примет значение 2, сложив вероятности в соответствующей строке совместного закона распределения: ( 2) ( 0, 2) ( 1, 2) ( 4, 2) 0,15 0,1 0,15 0,4. P Y P X Y P X Y P X Y Необходимые условные вероятности найдем из теоремы умножения вероятно- стей ( ) ( ) ( ) A P AB P A P B по формуле ( ) ( ) ( ) A P AB P B P A : ( 0 2) ( 0, 2) / ( 2) 0,15 / 0,4 3 / 8; ( 1 2) ( 1, 2) / ( 2) 0,1/ 0,4 1/ 4; ( 4 2) ( 4, 2) / ( 2) 0,15 / 0,4 3 / 8. P X Y P X Y P Y P X Y P X Y P Y P X Y P X Y P Y Тогда искомый условный закон распределения случайной величины 2 X Y имеет вид: 2 i x Y 0 1 4 i p 3/8 1/4 3/8 2) Теперь, используя этот закон распределения, найдем условное матема- тическое ожидание: 3 1 3 7 2 0 1 4 1,75. 8 4 8 4 M X Y Пример 3.1.5. Бросается две монеты: рубль и пятак. Рассматриваются две слу- чайные величины: 0, ; 1, если на рубле орел X если на рубле решка ; Y - количество орлов, выпавшее на этих двух монетах. Построить совместный закон распределения системы случайных величин , X Y . Решение. Так как случайная величина X принимает два значения: 0 и 1, а случайная величина Y принимает три значения: 0; 1 и 2, то у системы , X Y . всего 6 пар возможных значений. Введем третью случайную величину: 40 0, ; 1, если на пятаке орел Z если на пятаке решка Найдем вероятность ( 0; 0) P X Y события, которое означает, что на рубле выпал орел, но при этом общее количество орлов на двух монетах равно нулю. Это событие является невозможным, и ( 0; 0) 0. P X Y Теперь найдем вероятность ( 0; 1) P X Y . Событие ( 0; 1) X Y означает, что на рубле выпал орел, при этом общее количество орлов на двух монетах равно одному, значит, на пятаке выпала решка, то есть, событие ( 0; 1) X Y совпадает с событием ( 0; 1) X Z . Бросание двух монет имеет 4 равновозможных исхода, поэтому вероятность этого события можно найти по классической формуле: ( 0; 1) 0,25. P X Z Рассуждая аналогично, найдем все 6 вероятностей, входящих в совмест- ный ряд распределения системы случайных величин , X Y : ( 0; 0) 0; P X Y ( 0; 1) ( 0; 1) 0,25; P X Y P X Z ( 0; 2) ( 0; 0) 0,25; P X Y P X Z ( 1; 0) ( 1; 1) 0,25; P X Y P X Z ( 1; 1) ( 1; 0) 0,25; P X Y P X Z ( 1; 2) 0. P X Y Совместный закон распределения системы случайных величин , X Y имеет вид: X Y 0 1 0 0 0,25 1 0,25 0,25 2 0,25 0 |