Задачи тв. Типовые задачи часть 4. Содержание раздел первый. Основные законы распределения случайных величин

• Название: Содержание раздел первый. Основные законы распределения случайных величин
• Анкор: Задачи тв
• Дата: 21.10.2021
• Размер: 1.51 Mb.
• Имя файла: Типовые задачи часть 4.pdf
• Тип: Закон; #253117
• страница: 2 из 5

Пример 1.1.2.4 (распределение Пуассона в простейшем потоке). К киоску в среднем подходят два покупателя в минуту. Считая поток покупателей про- стейшим, найти вероятность того, что за три минуты к киоску подойдет: а) ме- нее 3 покупателей; б) хотя бы два покупателя. Найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение числа покупателей за три минуты.
Решение. Пусть случайная величина
X - число покупателей, подходящих к киоску за 2 минуты. Поскольку поток покупателей является простейшим, то случайная величина
X (число событий в простейшем потоке в течение заданного промежутка времени) имеет распределение Пуассона с параметром
T
t

  , где

10
T - интенсивность потока, t
 - величина заданного промежутка времени. По усло- вию задачи
1 2
T
мин


,
3
t
мин
 
, а значит, параметр распределения Пуассона
6

 и вероятности могут быть найдены с помощью формулы Пуассона:
(
)
, (
0,1,2)
!
k
P X
k
e
k
k







, где
6

 .
Искомые вероятности равны:
0 1
2 6
6 6
6 6
6
(
3)
(
0)
(
1)
(
2)
0!
1!
2!
P X
P X
P X
P X
e
e
e



 
 
 








6 6
6 6
6 18 25 25 0,0025 0,0625;
e
e
e
e











6 6
6
(
2) 1
(
0)
(
1) 1 6
1 7 1 7 0,0025 0,9825.
P X
P X
P X
e
e
e




 
 
  

 
  

Для нахождения числовых характеристик распределения Пуассона восполь- зуемся формулами:
6;
MX

 
6;
DX

 
6 2,45.
X
DX




Задачи для самостоятельного решения
1. Закон распределения случайной величины
X имеет вид:
1
(
)
,
0,1,2,...
!
P X
k
k
e k




Найти математическое ожидание, дисперсию этой случайной величины и вероят- ность того, что случайная величина примет значение, не превосходящее двух.
2. Случайная величина
X имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием
5
MX  .
1) Составить закон распределения этой случайной величины
X .
2) Найти вероятности: (
0),
(
3),
(
4)
P X
P X
P X


 .
3. Случайная величина
X имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием
2
MX  . Найти вероятность того, что эта случайная величина:
а) примет значение меньше, чем ее математическое ожидание;
б) примет положительное значение.
4. Кавалерийский полк, состоящий из 100 всадников, идет в поход. Многолетней практикой установлено, что в таких походах вероятность того, что лошадь сломает ногу, равна 0,02 для каждой лошади. Считая, что лошади в походе ломают ноги не- зависимо, найти количество запасных лошадей, необходимое для того, чтобы обеспечить ими полк с вероятностью не менее 0,95. Найти математическое ожи- дание и среднеквадратическое отклонение числа лошадей, сломавших ноги в этом походе.
5. На автозаправочную станцию (АЗС) автомобили подъезжают в среднем через
4 минуты. Считая простейшим поток автомобилей, подъезжающих на станцию, построить ряд распределения числа автомобилей, подъехавших на АЗС за 10

11 минут. Найти вероятность того, что за 10 минут на АЗС приедет не менее трех автомобилей. Найти математическое ожидание и дисперсию числа автомоби- лей, подъехавших на АЗС за 10 минут.
1.1.3. Геометрическое распределение
Пример 1.1.3.1. Предположим, что студент имеет возможность сдавать экзамен по математике неограниченное число раз (до получения положительной оцен- ки). Вероятность сдать экзамен для студента-двоечника равна 0,4. Построить ряд распределения случайной величины
X - числа попыток сдачи, которые по- требуются этому студенту для получения положительной оценки.
1) Найти вероятность того, что ему потребуется:
а) не менее трех попыток; б) от двух до четырех попыток.
2) Найти математическое ожидание и дисперсию числа двоек, которые бу- дут получены этим студентом до получения положительной оценки. Счи- тать, что все сдачи и пересдачи происходят независимо.
Решение. По условию сдача и пересдача экзаменов по математике пред- ставляет собой совокупность независимых опытов, производимых до получения положительной оценки, то есть до первого успеха. Поэтому случайная величина
X (число повторений опыта до первого успеха) имеет геометрическое распреде- ление, увеличенное на единицу, с параметром
0,4
p 
Закон распределения такой случайной величины имеет вид:
1
(
)
, (
1,2,3,...)
k
P X
k
q p
k




, где
0,4;
1 0,6.
p
q
p

  
Ряд распределения имеет вид:
i
x
1 2
3
…
k
…
i
p
0 1
0,6 0,4

1 1
0,6 0,4

2 1
0,6 0,4

…
1 1
0,6 0,4
k

…
1) Необходимые вероятности найдем с помощью этого ряда распределения:
2 3
4
(
3)
(
3)
(
4)
(
5) ...
P X
P X
P X
P X
q p q p q p
 
 
 
  



Данная сумма представляет собой сумму бесконечно убывающей геомет- рической прогрессии со знаменателем, равным q . Поэтому
2 2
2 2
(
3)
0,6 0,36 1
q p
q p
P X
q
q
p
 





2 3
(2 4)
(
2)
(
3)
(
4)
P
X
P X
P X
P X
qp q p q p



 
 





2
(1
) 0,6 0,4 (1 0,6 0,36) 0,47.
qp
q q

  


 


2) Пусть случайная величина
Y  число двоек, которые будут получены студентом до получения положительной оценки. Случайная величина
Y (число неудач до первого успеха) имеет геометрическое распределение с параметром

12 0,4
p 
. Для вычисления числовых характеристик геометрического распределения воспользуемся формулами:
2 2
0,6 0,6 1,5;
3,75.
0,4 0,4
q
q
MY
DY
p
p
 




Пример 1.1.3.2. В большой партии телевизоров 20% бракованных. При продаже телевизоры проверяются по одному до тех пор, пока не будет найден качест- венный телевизор. При этом бракованные телевизоры отправляются обратно на завод.
1) Считая, что проверка и отбраковка телевизоров производятся независимо, найти вероятность того, что на завод будет отправлено:
а) более 2 телевизоров; б) от 4 до 6 телевизоров.
2) Найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение числа проверенных телевизоров.
Решение. 1) Пусть случайная величина
X – число бракованных телевизо- ров, отправленных после проверки на завод. По условию проверка телевизоров представляет собой совокупность независимых опытов, производимых до нахож- дения первого качественного телевизора, то есть до первого успеха. Поэтому слу- чайная величина
X (число неудач до первого успеха) имеет геометрическое рас- пределение с параметром
0,2
p 
Закон распределения такой случайной величины имеет вид:
(
)
, (
0,1,2,...)
k
P X
k
q p
k



, где
0,2;
1 0,8
p
q
p

  
Теперь c помощью этой формулы найдем искомые вероятности:
3 4
5
(
2)
(
3)
(
4)
(
5) ...
P X
P X
P X
P X
q p q p q p


 
 
  



Данная сумма представляет собой сумму бесконечно убывающей геомет- рической прогрессии со знаменателем, равным q . Поэтому
3 3
3 3
(
2)
0,8 0,512.
1
q p
q p
P X
q
q
p







4 5
6 4
2 4
2
(4 6)
(
4)
(
5)
(
6)
(1
) 0,8 0,2 0,2(1 0,8 0,8 ) 0,2
P
X
P X
P X
P X
q p q p q p
q p
q q





 






 






2) Пусть случайная величина
Y  числo проверенных телевизоров до на- хождения первого качественного телевизора. Так как в это число входят не только телевизоры, отправленные после проверки на завод, но и последний проверенный телевизор, который является качественным, то
1
Y
X
  , и слу- чайная величина
Y имеет геометрическое распределение, увеличенное на единицу.
Для вычисления числовых характеристик геометрического распределения воспользуемся формулами:
2 2
1 1
0,8 5;
20;
20 4,47.
0,2 0,2
Y
q
MY
DY
DY
p
p

 








13
Задачи для самостоятельного решения
1. Радист вызывает корреспондента, причем каждый последующий вызов произво- дится лишь в том случае, если предыдущий вызов не принят. Все вызовы произво- дятся независимо друг от друга. Вероятность того, что корреспондент примет вы- зов, равна 0,5.
1) Составить закон распределения числа непринятых вызовов (до первого принятого), найти математическое ожидание и дисперсию этого числа, если число вызовов не ограничено.
2) Найти вероятность того, что радист сделает не менее трех неудачных вы- зовов.
2. Вероятность того, что случайно встретившийся Вам в городе человек будет рыжим, равна 0,1.
1) Найти вероятность того, что первый рыжий встретится Вам не раньше два- дцатого человека.
2) Найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение числа людей, которые будут встречены Вами до того, как встретившийся окажется рыжим.
3. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет «решка». Случайная вели- чина
X – количество подбрасываний монеты.
1) Построить ряд распределения этой случайной величины, найти ее матема- тическое ожидание и дисперсию.
2) Найти вероятность того, что до выпадения «решки» орел выпадет не менее трех раз.
1.2. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1.2.1. Равномерное распределение
Пример 1.2.1.1. Случайная величина
X равномерно распределена на отрезке
 
2;8 .
1) Найти функцию распределения случайной величины
X и построить ее график.
2) Найти функцию плотности распределения случайной величины
X и по- строить ее график.
3) Найти математическое ожидание
( )
M X , дисперсию ( )
D X и среднеквадра- тическое отклонения
X
 случай ной величины X .
4) Найти (
3)
P X 
; (
3)
P X 
; (
3)
P X 
; (3 5)
P
X

 .
5) Найти (
3|
5)
P X
X

 .
Решение. 1) Функция распределения случайной величины
X , равномерно распределенной на отрезке [ ; ]
a b , имеет вид:

14 0,
;
( )
,
;
1,
x a
x a
F x
a x b
b a
x b


 


 
 



Так как рассматриваемая случайная величина
X равномерно распределена на отрезке [2;8], то
8 2 6
b a
    , и ее функция распределения имеет вид:
0,
2;
2
( )
, 2 8;
6 1,
8.
x
x
F x
x
x


 


 




График функции распределения имеет вид:
2) Функция плотности распределения случайной величины
X равномерно распределенной на отрезке
[ ; ]
a b имеет вид:
 
0,
; ;
( )
1
,
x
a b
f x
a x b
b a



 
 
 

Так как рассматриваемая случайная величина
X равномерно распределена на отрезке [2;8], то, так как
8 2 6
b a
    , ее функция плотности распределения имеет вид:
 
0,
2;8 ;
( )
1
, 2 8.
6
x
f x
x



 
 

График функции плотности распределения имеет вид:
-0,2 0
0,2 0,4 0,6 0,8 1
1,2 0
2 4
6 8
10 12

15
3) Если случайная величина
X равномерно распределена на отрезке [ ; ]
a b , то ее числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и средне- квадратическое отклонение) можно вычислить по формулам:
2
(
)
;
;
2 12 2 3
X
a b
b a
b a
MX
DX
DX








Так как рассматриваемая случайная величина
X равномерно распределена на отрезке [2;8], то:
2 2 8
(8 2)
5;
3;
3.
2 12
X
MX
DX
DX









4) Так как
X непрерывная случайная величина, то (
3) 0
P X 
 .
Так как функция распределения ( )
(
)
F x
P X
x

 , а (
)
( )
( )
P c X d
F d
F c




, то:
3 2 1
(
3)
(3)
6 6
P X
F

 

 ;
1 5
(
3) 1
(
3) 1 6 6
P X
P X
  
    ;
5 2 3 2 2 1
(3 5)
(5)
(3)
6 6
6 3
P
X
F
F



 



  .
5) (
3|
5)
P X
X

  это условная вероятность.
Известно, что условная вероятность вычисляется по формуле
(
)
( )
( )
A
P AB
P B
P A

, а значит
(3 5)
(
3|
5)
(
5)
P
X
P X
X
P X



 

Поскольку
5 2 1
(
5)
(5)
6 2
P X
F

 

 , то
1 1 2
(
3|
5)
:
3 2 3
P X
X

 
 .
Пример 1.2.1.2. Заданы два вещественных числа a и b , причем b a
 . Плот- ность распределения непрерывной случайной величины
X равна
0,
( ; );
( )
,
x
a b
f x
с a x b


 
 

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18
-4
-2 0
2 4
6 8
10 12

16
Найти неизвестный параметр с . Найти математическое ожидание и средне- квадратическое отклонение случайной величины
X . Записать функцию рас- пределения случайной величины
X .
Решение. По виду плотности распределения случайной величины
X можно сделать вывод, что она имеет равномерное распределение на интервале
 
;
a b .
Тогда:
2 1
(
)
;
;
;
2 12 2 3
X
a b
b a
b a
c
MX
DX
DX
b a










Функция распределения случайной величины, равномерно распределенной на интервале
 
;
a b , имеет вид:
0,
;
( )
,
;
1,
x a
x a
F x
a x b
b a
x b


 


 
 



Пример 1.2.1.3. При измерении большого земельного участка его длина округ- ляется до ближайшего целого числа метров.
1) Найти вероятность того, что возникающая при этом ошибка округления:
а) не превысит 20 см; б) будет лежать в пределах от 30 до 60 см.
2) Найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение ошибки округления.
Замечание. Под ошибкой округления понимается модуль разности точного и ок- ругленного значений.
Решение. Пусть случайная величина
X – ошибка округления в сантиметрах.
Такая случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке от своего минимального до своего максимального значения. Та как округлениепроизводится в ближайшую сторону, то значение
X лежит в пределах от 0 до 50 см. Поэтому случайная величина
X равномерно распределена на отрезке [0;50].
1) Для нахождения необходимых вероятностей можно воспользоваться фор- мулой вероятности попадания равномерно распределенной случайной величины на заданный промежуток
(
)
( )
( )
P c X d
F d
F c




. Эта формула отражает смысл так называемой геометрической вероятности. Если случайная величина
X равномерно распределена на отрезке [ ; ]
a b , то
(( ; ) ( ; ))
(
( ; ))
,
a b
c d
P X
c d
b a





где (( ; ) ( ; ))
a b
c d


- длина интервала ( ; ) ( ; )
a b
c d

, значение которой зависит от взаимного расположения интервалов ( ; )
a b и ( ; )
c d . Заметим также, что, так как равномерно распределенная случайная величина является непрерывной, то вид данной формулы совершенно не зависит от того, включать или не включать в про-

17 межутки ( ; )
a b и ( ; )
c d их концы. Найдем искомые вероятности с помощью при- веденной формулы, в которой
0;
50
a
b


: