Задачи тв. Типовые задачи часть 4. Содержание раздел первый. Основные законы распределения случайных величин
 Скачать 1.51 Mb.
|
|
Задачи для самостоятельного решения 1. Дан закон распределения случайной величины X : i x -3 -1 0 2 4 5 i p 0,3 0,2 0,1 0,25 0,05 0,1 Построить закон распределения случайной величины min ;3 Y X 2. Дан совместный закон распределения системы двух дискретных случайных величин , X Y . Построить закон распределения случайной величины 2 Z X Y . 41 Y X 1 2 3 2 0,3 0 0,25 4 0,15 0,15 0,15 3. Дан совместный закон распределения системы двух дискретных случайных величин , X Y Y X 0 1 2 1 0,2 0 0,1 2 0,3 0,1 0,05 4 0 0,15 0,1 1) Построить законы распределения, найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайных величин X и Y . 2) Построить закон распределения случайной величины max( ; ) Z X Y 4. Дан совместный закон распределения системы двух дискретных случайных величин , X Y : X Y 0 2 4 1 0,2 0,1 0 2 0 0,1 0,1 5 0,1 0,3 0,1 1) Построить условный закон распределения случайной величины Y , при условии, что случайная величина X приняла значение 1. 2) Найти условное математическое ожидание 2 M Y X и условную дис- персию 2 D Y X 5. Два стрелка независимо стреляют по мишени по одному разу. Первый стре- лок попадает с вероятностью 0,8, второй стрелок попадает с вероятностью 0,6. Рассматриваются две случайные величины: X – количество попаданий из дан- ных двух выстрелов; 1, ; 0, если первый стрелок попал Y если первый стрелок промахнулся Построить совместный закон распределения системы случайных величин , X Y . 42 3.2. Независимость дискретных случайных величин Пример 3.2.1. Определить, являются ли указанные ниже пары случайных вели- чин зависимыми или независимыми, если: 1) Дан совместный закон распределения системы случайных величин , X Y . X Y 0 1 2 1 0,3 0,18 0,12 2 0,2 0,12 0,08 2) Дан совместный закон распределения системы случайных величин , Z T . T Z 0 1 2 1 0,3 0,18 0,22 2 0,1 0,12 0,08 Решение. 1) Случайные величины X и Y независимы в том и только в том случае, если для любой пары ( , ) i j x y возможных значений этих случайных величин выполняется равенство: ( ; ) ( ) ( ). j j i i P X x Y y P X x P Y y Это равенство для всех шести пар возможных значений случайных вели- чин X и Y можно проверить, используя совместный ряд распределения систе- мы , X Y и ряды распределений случайных величин X и Y которые получим, складывая вероятности в совместном ряде распределений системы случайных величин , X Y по строкам и столбцам соответственно: i x 0 1 2 i p 0,5 0,3 0,2 i y 1 2 i p 0,6 0,4 Проверка показывает, что данное равенство выполняется для всех шести пар возможных значений, например: ( 0; 1) 0,3; ( 0) ( 1) 0,5 0,6 0,3; ( 0; 2) 0,2; ( 0) ( 2) 0,5 0,4 0,2; P X Y P X P Y P X Y P X P Y ( 1; 1) 0,18; ( 1) ( 1) 0,3 0,6 0,18; ( 1; 2) 0,12; ( 1) ( 2) 0,3 0,4 0,12; P X Y P X P Y P X Y P X P Y ( 2; 1) 0,12; ( 2) ( 1) 0,2 0,6 0,12; ( 2; 2) 0,08; ( 2) ( 2) 0,2 0,4 0,08. P X Y P X P Y P X Y P X P Y 43 Таким образом, случайные величины X и Y независимы. 2) Теперь, построив законы распределения случайных величин Z и T , проверим равенства ( ; ) ( ) ( ) j j i i P T t Z z P T t P Z z для всех возможных значений , i i t z . i t 0 1 2 i p 0,4 0,3 0,3 i z 1 2 i p 0,7 0,3 Если это равенство не выполняется хотя бы для одной пары возможных значений случайных величин, то эти случайные величины зависимы. Заметим, что ( 0; 1) 0,3 P T Z , однако ( 0) ( 1) 0,4 0,7 0,28 P T P Z , поэтому слу- чайные величины Z и T являются зависимыми. Пример 3.2.2. Даны законы распределения независимых случайных величин X и Y соответственно: i x 0 1 3 i p 0,4 0,3 0,3 i y 1 2 3 i p 0,6 0,25 0,15 Построить закон распределения и найти математическое ожидание слу- чайной величины Z X Y . Проверить равенство [ ] M X Y MX MY Решение. Чтобы построить ряд распределения случайной величины Z X Y , найдем, какие значения может принять сумма двух случайных вели- чин X и Y . Для этого составим таблицу, где на пересечении строк и столбцов запишем число, равное сумме соответствующих значений случайных величин X и Y : Y X 1 2 3 0 1 2 3 1 2 3 4 3 4 5 6 Чтобы найти вероятности, входящие в закон распределения случайной ве- личины Z , воспользуемся теоремой сложения вероятностей для несовместных событий и теоремой умножения вероятностей для независимых событий. Най- 44 дем, например, вероятность ( 2) P Z . Заметим, что значение суммы 2 X Y может быть получено двумя способами: ( 0, 2) X Y и ( 1, 1) X Y . Так как случайные величины X и Y независимы, то вероятности этих событий могут быть получены как произведения соответствующих вероятностей: ( 0, 2) ( 0) ( 2) 0,4 0,25 0,1; ( 1, 1) ( 1) ( 1) 0,3 0,6 0,18. P X Y P X P Y P X Y P X P Y Тогда ( 2) ( 2) 0,1 0,18 0,28. P Z P X Y Аналогично вычислим и вероятности всех других возможных значений случайной величины Z : ( 1) 0,4 0,6 0,24; ( 2) 0,4 0,25 0,3 0,6 0,1 0,18 0,28; ( 3) 0,4 0,15 0,3 0,25 0,06 0,075 0,135; ( 4) 0,3 0,6 0,3 0,15 0,18 0,045 0,225; ( 5) 0,3 0,25 0,075; ( 6) 0,3 0,15 0,045. P Z P Z P Z P Z P Z P Z Закон распределения случайной величины Z X Y имеет вид: i z 1 2 3 4 5 6 i p 0,24 0,28 0,135 0,225 0,075 0,045 Теперь, зная закон распределения, можно найти математическое ожида- ние случайной величины Z : [ ] i i MZ M X Y z p 1 0,24 2 0,28 3 0,135 4 0,225 5 0,075 6 0,045 2,75. Равенство [ ] M X Y MX MY верно для любых (а не только для неза- висимых) случайных величин. Чтобы проверить его в данном случае, найдем математические ожидания случайных величин X и Y : 0 0,4 1 0,3 3 0,3 1,2; i i MX x p 1 0,6 2 0,25 3 0,15 1,55 i i MY y p В результате получаем, что 1,2 1,55 2,75 MX MY , а значит равенст- во [ ] M X Y MX MY выполняется. Пример 3.2.3. Даны ряды распределения независимых случайных величин X и Y соответственно: i x 0 1 3 i p 0,4 0,3 0,3 45 i y 1 2 3 i p 0,6 0,25 0,15 1) Построить совместный ряд распределения системы случайных величин , X Y . 2) Построить закон распределения и найти математическое ожидание случайной величины Z X Y . Решение. Так как случайные величины X и Y независимы, то вероят- ность любого значения системы случайных величин , X Y равна произведе- нию вероятностей соответствующих значений каждой составляющей: ( ; ) ( ) ( ). j j i i P X x Y y P X x P Y y Например: ( 0; 1) ( 0) ( 1) 0,4 0,6 0,24. P X Y P X P Y Перемно- жая вероятности, соответствующие всем возможным парам значений случай- ных величин X и Y , получим совместный закон распределения системы слу- чайных величин , X Y : Y X 0 1 3 0 0,24 0,18 0,18 1 0,3 0,075 0,075 3 0,06 0,045 0,045 Чтобы построить ряд распределения случайной величины Z X Y , найдем, какие значения может принять произведение двух случайных величин X и Y . Для этого составим таблицу, где на пересечении строк и столбцов запишем число, рав- ное произведению соответствующих значений случайных величин X и Y : Y X 0 1 3 0 0 0 0 1 0 1 3 3 0 3 9 Для получения соответствующих вероятностей достаточно сложить веро- ятности в соответствующих ячейках таблицы закона распределения двумерной случайной величины , X Y , так как: ( 0) ( 0, 0) ( 1, 0) P Z P X Y P X Y ( 3, 0) ( 0, 1) ( 0, 3) P X Y P X Y P X Y и т.д. Таким образом: ( 0) 0,24 0,18 0,18 0,1 0,06 0,76; P Z ( 1) 0,075; P Z 46 ( 3) 0,075 0,045 0,12; P Z ( 9) 0,045. P Z Закон распределения случайной величины Z имеет вид: i z 0 1 3 9 i p 0,76 0,075 0,12 0,045 Теперь найдем математическое ожидание случайной величины Z : 0 0,76 1 0,075 3 0,12 9 0,045 0,84. MZ Пример 3.2.4. Дан совместный закон распределения системы двух дискретных случайных величин , X Y . Y X 0 1 2 0 0,1 0,2 0,4 1 0,2 0,05 0,05 Найти корреляционный момент (коэффициент ковариации) и коэффици- ент корреляции случайных величин X и Y . Указать смысл найденного значе- ния коэффициента корреляции. Решение. Корреляционный момент и коэффициент корреляции случай- ных величин X и Y определяются по формулам соответственно: [ ] ; XY XY XY X Y K K M X Y MX MY r Во-первых, построим законы распределения случайных величин Z XY , X и Y : i z 0 1 2 i p 0,9 0,05 0,05 i x 0 1 2 i p 0,3 0,25 0,45 i y 0 1 i p 0,7 0,3 Во-вторых, найдем все числовые характеристики, входящие в формулы для вычисления корреляционного момента и коэффициента корреляции: [ ] 0 0,9 1 0,05 2 0,05 0,15; M XY 0 0,3 1 0,25 2 0,45 1,15; MX 0 0,7 1 0,3 0,3; MY 47 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 0,3 1 0,25 2 0,45 1,15 0,7275; DX MX MX 0,7275 0,85; X 2 2 2 2 2 ( ) 0 0,7 1 0,3 0,3 0,21; DY MY MY 0,21 0,46. Y Теперь найдем корреляционный момент: [ ] 0,15 1,15 0,3 0,195. XY K M XY MX MY Коэффициент корреляции случайных величин X и Y : 0,195 0,5. 0,85 0,46 XY XY X Y K r Значение найденного коэффициента корреляции отрицательно, поэтому случайные величины имеют отрицательную взаимосвязь: при увеличении зна- чения случайной величины X значение случайной величины Y имеет тенден- цию к уменьшению. Проанализировав совместный ряд распределений случай- ных величин X и Y , можно убедиться, что это действительно так. Модуль ве- личины XY r показывает степень тесноты линейной зависимости, и, следова- тельно, случайные величины X и Y имеют среднюю степень тесноты отрица- тельной линейной зависимости. Задачи для самостоятельного решения 1. Дан совместный закон распределения системы двух дискретных случайных величин , X Y . Y X 0 1 2 1 0,02 0,04 0,04 2 0,2 0,2 0,2 3 0,08 0,16 0,16 Определить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми или незави- симыми. 2. Даны законы распределения независимых случайных величин X и Y соот- ветственно: i x 0 1 2 4 i p 0,4 0,3 0,1 0,2 i y 0 1 i p 0,6 0,4 48 1) Построить ряд распределения случайной величины Z X Y . 2) Найти MZ и DZ по определению и с использованием свойств математи- ческого ожидания и дисперсии. 3. Даны законы распределения независимых случайных величин X и Y соот- ветственно: i x 0 1 2 4 i p 0,4 0,3 0,1 0,2 i y 0 1 i p 0,6 0,4 1) Построить совместный закон распределения системы случайных вели- чин , X Y 2) Построить ряд распределений и найти математическое ожидание слу- чайной величины Z X Y . 4. Бросается 2 монеты: рубль и пятак. Рассматриваются 2 случайные величины: 0, , 1, ; если на рубле орел X если на рубле решка Y - количество орлов, выпавшее на этих двух монетах. Найти корреляционный момент (коэффициент ковариации) и коэффициент корреляции случайных ве- личин X и Y . Указать смысл найденного значения коэффициента корреляции. |