Механика Лабораторная работа №1 (1). Механика и молекулярная физика
 Скачать 0.63 Mb.
|
|
2 МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.Г. Сизов, Ю.В Беховых МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА Лабораторный практикум ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Лабораторная работа № 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Барнаул Издательство АГАУ 2011 3 ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Физика – наука экспериментальная. Любое физическое исследо- вание начинается с накопления опытных данных посредством измере- ния физических величин, связанных между собой определенными ко- личественными соотношениями – законами. Физические величины подразделяются на основные и производ- ные. Основные величины независимы друг от друга и используются для установления связей с другими физическими величинами, которые называют производными. Основным величинам соответствуют основ- ные единицы измерений, а производным – производные. Совокупность основных и производных единиц представляет собой систему единиц физических величин. В мировой практике наиболее широко распространена Между- народная система единиц (СИ – система интернациональная). В дан- ную систему входят семь основных единиц, две дополнительных и ряд производных единиц физических величин. Основными единицами из- мерений являются: метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела, а дополнительными– радиан и стерадиан. Остальные едини- цы измерений времени, механических, электрических, магнитных, те- пловых, световых, акустических и других величин являются произ- водными. Вместе с единицами международной системы применяются и внесистемные единицы, например, сутки, литр, тонна, гектар и др. Измерение – это процесс нахождения значения физической ве- личины опытным путем с помощью специальных технических средств. Измерить – это значит определить, во сколько раз измеряемая физическая величина больше или меньше однородной ей физической величины, принятой за единицу (эталон). Измерения классифицируются на прямые и косвенные. Прямы- ми измерениями называют такие, при которых искомое значение вели- чины находят непосредственно из опытных данных (например, изме- рение длины линейкой, определение массы на весах, температуры – термометром и т.д.). Косвенными измерениями называют измерения, при которых искомую величину определяют расчетным путем, ис- пользуя формулу зависимости ее от других величин, получаемых в ходе прямых измерений (например, определение плотности тела по его массе и геометрическим размерам и т.д.). 4 Средства и методы измерений Для измерения физических величин используются различные технические средства, называемые средствами измерений (измери- тельными приборами). Каждый измерительный прибор характеризует- ся пределом (максимальной величиной измерения) и ценой деления (отношением предельного значения к полному числу делений шкалы). Совокупность правил, определяющих принципы и средства из- мерения, называется методом измерения. На практике широкое рас- пространение получили методы: 1) непосредственной оценки; 2) дифференциальный; 3) нулевой. Метод непосредственной оценки реализуется при прямых изме- рениях. В дифференциальном методе на измерительный прибор воздей- ствует разность измеряемой и базовой (значение которой известно) величин. При использовании этого метода необходимо иметь базовую величину, значение которой близко к измеряемой величине и опреде- лено с высокой точностью. В нулевом методе измеряемую величину сравнивают с величи- ной, значение которой известно, но разность между ними сводится к нулю путем изменения известной величины. Примером нулевого ме- тода может служить измерение массы тела на рычажных весах. Этот метод обеспечивает высокую точность измерений. Погрешности измерений и их классификация Ни одно измерение не может быть выполнено абсолютно точно. Вследствие ряда причин (несовершенство измерительных приборов, наших органов восприятия и других факторов) все измерения можно производить только с известной степенью точности, поэтому резуль- таты измерений дают нам не истинное значение измеряемой величи- ны, а лишь приближенное, называемое действительным. Отклонение результата измерения x от истинного значения из- меряемой величины ист x называется абсолютной погрешностью из- мерения x : ист x x x . (1) Из формулы (1) следует, что абсолютная погрешность измеряет- 5 ся в тех же единицах, что и измеряемая величина и указывает в каких пределах заключено истинное значение ист x этой величины, то есть: ист x x x x x или ист x x x . (2) В большинстве случаев для указания точности измерений удоб- нее пользоваться понятием относительной погрешности, которая пока- зывает, какую долю измеряемой величины составляет абсолютная по- грешность: x E x . (3) Относительной погрешностью называется отношение абсолют- ной погрешности к результату измерения. Относительную погрешность обычно выражают в процентах: 100% x E x . (4) Погрешности классифицируются на систематические, случай- ные и грубые (промахи). 1. Грубые погрешности возникают в результате невнимательной работы экспериментатора или плохих условий наблюдения. Результа- ты, содержащие грубую погрешность, резко отличаются от остальных, и их не принимают во внимание. 2. Систематической погрешностью называется составляющая погрешности измерения, которая остается постоянной или закономер- но изменяется при повторных измерениях одной и той же величины. Такие погрешности возникают, например, из-за инструментальной по- грешности прибора (указывается на нем или в паспорте) или метода измерения (взвешивание тела без учета выталкивающей силы Архи- меда). Систематические погрешности имеют определенное значение и знак, они могут быть устранены путем внесения поправки, то есть ве- личины, прибавляемой к полученному при измерении значению. 3. Случайная погрешность – это составляющая погрешности, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Она вызвана разными причинами: несовершенст- вом измерительных приборов, органов восприятия человека, методов измерений и других воздействий, причины которых остаются неиз- вестными человеку. Случайные погрешности устранить нельзя, однако их можно учесть при представлении результата. 6 Целью вычисления погрешностей измерения является оценка точности результата, то есть степени его приближения к истинному значению определяемой величины. Результаты с неизвестной точно- стью практической ценности не представляют и в ряде случаев могут служить источником антинаучных знаний. Оценка случайных погрешностей при прямых измерениях Если исключить систематические и грубые погрешности, то да- же при использовании средств измерения повышенной точности на результаты измерений будут оказывать влияние различные случайные факторы, не поддающиеся учету и контролю. Оценка возникающих при этом случайных погрешностей осуществляется с помощью зако- нов математической статистики. При оперировании результатами прямых измерений, не тре- бующих высокой точности, достаточно рассчитать абсолютную и от- носительную погрешности методом среднего арифметического: 1. Найти среднее арифметическое значение измеряемой величи- ны из n измерений по формуле: 1 1 2 n i i n ср x x x x x n n 2. Определить абсолютную погрешность каждого измерения: 1 1 ср x x x , 2 2 ср x x x , …………… n ср n x x x 3. Найти среднюю абсолютную погрешность по формуле: 1 1 2 n i i n ср x x x x x n n 4. Найти среднюю относительную погрешность: 100% ср ср x E x 5. Конечный результат представить в виде: 7 ( ) ср ср x x x ; ... % E В случае однократных измерений, а также когда повторные из- мерения дают одно и то же значение измеряемой величины, погреш- ность измерений принимается равной инструментальной (приборной) погрешности. Инструментальная погрешность указывается в его паспорте или на шкале. На шкалах многих измерительных приборов указывается класс точности. Его условным обозначением является цифра, обведен- ная кружком. Класс точности определяет абсолютную приборную по- грешность в процентах от предела измерения. Если прибор не имеет паспорта или на нем не указан класс точности, то в качестве прибор- ной погрешности принимают половину наименьшей цены деления шкалы прибора. Если рассчитанная абсолютная погрешность получается меньше приборной, то в качестве абсолютной погрешности измерений прини- мают приборную погрешность. Оценка случайных погрешностей при косвенных измерениях Если измеряемая косвенным методом величина y связана с ве- личинами, определяемыми прямыми измерениями 1 x , 2 x ,…, n x функ- циональной зависимостью 1 2 ( , ,..., ) n y f x x x , то для определения по- грешностей при таких измерениях можно воспользоваться дифферен- циальным методом. В основе этого метода лежит свойство натурального логарифма: ln dy d y y . (5) Полный дифференциал логарифма функции 1 2 ( , ,..., ) n y f x x x определяется выражением: 1 2 1 2 1 2 1 2 (ln ( , ,..., ) n n n n dx dx dx d f x x x k k k x x x , (6) где 1 k , 2 k , …, n k – показатели степени аргументов 1 x , 2 x , …, n x . Отсюда следует: 1 2 1 2 1 2 n n n dx dx dx dy k k k y x x x . (7) 8 Из курса математического анализа известно, что дифференциал независимой переменной x равен ее приращению, то есть dx x , и если приращение аргумента достаточно мало для функции, то диффе- ренциал функции приблизительно равен ее приращению, то есть dy y . С учетом этого, а также выражений (5) и (7) получаем: 1 2 1 2 1 2 n n n x x x y E k k k y x x x Если в результате логарифмирования и дифференцирования в выражении появились знаки «-», то с целью нахождения максималь- ной относительной погрешности их необходимо заменить на «+». Таким образом, чтобы воспользоваться данным методом, необ- ходимо: а) прологарифмировать исходную функцию; б) продифференцировать полученное выражение логарифма; в) заменить все знаки дифференциала d на приращения ; г) заменить все минусы, полученные при логарифмировании и дифференцировании, на плюсы; д) рассчитать относительную погрешность косвенного измере- ния, используя полученную формулу, подставив в нее значения вели- чин, полученных при прямых измерениях, и их абсолютные погреш- ности; е) рассчитать абсолютную погрешность по формуле: изм y E y ; ж) окончательный результат записать в виде: ( ) изм y y y ; ... % E Пример. Определим погрешности косвенного измерения плот- ности конуса по его массе m и линейным размерам, то есть по высоте h и диаметру основания D , используя выражение: 2 12 m D h : а) ln ln12 ln ln 2 ln ln m D h ; б) 2 d dm dD dh m D h ; в) 2 m D h m D h ; 9 г) 2 m D h E m D h , где m , D , h – средние абсолютные погрешности при прямых из- мерениях; m , d , h – средние значения этих величин. Абсолютную погрешность определим по формуле: ср ср E Конечный результат представим в виде: 3 ( )кг/м ср ср ; ... % E Более точно рассчитать случайные погрешности позволяют ме- тоды математической статистики. Математическая обработка результатов измерений Ошибка результата определяется не только неточностями изме- рений, но и неточностями вычислений. Вычисления необходимо про- водить так, чтобы их ошибка была на порядок меньше ошибки резуль- тата измерений. Для этого необходимо вспомнить правила математи- ческих действий с приближенными числами. Значащими называются все цифры кроме нуля, стоящего слева от чисел. Нуль, стоящий между значащими цифрами или справа от них, также значащая цифра. Примеры: 1) 0,0105. Два нуля слева – не значащие цифры. Всего число имеет три значащих цифры, в том числе и нуль, стоящий между зна- чащими цифрами 1 и 5; 2) 5000. Нули справа – значащие. Всего число имеет четыре зна- чащих цифры (нули получились не в результате округления, а при из- мерении); 3) 5∙10 3 . Число имеет одну значащую цифру, то есть при измере- ниях учитывались только тысячи. Точность числа 5∙10 3 в тысячу раз меньше 5000. Правила округления чисел Если не все числа заканчиваются на одном и том же разряде, то для упрощения действий до их выполнения следует произвести округ- ления до разряда на единицу меньшего, чем разряд наименее точного 10 числа по правилам 1, 2 и 3. Пример. (23, 2 0, 442 7, 247) 1,836 (23, 2 0, 44 7, 25) 1,84 2, 412 2, 41 Правило 1. Округление достигается простым отбрасыванием цифр, если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5. Пример. 0,234 ≈ 0,23. Правило 2. Если первая из отбрасываемых цифр больше, чем 5, то последняя цифра увеличивается на 1. Последняя цифра увеличива- ется также и в том случае, когда первая из отбрасываемых цифр 5, а за ней есть одна или несколько цифр, отличных от нуля. Пример. 35,856 ≈ 35,9. Правило 3. Если отбрасываемая цифра равна 5, а за ней нет зна- чащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число. Последняя сохраняемая цифра оставляется неизменной, если она чет- ная, и увеличивается на единицу, если она нечетная. Пример. 0,0465 ≈ 0,046; 0,935 ≈ 0,94. При выполнении математических операций также возникает не- обходимость округления чисел, которое проводится в соответствии с правилами. 1. При сложении и вычитании приближенных чисел следует со- хранить столько десятичных знаков, сколько их в приближенном дан- ном с наименьшим числом десятичных знаков: Пример. 23,2 + 0,442 + 7,247 ≈ 23,2 + 0,44 + 7,25 ≈ 30,9. 2. При умножении и делении приближенных чисел произведе- ние или частное будет иметь столько значащих цифр, сколько их име- ет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр: Пример. 30,9 1,8364 30,9 1,84 56,856 56,9 ; 56,9 : 2, 412 56,9 : 2, 41 23, 609 23, 6 3. При возведении в степень в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число: Пример. 2 (11,38) 129,5044 129,5 4. При извлечении корня сохраняется столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное выражение: Пример. 3 5,12 1, 723 1, 72 5. При нахождении логарифма из таблиц следует брать столько знаков, сколько значащих цифр содержит данное число: Пример. lg 77,23 1,8878 1,888 11 Число значащих цифр окончательного результата определяется порядком величины абсолютной погрешности. Таким образом, резуль- тат округляют до того разряда, в котором находится значащая цифра абсолютной ошибки. Пример. 2, 628 мм x , 0, 6 мм x , (2, 6 0, 6) мм x Правила построения графиков Во многих случаях оказывается удобным графически изобра- жать зависимость между изучаемыми величинами. При этом необхо- димо руководствоваться следующими правилами. 1. При построении графика значения независимой переменной откладываются по горизонтальной оси (оси абсцисс), а значения функции – по вертикальной оси (оси ординат). В качестве независи- мой переменной или функции может выступать как сама функция, так и какая-либо ее степень или комбинация нескольких физических вели- чин. Величины, откладываемые по осям, должны указываться вместе со своими единицами измерений. 2. Исходя из пределов изменения независимой переменной и функции, необходимо выбрать независимые друг от друга масштабы по осям. График должен располагаться в центре координатной плоско- сти или четверти. 3. Для упрощения построения графика удобно на основании из- мерений составить таблицу, в которой каждому значению независи- мой переменной соответствует значение функции. 4. Экспериментальные точки наносятся на график с учетом по- грешностей. Числовые значения экспериментальных точек и погреш- ностей на графике не наносятся. Вспомогательные линии для построе- ния графика, например, штрихованные, проводить нельзя, так как они ухудшают наглядность графика. 5. При построении графика следует разумно выбирать масштабы по осям так, чтобы экспериментальные точки располагались по всей координатной плоскости. Для этого, при необходимости, допускается смещение нуля по одной или обеим осям. 6. После построения экспериментальных точек проводится плавная кривая так, чтобы, по возможности, она проходила внутри интервалов погрешности. Следует заранее задуматься о виде кривой (прямая, гипербола, парабола и т.д.) исходя из известных теоретиче- 12 ских представлений (формул). Если какая-либо точка находится в стороне от проведенного графика, то на нее следует обратить особое внимание, возможно при данном измерении была допущена ошибка. Если это не так, то в рай- оне этой точки искомая зависимость имеет резко выраженную особен- ность. Такие особенности представляют наибольший интерес. Поэто- му необходимо внимательно промерить область вблизи этой точки. Пример. Построим график зависимости ускорения тела от силы, действующей на него (рис.). В результате эксперимента получены следующие значения силы и ускорения с соответствующими погрешностями: № опыта F, Н Δ F, Н а, м/с 2 Δа, м/с 2 1 0,11 0,02 0,19 0,07 2 0,21 0,03 0,39 0,06 3 0,44 0,03 0,75 0,08 4 0,64 0,04 1,28 0,07 5 0,84 0,02 1,63 0,08 1. Нарисуем координатную плоскость. 2. Выберем масштаб таким образом, чтобы максимальное зна- чение силы было равно 0,9 Н, а максимальное значение ускорения 1,7 м/с 2 3. Обозначим координатные оси. 4. Нанесем экспериментальные точки с соответствующими по- грешностями. 5. Проведем экспериментальную кривую так, чтобы она не вы- ходила за пределы погрешностей. Рис. График зависимости а = f (F) 13 Лабораторная работа № 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Цель работы: ознакомиться с устройством, принципом дейст- вия штангенциркуля, микрометра и технических весов; определить с их помощью плотность твердого тела правильной геометрической формы. Оборудование: весы технические, набор гирь, штангенциркуль, микрометр, твердое тело правильной геометрической формы. Основные теоретические сведения Плотность тела в данной точке равна пределу отношения массы m элемента тела, выбранного в окрестности данной точки, к его объему V при неограниченном уменьшении V : 0 lim V m V Средней плотностью тела называется величина ср , равная от- ношению массы тела m к его объему V : ср m V Если тело однородно, то: ср m V Физический смысл: плотность показывает, чему равна масса ве- щества в единице объема. Единица измерения плотности тела в СИ: 3 3 1кг кг 1 1м м (ки- лограмм на метр кубический). Обоснование метода Для определения плотности твердого тела воспользуемся фор- мулой: m V . (1) 14 Массу тела можно измерить непосредственно с помощью техни- ческих весов. Для определения объема часто используют измеритель- ные цилиндры (мензурки). Если тело правильной геометрической формы, то объем легко рассчитать по формулам (прил.), например, для конуса: 2 1 3 к V R h , (2) где 3,14 – математическая постоянная; R – радиус основания; h – высота конуса. Так как удобнее измерить диаметр основания, а не радиус, учи- тывая, что 2 D R , получаем: 2 1 12 к V D h . (3) После подстановки (3) в (1) имеем: 2 12 m D h Таким образом, измерив массу, диаметр основания и высоту ко- нуса, определим его плотность. Описание средств измерений Технические весы (рис. 1) – высокочувстви- тельный точный прибор. Нормальная работа весов осуществляется при верти- кальном положении основ- ной стойки 1. Для этого на ней укреплен отвес 2, а две передние ножки основания снабжены уравнительными винтами 3. Технические весы имеют специальное устрой- ство – арретир 4, позволяющий лишь на время измерения поднимать опорную пластину с коромыслом 5 и чашками 6. Во время хранения весы должны быть арретированы. Поворачивать ручку арретира сле- дует плавно, не допуская резких колебаний коромысла и чашек. Рис. 1. Весы технические 15 Для измерения массы на одну чашку уравновешенных весов по- мещают исследуемое тело, а на другую – гири с разновесками 7 до тех пор, пока стрелка 8 не станет, как можно более точно, указывать на центральную риску шкалы 9. Искомая масса тела получается равной суммарной массе всех гирь и разновесок, помещенных на другую чашку весов. Рис. 2. Штангенциркуль Штангенциркуль (рис. 2) – универсальный инструмент, предна- значенный для высокоточных измерений наружных и внутренних раз- меров, а также глубин отверстий. Основой прибора является штанга 1 со шкалой 2, по которой перемещается подвижная рамка 3 с нониусом 4 для отсчета долей делений. Штанга и рамка снабжены губками для внутренних и наружных измерений (5 и 6 соответственно), а также линейкой глубинометра 7. Для зажима рамки используется винт 8. Точность измерения штангенциркулем – десятые (у некоторых видов сотые) доли миллиметра. При отсчете показаний пользуются следующим прави- лом. Ближайшее слева деление основной шкалы штангенциркуля к нулевому штриху нониуса дает целое число миллиметров, содер- жащихся в измеряемой длине, а деление нониуса, совпавшее с ка- ким-нибудь делением основной шкалы, дает десятые доли миллиметра (рис. 3). Для более точных измерений применяют микрометр (рис. 4). Рис. 3. Шкала штангенциркуля 16 Рис. 4. Микрометр Он состоит из стальной скобы 1, имеющей слева непод- вижный упор (пятку) 2, а справа стебель 3, в кото- ром вращается микро- метрический винт 4. Винт скреплен с бараба- ном 5, имеющим деле- ния. Поворот барабана на одно деление приво- дит к смещению винта на 0,01 мм. Измеряемую деталь помещают ме- жду неподвижным упором и микрометрическим винтом, который ос- торожно подводят до соприкосновения при помощи трещетки 6, обес- печивающей постоянство нажима. Целые миллиметры отсчитывают по числу открытых барабаном делений на неподвижной шкале стебля, а сотые доли миллиметра по делению шкалы барабана, совпавшему с центральной линией масштаба на стебле (рис. 5). Горизонтальная шкала стебля имеет цену деления 0,5 мм. Эта шкала нанесена на обе стороны продольной черты таким образом, что верхняя сдвинута от- носительно нижней на половину деления. Порядок выполнения работы 1. Для измеряемого тела из определения плотности и формулы для объема (прил. 6) получите расчетную формулу. 2. В соответствии с ней составьте таблицу для записи результа- тов измерений, заменив столбец с многоточием столбцами для записи линейных размеров образца и их абсолютных погрешностей. Рис. 5. Шкала микрометра 17 № п/п ,кг m , кг m 3 кг , м 3 кг , м , % E 1 2 3 Среднее 3. Произведите не менее трех измерений линейных величин и массы тела. Результаты занести в таблицу. Обработка результатов измерений 1. Для каждой измеряемой величины вычислите среднее значе- ние и абсолютную погрешность (смотрите расчет погрешностей при прямых измерениях). 2. По расчетной формуле определите плотность образца и ее среднее значение. 3. Для каждого опыта рассчитайте относительную и абсолют- ную погрешности косвенного измерения плотности (смотрите расчет погрешностей при косвенных измерениях). 4. Результат запишите в виде: 3 кг ( ) м ср ср , ... % E 5. По справочнику (прил. 1) и полученному значению плотно- сти определите, из какого материала изготовлено исследуемое тело. 6. Сделайте вывод по проделанной работе. Контрольные вопросы 1. Сформулируйте определение плотности твердого тела. 2. Сформулируйте физический смысл плотности. 3. Переведите полученное вами значение плотности из 3 кг м в 3 г см 4. Что понимают под измерением? Какие бывают виды измерений? 5. Что понимают под абсолютной и относительной погрешностями? 6. Какие бывают типы погрешностей? 18 7. Как рассчитываются погрешности при прямых измерениях? 8. Как рассчитываются погрешности при косвенных измерениях? Приложение 1. Плотность некоторых твердых тел при 20 о C, кг/м 3 Металлы и их сплавы Алюминий 2700 Платина 21450 Дюралюминий 2600-2900 Сталь 7600-7900 Железо 7900 Серебро 10500 Золото 19320 Свинец 11350 Латунь 8200-8800 Цинк 7140 Медь 8960 Чугун белый 7600-7800 Неметаллы Алмаз 3515 Стекло оконное 2400-2700 Винипласт 1350-1400 Текстолит 1300-1400 Гранит 2500-3000 Пробка 220-260 Мрамор 2600-2800 Фторопласт 2100-2300 Оргстекло 1180 Эбонит 1100-1200 Дерево сухое Береза 500 Клен 550 Бук 530 Липа 400 Дуб 550 Лиственница 520 Ель 360 Осина 400 Кедр 350 Сосна 400 |