тервер. Занятие Условная вероятность. Независимость 1

Название	Занятие Условная вероятность. Независимость 1
Анкор	тервер
Дата	03.11.2019
Размер	164.39 Kb.
Формат файла
Имя файла	sem_4_PM2019.pdf
Тип	Документы #93177

1.10.2019; 3.10.2019
Занятие № 4. Условная вероятность. Независимость.
4.1. Читатель разыскивает книгу в трёх библиотеках. Вероятности того, что книга есть или отсутствует в фонде библиотеки, а также того, что она вы- дана или нет, одинаковы. Что вероятнее, найдёт читатель нужную книгу или не найдет?
Ответ: 0, 58.
4.2. Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей хотя бы на одной выпадет 6 очков, при условии, что на всех костях выпали грани с четным числом очков.
Ответ:
19 27
4.3. Доказать неравенство P (A|B) > 1 −
P (A)
P (B)
4.4. Доказать, что если вероятность события P (A) = 0, 9, а вероятность собы- тия B равна P (B) = 0, 8, то P (A|B) > 0, 875.
4.5. Брошено две игральных кости. Предполагается, что все комбинации вы- павших очков равновероятны. Найти условную вероятность того, что вы- пали две пятерки, если известно, что сумма выпавших очков делится на пять.
Ответ:_1_74.6.'>Ответ:
1 7
4.6. Бросаются три игральные кости. Какова вероятность того, что на одной из них выпадет единица, если на всех трех костях выпали разные грани?
Ответ:
1 2
4.7. Из 100 карточек с числами 00; 01; 02; . . . ; 98; 99 случайно выбирается од- на. Пусть X и Y соответственно сумма и произведение цифр на выбран- ной карточке. Найти условную вероятность события P (X = i|Y = 0), i =
0; 1; 2; . . . ; 18.
Ответ:
1 19
, i = 0;
2 19
, i = 1, 2, . . . , 9; 0, i = 10, . . . , 18.
4.8. Известно, что при бросании 10 игральных костей появилась по крайней мере одна единица. Какова вероятность, что появились две или более еди- ницы?
Ответ: P (A|B) = 1 − P (A|B) = 1 −
10·5 9
6 10
−5 10
≈ 0, 6147724311714088.
4.9. Восемь различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти ве- роятность, что две определенные книги окажутся на первых двух местах,
если известно, что они стоят рядом.
Ответ:
1 7
4.10. Доказать, что если P (A|B) > P (A), то P (B|A) > P (B).

4.11. Верно ли равенство P (A|B) + P (A|B) = 1?
4.12. Шесть человек садятся в лифт на первом этаже 12-этажного здания. Каж- дый из них может выйти с одинаковой вероятностью на любом этаже, на- чиная со второго. Найти вероятность того, что все выйдут на разных эта- жах при условии, что на втором и третьем этаже никто не выходил.
Ответ: 0, 113804.
4.13. Шесть пассажиров садятся на остановке в поезд, состоящий из четырех вагонов. Каждый из пассажиров может сесть с одинаковой вероятностью в любой вагон. Найти вероятность, что пассажиры сядут в один вагон при условии, что хотя бы в один вагон не сядет ни один пассажир.
Ответ: 0, 00473186.
4.14. Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет единица. Извест- но, что при первом испытании единица не выпала, найти вероятность то- го, что потребуется не менее трех бросаний.
Ответ:
5 6
4.15. Игральная кость брошена два раза. Пусть i и j числа очков, выпавших при этих испытаниях. Будут ли независимы события A = {i делится на j}
и B = {i + j делится на 2}?
4.16. Случайная точка Z = (x, y) имеет равномерное распределение в квадрате
Ω = {(x, y) : 0 6 x 6 1; 0 6 y 6 1} (т.е. вероятность любого подмножества
A ∈ Ω (точнее, борелевского подмножества) пропорциональна площади той части A, которая попадает внутрь Ω : P (A) =
S
A·Ω
S
Ω
). Рассмотрим собы- тия A = {x 6 1
2
}; B = {y 6 1
2
} и C = { x −
1 2
· y −
1 2

< 0}. Показать,
что любые два события из A, B, C независимы, но все три события A, B, C
зависимы. Являются ли зависимыми события A · B и C?
4.17. Монета брошена 6 раз. Зависимы или независимы следующие события:
«появилось нечетное число гербов» и «появились 5 или 6 гербов»?
4.18. Игральная кость брошена два раза. Пусть X и Y количество очков, выпав- ших при этих испытаниях. Рассмотрим следующие события:
A
1
= {X делится на 2; Y делится на 3};
A
2
= {X делится на 3; Y делится на 2};
A
3
= {X делится на Y };
A
4
= {Y делится на X};
A
5
= {X + Y сумма делится на 2};
A
6
= {X + Y сумма делится на 3};
Найти все пары A
i
· A
j
; тройки A
i
· A
j
· A
k и т. д. взаимно независимых событий.

4.19. Случайная точка (x, y) имеет равномерное распределение в квадрате {(x, y) :
0 6 x 6 1; 0 6 y 6 1}. При каких положительных значениях r независимы события A
r
= {|x − y| > r} и B
r
= {x + y 6 3r}?
4.20. Доказать, что если P (A|B) = P (A|B), то события A и B независимы.
4.21. Пусть событие A таково, что оно не зависит от самого себя. Показать, что тогда P (A) равно 0 или 1.