1 семестр занятие 1. Занятие 1 Предел последовательности. Необходимые сведения

• Название: Занятие 1 Предел последовательности. Необходимые сведения
• Дата: 20.03.2022
• Размер: 175.5 Kb.
• Имя файла: 1 семестр занятие 1.doc
• Тип: Занятие; #405425

Математический анализ 1 курс 1 семестр

ЗАНЯТИЕ № 1

Предел последовательности.
Необходимые сведения.
1.Понятие предела числовой последовательности. Число называют пределом последовательности , если для каждого существует такое натуральное , что для любого верно неравенство:

или короче: : : .

Обозначают: . Говорят: последовательность сходится к .

Последовательность, сходящуюся к нулю, называют бесконечно малой.
2.Последоваетельность называют расходящейся, если никакое конечное число не является её пределом

или короче: : : .
3.Свойства последовательностей

• 
  Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
  
• 
  Если последовательность неограниченна, то она расходится.
  
• 
  Если последовательность бесконечно малая, а последовательность ограниченная, то последовательность бесконечно малая.
  
• 
  Вспомните арифметические свойства пределов (предел суммы и т.п.)
  

4.Для того чтобы число было пределом последовательности необходимо и достаточно, чтобы для всех выполнялось , где - бесконечно малая последовательность.
5.Если и , и для всех , начиная с некоторого, , то . (Правило двух милиционеров)
6.Последовательность называется бесконечно большой, если для каждого существует такое натуральное , что для любого верно неравенство: .

Обозначают: . Говорят: последовательность имеет бесконечный предел.

Всякая бесконечная последовательность является неограниченной и расходящейся.
7.Теорема Вейерштрасса. Ограниченная и монотонная (начиная с некоторого номера) последовательность имеет конечный предел.

Важный пример такой последовательности:
Задачи для решения в аудитории.
1.Выписать первые пять членов последовательности , если:

, , , ,

2.Написать формулу общего члена последовательности :

= ,

= ,

=
Математический анализ 1 курс 1 семестр
3.Доказать, исходя из определения, что число является пределом последовательности :

= , =1; = , .

4.С помощью определения предела последовательности показать, что данная последовательность при имеет своим пределом число А. Найти целое значение N, начиная с которого . (Аналог задачи №1 Типового расчёта – вариант 30)

= , A= ,

5. Найти , если :

, , , , , ,

, , , ,
Домашнее задание.
1.Типовой расчёт, задача №1 (свой вариант – в тетради для типового расчёта)+ обязательное ДЗ, которое есть у вас на листочке 1*. ЭТО СТРОГО ОБЯЗАТЕЛЬНО ДЛЯ ВСЕХ,
2. Ефимов – Поспелов №№ 5 .213-5.250. Из этих задач решайте письменно только те, в которых для вас не очевиден ответ.
3.ДОПОЛНИТЕЛЬНОДЛЯ ТЕХ, КТО СОБИРАЕТСЯ УЧИТЬСЯ НЕ НИЖЕ ОЦЕНКИ «4»
Вычислить:

Отв.: 3/4

Отв.: 1

Отв.: 4/5

Отв.: 1/3

Отв.: 3/2
3*. ДЛЯ ТЕХ, КТО СОБИРАЕТСЯ УЧИТЬСЯ НА ОЦЕНКУ «5»
Доказать:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5)

4. ККЧШ (Кудрявцев_Кутасов_Чехлов-Шабунин) т.1 стр.22-35 и стр. 107-115.