Статистика. Занятие 1 Тема Сводка и группировка статистических данных Методические указания по теме

• Название: Занятие 1 Тема Сводка и группировка статистических данных Методические указания по теме
• Анкор: Статистика
• Дата: 22.05.2022
• Размер: 179.36 Kb.
• Имя файла: praktikum_stat.docx
• Тип: Занятие; #543670
• страница: 19 из 29

Практическое занятие 3,4

Тема 4. Средние величины и показатели вариации
Методическиеуказанияпо теме
Задача 1. Имеются следующие данные о возрастном составе студентов группы заочного отделения ВУЗа (лет): 19; 19; 19; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 21;

21; 21; 22; 23; 23; 24; 25; 25; 25; 26; 27; 29.

Для анализа распределения студентов по возрасту требуется: 1) построить интервальный ряд распределения и его график; 2) рассчитать модальный, медианный и средний возраст, установить его типичность с помощью коэффициентов вариации.
Решение. Для построения интервального ряда из дискретного используется формула Стерджесса, с помощью которой определяется оптимальное количество интервалов (n):

n=1+3,322lgN,(12)

где N– число величин в дискретном ряде.

В нашей задаче n = 1 + 3,322lg25 = 1 + 3,322*1,398 = 5,64. Так как число интервалов не может быть дробным, то округлим его до ближайшего целого числа, т.е. до 6.

После определения оптимального количества интервалов определяем размах интервала по формуле:
h=H/ n,(13)

где H– размах вариации, определяемый по формуле (14).

H= Х_мах–Х_min,(14)

где X_мaxи X_min— максимальное и минимальное значения в совокупности.

В нашей задаче h=(29 – 19)/6 = 1,67.

Интервальная группировка данных приведена в первом столбце таблицы 1, которая содержит также алгоритм и промежуточные расчеты.

Таблица 1 - Вспомогательные расчеты для решения задачи

Xi , лет	fi	ХИ	XИfi	ХИ- Х		XИ - X	fi	(ХИ- Х)2	(ХИ- Х)2fi	(ХИ- Х)3 fi	(ХИ- Х)4 fi
до 20,67	12	19,833	237,996	-2,134	25,602			4,552	54,623	-116,539	248,638
20,67-22,33	4	21,5	86,000	-0,467	1,866			0,218	0,871	-0,406	0,189
22,33-24	3	23,167	69,501	1,200	3,601			1,441	4,323	5,190	6,231
24-25,67	3	24,833	74,499	2,866	8,599			8,217	24,650	70,659	202,543
25,67-27,33	2	26,5	53,000	4,533	9,067			20,552	41,105	186,348	844,806
более 27,33	1	28,167	28,167	6,200	6,200			38,446	38,446	238,383	1478,091
Итого	25	—	549,163	—	54,937			—	164,018	383,636	2780,498

Число студентов
На основе этой группировки строится график распределения возраста студентов (рис.2).


1,2


1


0,8


0,6


0,4


0,2


0
Рис.2. График распределения возраста студентов.

Мода – это наиболее часто повторяющееся значение признака. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется по формуле (15):

Mo X h

^fMo^{ f}Mo1

, (15)

2 f
Mo

Mo

• 
  ^fMo1 ^{ f}Mo1
  

где Х_Mo– нижнее значение модального интервала; f_Mo– число наблюдений или объем взвешивающего признака (вес признака) в модальном интервале; f_Mo-1– то же для интервала, предшествующего модальному; f_Mo+1– то же для интервала, следующего за модальным; h– величина интервала изменения признака в группах.

В нашей задаче чаще всего повторяется (12 раз) первый интервал возраста (до 20,67), значит, это и есть модальный интервал. Используя формулу (15), определяем точное значение модального возраста:

Мо= 19 + 1,667*(12-0)/(2*12-4-0) = 20 (лет).

Медиана – это такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда. Таким образом, в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значения признака больше медианы, другая – меньше медианы. Для интервального ряда с равными интервалами величина медианы определяется так:

Me X

_{ h}0,5_ f

Me_f

^{ fM e1} , (16)

Me

где X_Me– нижняя граница медианного интервала; h– его величина (размах);

_{fM e1}– сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная

до начала медианного интервала; f_Me– число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале.

В нашей задаче второй интервал возраста (от 20,67 до 22,33) является медианным, так как на него приходится середина ряда распределения возраста. Используя формулу (16), определяем точное значение медианного возраста:

Ме= 20,67 + 1,667*(12,5-12)/4 = 20,878 (года).

Средняя величина – это обобщающий показатель совокупности, характеризующий уровень изучаемого явления или процесса. Средние величины могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя рассчитывается при наличии двух и более статистических величин, расположенных в произвольном (несгруппированном) порядке, по общей формуле (17). Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием общей формулы (18).

X=^m

_{ X}m


i
N
; (17)

X=^m

_ X^mf


i

i
 ^fi

(18)

При этом обозначено: X_i– значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов; m - показатель степени, от значения которого зависят видысредних величин. Используя формулы

17. 
    и (18) при разных показателях степени m, получаем частные формулы каждого вида (см. таблицу 2).
    

Таблица 2 - Виды степенных средних и их применение

m	Название средней	Формуларасчетасредней					Когда применяется
		простая		взвешенная
1	Арифметическая	Х= Хi ар N	(19)	Х= Хifi ар f i		(20)	Чаще всего, кроме тех случаев, когда должны применяться другие виды средних
–1	Гармоническая	Х=N ГМ  1 Xi	(21)	Х= fi ГМ  fi Xi		(22)	Для осреднения величин с дробной размерностью при наличии дополнительных данных по числителю дробной размерности
0	Геометрическая	N Xгеом N Xi i1	(23)	N Xгеом N Xfi i i1		(24)	Для осреднения цепных индексов динамики
2	Квадратическая	X2 Хкв=i N	(25)	Хкв=	 Х2 f ii	(26)	Для осреднения вариации признака
					 fi		(расчет средних отклонений)
3	Кубическая	X3 Хкуб=3 i N	(27)	 Х3 f Хкуб=3  ii fi		(28)	Для расчета индексов нищеты населения

m	Название средней	Формуларасчетасредней		Когда применяется
		простая	взвешенная
1	Хронологическая	X1XN N1 X 2 i (29) XХР 2 N1	X( Xi Xi1 ) fi ХР(30) 2 fi	Для осреднения моментных статистических величин

Выбор вида формулы средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять. Показатель степени m в общей формуле средней величины оказывает существенное влияние на значение средней величины: по мере увеличения степени возрастает и средняя величина (правило мажорантности

средних величин), то есть

^XГМ

^<Xгеом<sup><

Х</sup>ар<sup><

Х</sup>КВ<sup><

Х</sup>куб^{.Так, если}

m  , то

X X_max , а если

m , то

X X_min .

В нашей задаче, применяя формулу (20) и подставляя вместо Х_i

^{середины интервалов возраста ХИ, определяем средний возраст студентов: Х}ар⁼

549,163/25 = 21,967 (года). Теперь осталось определить типичность или нетипичность найденной средней величины. Это осуществляется с помощью расчета показателей вариации. Чем ближе они к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемой статистической совокупности. При этом критериальным значением коэффициента вариации служит 1/3.

Коэффициенты вариации рассчитываются как отношение среднего отклонения к средней величине. Поскольку среднее отклонение может определяться линейным и квадратическим способами, то соответствующими могут быть и коэффициенты вариации.

Среднеелинейноеотклонениеопределяется по формулам (31) и (32):
Л – простое; (31)

N








Xi X

fi

Л – взвешенное. (32)

f_i
Среднееквадратическоеотклонениеопределяется как корень квадратный из дисперсии, то есть по формуле (33):
  _.

(35):

(33)

Дисперсияопределяется по формулам (34) или (

_X_i X


Д
2
– простая; (34)

N

_
Д ^Xi

• 
  X2 f
  

– взвешенная. (35)

i
 ^fi

В нашей задаче, применяя формулу (32), определим ее числитель и внесем в расчетную таблицу. В итоге получим среднее линейное отклонение: Л

= 54,937/25 = 2,198 (года). Разделив это значение на средний возраст, получим

линейныйкоэффициентвариации:

  ^Л= 2,198/21,967 = 0,100. По значению

Х

этого коэффициента для рассмотренной группы студентов делаем вывод о типичности среднего возраста, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериального (0,100 < 0,333).

Применяя формулу (35), получим в итоге дисперсию: Д = 164,018/25 = 6,561. Извлечем из этого числа корень и получим в результате

среднее квадратическое отклонение:  = = 2,561 (года). Разделив это

значение на средний возраст, получим квадратическийкоэффициентвариации:

  ^

Х

= 2,561/21,967 = 0,117. По значению этого коэффициента для

рассмотренной группы студентов можно сделать вывод о типичности среднего возраста, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериального (0,117 < 0,333).