Лекция 31. Занятие №6. Занятие 6 ( Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л. Математика) Раздел Линейная алгебра Тема Матрицы, определители Определители высокого порядка Пример Вычислить определитель 4го порядка
![]()
|
Занятие №6 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика)Раздел 1. Линейная алгебраТема 1.1. Матрицы, определители Определители высокого порядка.. Пример 1. Вычислить определитель 4-го порядка: ![]() Решение. Самое большое количество нулей в любой из строк или столбцов равно 2. Поэтому для вычисления определителя выбираем любую строку или столбец с двумя нулями. Выберем, например, первый столбец (при этом говорят, что определитель будет разлагаться по первому столбцу): ![]() Появившиеся два определителя 3-го порядка можно считать по приведенной выше упрощенной схеме. Если среди элементов матрицы нулей мало (или нет вовсе), то можно специальными действиями привести определитель к такому виду, у которого есть строка (или столбец), в которой отличен от нуля только один элемент. После этого определитель легко вычисляется разложением по этой строке (столбцу). Привести определитель к такому виду помогают свойства определителей, рассмотренные ниже. Свойства определителей1. Если у определителя какая-либо строка (столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю. 2. Если какие-либо две строки (два столбца) определителя равны или пропорциональны (т.е. элементы одной строки (столбца) получаются умножением элементов другой строки (столбца) на одно и то же число), то определитель равен нулю. 3. Если две строки (два столбца) поменять местами, то определитель изменит знак. 4. Общий множитель элементов любой строки или столбца можно выносить за знак определителя. 5. Если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится. 6. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов. Как сказано выше, с помощью этих свойств можно привести определитель к такому виду, у которого есть строка (или столбец), в которой отличен от нуля только один элемент. Для приведения определителя к такому виду необходимо: Вынести общие множители (если таковые имеются) из строк или столбцов за знак определителя (свойство 4.) . Это позволяет уменьшить элементы определителя (что облегчает его дальнейшее вычисление), а также, возможно, получить элементы, равные 1 или (−1), что поможет выполнению следующего пункта. Выбрать строку (или столбец), в которой есть элемент 1 или (−1) (если такие строки или столбцы есть) и с помощью этого элемента (и последнего свойства определителей) обнулять остальные элементы выбранной строки или столбца. Иллюстрирует сказанное следующий пример Пример 2. ![]() 2∙ ![]() ![]() ![]() ![]() Пример №3. Вычислить определитель ![]() Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент ![]() ![]() Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента ![]() ![]() Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен ![]() ![]() Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой - две вторых строки, получаем: ![]() Д ![]() ![]() Ответ. ![]() Пример 4. Вычислить определитель ![]() Решение:
К элементам строки 4 прибавляем соответствующие элементы строки 2.
Из элементов столбца 1 вычитаем соответствующие элементы столбца 4, умноженные на 5.
Из элементов столбца 3 вычитаем соответствующие элементы столбца 4, умноженные на 6.
Разлагаем определитель по элементам четвертой строки. (Подробнее)
Из элементов столбца 3 вычитаем соответствующие элементы столбца 1.
Из элементов столбца 1 вычитаем соответствующие элементы столбца 2, умноженные на 4.
К элементам столбца 2 прибавляем соответствующие элементы столбца 3, умноженные на 2.
Разлагаем определитель по элементам первой строки.
= - ( -37 * ( -5) - ( -6) * ( -10) ) = - ( 185 - 60 ) = -125 Пример 5. Вычислить определитель ![]() Решение. Вычислим этот определитель разложением по первому столбцу, но сначала с помощью свойств определителя сделаем нули в этом столбце везде кроме элемента, равного минус единице. Для этого элементы второй строки умножим на два и прибавим к соответствующим элементам первой строки; элементы второй строки прибавим к соответствующим элементам третьей строки; элементы второй строки умножим на два и прибавим к соответствующим элементам четвертой строки. Эти действия записываем так: ![]() ![]() Разложив определитель 4-го порядка по 1-му столбцу, свели его вычисление к нахождению одного определителя 3-го порядка, который можно вычислить по правилу диагоналей, разобранному выше. Можно дальше применить свойства определителя и свести этот определитель к одному определителю 2-го порядка. Продолжаем делать нули теперь уже во второй строке, умножая элементы третьего столбца на ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() (-4) ![]() (-4) Ответ: ![]() Пример 6. Решить уравнение ![]() Указание Разложив определитель, стоящий в левой части равенства, по первой строке, и приравняв его 40, вы получите квадратное уравнение для Х. Решение Разложим определитель, стоящий в левой части равенства, по первой строке. Предварительно найдем соответствующие алгебраические дополнения: ![]() Тогда ![]() И требуется решить квадратное уравнение ![]() Ответ: ![]() Домашнее заданиеЛ3, стр. 105-108, №11 (Пехлецкий И.Д.) Л4, стр. 71-81, № 56 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.) №11. Решите уравнение ![]() . №56. Вычислить определитель ![]() Решение домашнего задания №11. ![]() (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0. (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0. (x-4)(x-1)=0. Ответ: x1= 4,x2= 1. №56 Вычислить определитель ![]()
|