Занятия 34 Производнаяфункциииеёприменение
 Скачать 0.88 Mb.
|
|
Занятия 3-4 Производнаяфункциииеёприменение. Таблица производных и дифференциалов простейших элементарных функций. Вид функции Производная Дифференциал Степенная Её следствия, или наиболее часто встречающиеся функции Показательная Экспоненциальная Логарифмическая Тригонометрические Обратные тригонометрические Основные правила нахождения производных. Производная суммы есть сумма производных Производная разности есть разность производных ( )Производная произведения равна сумме произведений производной первого множителя на второй и первого множителя на производную второго где С=cоnstПостоянный множитель можно выносить за знак производной. Производная дроби равна отношению разности произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя к квадрату знаменателя Дифференцирование сложной функции. Если функция х=(t) имеет производную в точке t0, а функция y=f(x) имеет производную в соответствующей точке х0=(t0), то сложная функция f((t)) имеет производную в точке t0, и имеет место следующая формула: y(t0)=f(x0)(t0).
Применим логарифмическое дифференцирование: Дифференцирование функции заданной параметрически. Пусть функция задана параметрически на множестве Х посредством переменной t, называемой параметром: Предположим, что функции х=(t) и у=(t) имеют производные ((t)0). Тогда перваяпроизводная функции выражается формулой: А втораяпроизводная функции выражается формулами: I способII способ Замечание: II способ вычисления второй производной функции заданной параметрически применим в том случае, если первая производная компактно упрощена и от полученного выражения легко считается производная, в противном случае применим I способ.
Вычисляем: Вычисляем: Вычисляем первую производную функции: Вычисляем первую производную функции: Вычисляем вторую производную функции: Вычисляем вторую производную функции: не целесообразен Правило Лопиталя. Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а и g(х)0. Пусть в указанной окрестности точки а. Тогда, если существует предел отношения производных (конечный или бесконечный), то существует и предел , причём справедлива формула: .
Схема исследование функции для построения её графика.
у=-х3-9х2-24х-21.
у(-х)=-(-х)3-9(-х)2-24(-х)-21=х3-9х2+24х-21, так как у(-х)≠у(х) и у(-х)≠-у(х), то функция не является ни чётной, ни нечётной, а её график не симметричен ни относительно оси OY, ни относительно начала координат (0; 0).
у(х)=(-х3-9х2-24х-21)=-3х2-18х-24 у(х)=0 -3х2-18х-24=0 х2+6х+8=0 D=b2-4ac=62-418=4 ; . функция убывает на (-∞; -4] и на [-2; +∞); функция возрастает на [-4; -2] x=-2 – точка max у=-1 – max, получили (-2; -1); х=-4 – точка min y=-5 – min, получили (-4; -5).
y(х)=-6х-18 y(х)=0 -6х-18=0 х=-3 функция вогнута на (-∞; -3]; функция выпукла на [-3; +∞); х=-3 – точка перегиба, получили (-3; -3).
так как k=-∞, то функция не имеет ни наклонных, ни горизонтальных асимптот, то есть, никаких асимптот нет.
, следовательно, х=1 - вертикальная асимптота.
у(х) ОY в точке (0; 0), так как при x=0
функция убывает на (-∞; -2], [0; 1) и на [-2; +∞); функция возрастает на [-2; 0]; x=0 – точка max у=0 – max, получили (0; 0); х=-2 – точка min y=-4/27 – min, получили (-2; -4/27).
функция выпукла на (-∞; -2-√3]; [-2+√3; +∞); функция вогнута на [-2-√3; -2+√3]; (1; +∞); х=-2±√3 – точки перегиба; получили
итак, у=0 – уравнение горизонтальной асимптоты.
, следовательно, область определения D(у)=(-∞; 0)(3; ∞), то есть х=0 и х=3 - граничные точки D(у), исследуем поведение функции на границе D(у). итак, х=0 и х=3 – вертикальные асимптоты.
у(х) ОY, так как х=0 D(y).
функция убывает на (-∞; 0); (3; +∞), точек экстремума нет.
функция выпукла на (-∞; 0), функция вогнута на (3; +∞); точек перегиба нет;
итак, у=-1 – уравнение горизонтальной асимптоты.
эллипспараболагипербола
Тест 2. Производная.
|