Застосування похідної. ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ГРАФІК. Застосування похідної до дослідження функції та побцдови графіка повторюємо
 Скачать 260.89 Kb.
|
|
ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ДО ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ТА ПОБЦДОВИ ГРАФІКА Повторюємо Повторити ознаки сталості, ознаки зростання/спадання функції; критичні точки функції; екстремуми функції: точки екстремуму і екстремуми. Алгоритм дослідження Для побудови графіка функції, необхідно дослідити функцію, тобто виявити властивості функції, для чого знаходять: 1) область визначення функції; 2) похідну функції; 3) критичні точки функції; 4) проміжки зростання і спадання функції; 5) точки екстремуму і екстремуми даної функції; 6) точки перетину графіка функції з осями координат; 7) додатково виявляють поведіку графіка функції для якзавгодно великих чи малих значень аргумента. Враховуємо, що також можна визначити парна чи непарна функція і побудувати графік для х > 0 та симетрично відобразити його відносно: - осі ординат для парної функції; - початку координат для непарної функції. Приклад Побудувати графік функції: 1) Областю визначення функції є множина дійсних чисел. 2) Знаходимо похідну функції: Похідна існує в області визначення функції. 3) Знаходимо критичні точки функції, прирівнявши похідну до нуля: 4) Позначаємо на числовій прямій область визначення функції (в даному випадку область визначення, як множина дійсних чисел, співпадає з числовою прямою) і критичні точки -1, 0 і 1. Вказуємо дугою отримані проміжки. Знаходимо знак похідної на кожному з проміжків безпосереднім обчисленням або прикидкою знаку, беручи число з проміжку: f ' (-2) = 15 (− 2) 2 ·(-2 - 1)·(-2 +1) > 0 або « + » f ' (- 1 2 ) = 15( − 1 2 ) 2 ·(- 1 2 - 1)·(- 1 2 +1) < 0 або « - » f ' ( 1 2 ) = 15 ( 1 2 ) 2 ·( 1 2 - 1)·( 1 2 +1) < 0 або « - » f ' (2) = 15 ( 2) 2 ·(2 - 1)·(2 +1) > 0 або « + » Позначаємо знаки на відповідних проміжках та робимо висновки щодо зростання/спадання функції (дальше у таблиці стрілками позначено проміжки зростання/спадання функції відповідно до ознак зростання/спадання (дивись попередні лекції)). 5) При переході через точку -1 знак похідної міняється з плюса на мінус, отже це точка максимуму: х max = -1, f max ( − 1 ) = 2 Увага! Обчислюємо максимум функції, тобто підставляємо у формулу, що задає функцію : При переході через точку 0 зміна знака похідної не відбулась, отже ця точка не є точкою екстремуму. Зверніть увагу на побудову графіка функції в околі цієї точки: х = 0. При переході через точку 1 знак похідної міняється з мінуса на плюс, отже. Це точка мінімуму: х min = 1, f min ( − 1 ) = 2. За результатами дослідження складемо таблицю: 6) Додатково знайдемо абсциси перетину графіка функції з віссю абсцис (ОХ) Розв'яжемо рівняння: Вказівка: винести за дужку х 3 і отримаємо добуток рівний нулю, дальше кожен множник прирівнюємо до нуля і знаходимо корені. Коренями є числа: На підставі результатів дослідження будуємо графік функції Самостійно Побудувати графік функції: Виконати дослідження за поданим вище зразком. Очікуваний результат вашого дослідження і побудови ескізу: Шановні студенти! Вчимося досліджувати функцію з допомогою похідної для побудови графіка функції.. Нагадую, що усе пишемо в робочому зошиті: пояснення з лекції та самостійне завдання . Запитання можна ставити у Google Classroom або у телефонному режимі ! Карантин – це не канікули! Канікули у планети Земля, яка відпочиває тепер від інтенсивної життєдіяльності людини! |