zerkalnaya_simmetriya вариант 3. Зеркальная симметрия
 Скачать 1.61 Mb.
|
|
Государственное бюджетное общеобразовательное Учреждение Республики Крым «Кадетская школа-интернат» «Крымский кадетский корпус» ПРОЕКТ на тему «Зеркальная симметрия» Информатика ученика__10В___класса Диброва Марка Павловича Руководитель проекта: Ковалев Сергей Александрович Учитель: Информатики г.Алушта 2022г. ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………....3 АКТУАЛЬНОСТЬ ……………………………………… 4 РАЗДЕЛ 1. ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ?.......................................................5 1.1. Виды зеркальной симметрии 7 1.2. Центральная симметрия 9 1.3.Поворотная симметрия……………………………………………….……..10 РАЗДЕЛ 2. ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ В ЖИЗНИ……………………11 2.1. Симметрия в живой природе…………………………………………….....11 2.2. Cимметрия с точки зрения математики…………………………………....18 2.3. Зеркальная симметрия в архитектуре, дизайне………… ........…………..23 ЗАКЛЮЧЕНИЕ……..………………………………………..…....…………...26 ИСТОЧНИК ИНФОРМАЦИИ ..……………………………………………..27 ВВЕДЕНИЕ Впервые с понятием зеркальная симметрия я столкнулся в 10 классе. Эта тема очень заинтересовала меня. Раньше, я не обращал внимания на то, что симметрия окружает нас повсюду. Она встречается не только в математике, но в живой и не живой природе. Симметричность приятна глазу. Мы все когда-нибудь любовались симметричностью природы: листьями, цветами, птицами, животными или творениями человека: зданиями, техникой, – всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии. Если какой-либо предмет или плоскую фигуру можно разделить плоскостью на две половины таким образом, чтобы одна половина, отразившись в этой плоскости, как в зеркале, повторила другую, то они обладают зеркальной симметрией. Тема «Зеркальна симметрия» заинтересовала меня. Я решил взять её для своего исследования. Мне захотелось, как можно больше узнать об этой теме. Актуальность Тема проекта по информатике «Зеркальная симметрия» очень актуальна и интересна. В наше время, наверное, трудно найти человека, который не имел бы какого-либо представления о симметрии. Мир, в котором мы живем, наполнен симметрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. С симметрией мы встречаемся буквально на каждом шагу: в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого развития. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность. Все гениальное просто. Как правило, абсолютно обычные вещи скрывают что-то действительно удивительное. Пример этому – зеркальное отражение. Нельзя не согласиться, что это обыденное, ничем не примечательное явление. Но если приглядеться, то можно обнаружить, что оно нас окружает везде, что оно имеет определенные закономерности, что с помощью него можно многое объяснить. Я очень заинтересовался этим вопросом, и решил познакомиться сам и познакомить остальных с понятием «Зеркальная симметрия» наше время. Цель проекта: Проинформировать и познакомить с понятием зеркальная симметрия; узнать, в каких областях жизни встречается зеркальная симметрия. Задачи: 1.Рассказать, что такое зеркальная симметрия. 2.Выяснить, где она применяется в жизни. РАЗДЕЛ 1. ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ? Что такое зеркальная симметрия? Зеркальной симметрией (симметрией относительной плоскости) называется такое отображение пространства на себя ,при котором любая точка переходит симметричную ей относительно плоскости точку. Зеркальная симметрия в природе: морская звезда ,медузы ,змеи ,соты пчел. В математике-зеркальная симметрия является симметрией относительно отражения. Что такое рефлексивная симметрия? Какое можно дать определение? Зеркальная симметрия возникает, если при разделении объекта или формы пополам, каждая половина будет отражать другую. Иногда объекты или формы имеют более одной линии симметрии. Возьмем, к примеру, букву H. Сколько линий симметрии она имеет? Если вы ответили две, вы правы. Есть два способа сделать линию, чтобы каждая половина отражала другую половину. Можно ли считать человеческое лицо симметричным? Что, если вы посмотрите на собственный снимок, особенно фотографию как в паспорте, и нарисуете линию прямо посередине вашего лица, от лба до подбородка? Что бы вы заметили? Разве не казалось бы, что одна сторона вашего лица является отражением другой? Например, с каждой стороны будет глаз. Обе половины ваших губ выглядели бы почти одинаково. Если нет шрамов от какой-либо травмы, обе половины вашего носа выглядели бы одинаково. В идеале ваша гипотетическая фотография паспорта - всего лишь один из примеров зеркальной симметрии, также известной как двусторонняя или линейная симметрия. Линия, которую вы нарисовали, чтобы разделить ваше лицо, называется линией симметрии. Однако, поскольку люди имеют неконтролируемые различия, наши лица не всегда могут рассматриваться как идеальные примеры. Например, у некоторых из нас может быть одна сторона лица красивее, чем вторая. Если вы внимательно посмотрите в зеркало, вы можете заметить, что один из ваших глаз немного меньше другого, одна скула шире, чем другая, и так далее. Многие аспекты человеческого облика могут искажать понятие истинной рефлексивной симметрии, поэтому истинная зеркальная симметрия должна удовлетворять определенным условиям.  Примеры рефлексивной симметрии Многие буквы алфавита имеют зеркальную симметрию. Некоторые используют вертикальную линию; некоторые используют горизонтальную линию. Какие есть примеры зеркальной симметрии в геометрии? Формы также могут демонстрировать рефлексивную симметрию, такую как круги и квадраты, которые имеют четыре линии симметрии. В зависимости от типа треугольника можно иметь нулевую, одну или три линии. Поскольку мы все больше и больше изучаем нашу окружающую среду и наше окружение, мы видим, что природа может быть описана математически. Красота цветка, величие дерева, даже скалы могут проявлять зеркальную симметрию в природе. Есть и другие примеры, которые можно найти в кристаллографии или даже на микроскопическом уровне. Кажется, что везде, куда мы сейчас смотрим, наши глаза сначала обращаются к существующим образцам симметрии.  Виды симметрииВ математике. Зеркальная симметрия является симметрией относительно отражения. То есть фигура, которая не изменяется при отражении, имеет рефлекторную симметрию. Если бы форму нужно было сгибать пополам по оси, две половины были бы одинаковыми: две половины - зеркальные изображения друг друга. Таким образом, квадрат имеет четыре оси симметрии, поскольку существует четыре разных способа свернуть его и согласовать края. Круг имеет бесконечно много осей симметрии. Симметричные геометрические фигуры 2D-формы с отражательной симметрией, равнобедренная трапеция, шестигранники. восьмиугольники - это все примеры зеркальной симметрии в геометрии. Треугольники с симметрией отражения являются равнобедренными. Все односторонние многоугольники имеют две простые отражающие формы: одну с линиями отражений через вершины и одну по краям. Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до нашей эры. Слово “симметрия” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”. Его широко используют все без исключения направления современной науки. Немецкий математик Герман Вейль сказал: “Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство”. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким образом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века. 1.1. Осевая симметрия Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему (Рисунок 2.1). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.   Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a также принадлежит этой фигуре (Рисунок 2.2).  Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией. Осевой симметрией обладают такие геометрические фигуры как угол, равнобедренный треугольник, прямоугольник, ромб (Рисунок 2.3).  Фигура может иметь не одну ось симметрии. У прямоугольника их две, у квадрата – четыре, у равностороннего треугольника – три, у круга – любая прямая, проходящая через его центр. Если присмотреться к буквам алфавита (Рисунок 2.4)., то и среди них можно найти, имеющие горизонтальную или вертикальную, а иногда и обе оси симметрии. Объекты, имеющие оси симметрии достаточно часто встречаются в живой и неживой природе.  Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник. В своей деятельности человек создаёт много объектов (в том числе и орнаменты), имеющих несколько осей симметрии. 1.2 Центральная симметрия Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе(Рисунок 2.5).  Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре [1]. Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм (Рисунок 2.6).  Точка О называется центром симметрии фигуры. В подобных случаях фигура обладает центральной симметрией. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма - точка пересечения его диагоналей. Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии у прямой их бесконечно много - любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник. 1.3.Поворотная симметрия Предположим, что объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … В этом случае о поворотной симметрии, а указанную ось называют поворотной осью n-го порядка. Рассмотрим примеры со всеми известными буквами «И» и «Ф». Что касается буквы «И», то у нее есть так называемая поворотная симметрия. Если повернуть букву «И» на 180° вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой. Иными словами, буква «И» симметрична относительно поворота на 180°. Заметим, что поворотной симметрией обладает также буква «Ф». На рисунке 2.7. даны примеры простых объектов с поворотными осями разного – от 2-го до 5-го. [3]  РАЗДЕЛ 2. ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ В ЖИЗНИ Если поставить зеркальце вдоль прочерченной прямой, то отраженная в зеркале половинка фигуры дополнит её до целой. Потому такая симметрия называется зеркальной (или осевой, если речь идет о плоскости). Прямая, вдоль которой поставлено зеркало, называется осью симметрии. Когда мы говорим о зеркальной симметрии, то речь идет об отраженности левого и правого, верха и низа – здесь фигурирует некая ось или плоскость симметрии . Определяющей выступает прямая линия. Такой симметрии в природе много. Человек встречается с зеркальной симметрией в мире флоры и фауны, замечает ее в самом себе. Соприкосновение с очевидной симметрией своего тела, возможно, и породило восприятие человеком двустороннего пространства, различение правого и левого. Наши естественные оси «вертикаль – горизонталь» неравнозначны. В природе преимущественно мы имеем дело с вертикальными осями и плоскостями симметрии. Единственная горизонтальная симметрия в природе – отражения в зеркале воды. Видимо, поэтому вертикальная симметрия воспринимается нами не так напряженно, как горизонтальная (не встречаются обои с горизонтальными осями симметрии). Зато горизонтальная симметричность дает необычные и завораживающие по силе воздействия эффекты (отчего и применяется в декадансе). Дважды симметричным по осям «вертикаль – горизонталь» является, например, квадрат. 2.1. Симметрия в живой природе. На явление симметрии в живой природе обратили внимание в Древней Греции пифагорейцы, в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 веке появлялись отдельные работы, касающиеся этой темы. А в 1961 году, как результат многовековых исследований, посвященных поиску красоты и гармонии окружающей нас природы, появилась наука биосимметрика. У растений встречаются следующие виды симметрии: сферическая — симметричность при вращении в трёхмерном пространстве на произвольные углы; радиально-лучевая — симметричность при повороте вокруг какой-либо оси (много плоскостей симметрии, которые пересекаются в центре); двусторонняя (билатеральная) симметрия — симметричность относительно плоскости; трансляционная симметрия — симметричность при сдвиге в каком-либо направлении на некоторое расстояние. Самыми распространенными видами симметрии являются билатеральная и радиально-лучевая.  Именно на билатеральную (зеркальную) симметрию листьев и радиальную симметрию цветов мы и обратили внимание осенью, играя в школьном саду. Эти два вида симметрии с необычным упорством повторяются вокруг нас. Особенности внешней формы часто находятся в прямой зависимости от особенностей внешнего воздействия. Господство симметрии в природе объясняется силой тяготения, действующей во всей Вселенной. Все то, что растет по вертикали, то есть вверх или вниз относительно земной поверхности, подчиняется радиально-лучевой симметрии в виде веера пересекающихся плоскостей симметрии.  Все то, что растет горизонтально или наклонно по отношению к земной поверхности, подчиняется билатеральной симметрии (одна плоскость симметрии). В самом деле, цветочные чашечки, обращенные кверху (ромашка, подсолнечник), имеют, как мы уже знаем, целый веер пересекающихся плоскостей симметрии. В то же время листья и цветы, расположенные на стебле сбоку (душистый горошек, орхидея и др.), обладают только одной плоскостью симметрии. Симметрией обладают не только листья и цветы растений, но и их плоды и семена. Симметрия животных. Симметрия в животном мире диктуется условиями жизни. Первые многоклеточные животные появились в воде.  Они произошли от колониальных простейших – жгутиковых, похожих на вольвокс, и располагались в толще воды во взвешенном состоянии. Любое направление для них было равноценно. Поэтому первые многоклеточные имели форму шара.  Такая форма идеальна для поддержания в наименьшем объёме наибольшего количества энергии. Они появились примерно 3,5 млрд. лет назад. Например, радиолярии. Животные, обладающие такой симметрией, существуют и в данное время, например, морские ежи.  По мере развития и усложнения организмов под действием силы тяжести они стали различать «верх» и «низ» и потеряли симметрию шара. Животные, ведущие прикреплённый образ жизни, такие, как гидра, актиния приобрели симметрию, которая способствует ловле добычи и защиты от врагов, появляющихся с любой стороны. Ось симметрии этих животных показывает направление силы тяжести. Именно поэтому животные, ведущие малоподвижный образ жизни, внешне похожи на зонтики, шары и цветки растений.  Те животные, которые способны были передвигаться в каком-то избранном направлении, приобрели двустороннюю симметрию тела. На её появление важное влияние оказало как направление силы тяжести, так и направление движения животного в погоне за пищей или спасаясь от опасности. Для двустороннесимметричных видов характерно наличие двух примерно одинаковых частей тела, что помогает им сохранять равновесие, прямолинейно передвигаться, быстрее находить пищу и т. д. Билатерально симметричные организмы господствуют последние 650–800 млн. лет.  Это ракообразные, млекопитающие, птицы, насекомые. Билатеральная симметрия присуща большому количеству видов животных. Еж, сова, божья коровка, бабочка, рак, паук и другие животные обладают такой симметрией. Например, у бабочки симметрия проявляется с математической строгостью. Ученые размещают виды симметрии животных (шаровую, радиальную, билатеральную) в эволюционный ряд.  Полностью асимметричная амёба считается более примитивным существом, чем одноклеточные организмы шаровой симметрии. Билатерально симметричные организмы считаются “венцом” эволюции. Симметрия человека. Тело человека, как и тела многих живых существ, обладает билатеральной симметрией, которая проявляется в дублировании жизненно важных органов (легкие, почки, конечности, глаза, слуховые анализаторы и др.).  Но симметрия выражена не с абсолютной точностью, при этом степень отклонения от симметрии может демонстрировать уровень адаптированности к конкретным видам деятельности. Внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая, и обе руки совершенно одинаковы!  НО! Если бы наши руки и в самом деле были совершенно одинаковы, то левая перчатка подходила бы и к правой руке, но на самом деле это не так. Каждому известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале. Многие художники обращали пристальное внимание на симметрию и пропорции человеческого тела и старались подчеркнуть это в своих произведениях.  Известны каноны пропорций, составленные Альбрехтом Дюрером и Леонардо да Винчи. Согласно этим канонам, человеческое тело не только симметрично, но и пропорционально. Леонардо открыл, что тело вписывается в круг и в квадрат. Дюрер занимался поисками единой меры, которая находилась бы в определенном соотношении с длиной туловища или ноги (такой мерой он считал длину руки до локтя). Физическая симметрия тела и мозга не означает, что правая сторона и левая равноценны во всех отношениях. Достаточно обратить внимание на действия наших рук, чтобы увидеть начальные признаки функциональной асимметрии. Лишь немногие люди одинаково владеют обеими руками, большинство же имеет ведущую руку, чаще всего правую.  Но, во всяком случае, внешне все люди симметричны. Известно, что люди считают лица, обладающие симметрией, более красивыми. И фигура человека считается красивой, если она соответствует законам симметрии и пропорциональна. Напротив, если симметрия тела нарушается, это не только внешне выглядит некрасиво, но и может стать причиной заболевания. Например, сколиоз (искривление позвоночника) – нарушение осанки может стать причиной заболеваний внутренних органов.  И в одежде человек тоже, как правило, старается поддерживать впечатление симметричности: правый рукав соответствует левому, правая штанина — левой. Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния.  Но полная безукоризненная симметрия выглядела бы нестерпимо скучно. Именно небольшие отклонения от неё и придают характерные, индивидуальные черты. На фоне общей симметрии в мелких деталях мы умышленно допускаем асимметрию, например, расчесывая волосы на косой пробор — слева или справа или делая асимметричную стрижку. Или, скажем, помещая на костюме асимметричный кармашек на груди. Лишь на одной стороне груди носятся ордена и значки (чаще на левой).  Порой человек старается подчеркнуть, усилить различие между левым и правым. В средние века мужчины одно время щеголяли в панталонах со штанинами разных цветов (например, одной красной, а другой черной или полосатой). В не столь отдалённые дни были популярны джинсы с яркими заплатами или цветными разводами. Но подобная мода всегда недолговечна. Лишь небольшие, тактичные отклонения от симметрии остаются на долгие времена. 2.2. Cимметрия с точки зрения математики. Осевая и центральная симметрия — тема для перфекционистов, любителей снимков в отражении и противников заваленного горизонта. Симметрично — значит красиво? Тогда давайте разберемся, что такое симметрия с точки зрения математики. Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия. Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.  Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии. Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии. Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией. Ось симметрии угла — биссектриса. Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота. Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон. У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали. У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб. Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.  Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека. Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой. При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии. На рисунках осевая симметрия: точки A и B симметричны относительно прямой a; точки R и F симметричны относительно прямой AB Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас. В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник. Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой. Пример 1. Постройте треугольник A1B1C1,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.  Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии. Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.  Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии. Соединяем точки и строим треугольник A1B1C1. Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение: Центральной симметрией называется симметрия относительно точки. На картинках центральная симметрия: точка O здесь — центр симметрии Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах. Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией. Пример 1: Постройте треугольник A1B1C1 ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).  Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О). Получившиеся точки соединяем отрезками A1B1 A1C1 B1C1. Получаем треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC, относительно центра. Пример 2. Построить отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).  Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону. Чертим на противоположной стороне отрезки А1О и B1О, равные отрезкам АО и АB. Соединяем точки A1 и B1 и получаем отрезок A1B1, симметричный данному. Что же такое симметрия уравнений? Мы не будем сейчас стремиться к строгим определениям и ограничимся следующим описанием. Если при некотором преобразовании переменных уравнение не меняет своего вида («переходит само в себя»), то мы говорим, что это уравнение симметрично относительно данного преобразования 1 . Почему бывает важно замечать симметрию уравнений? Дело в том, что если уравнение обладает некоторой симметрией, то такой же симметрией обладают и все его решения. Значит, не решая уравнение и исходя лишь из соображений симметрии, мы можем заранее предвидеть некоторые свойства его решений! Допустим, например, что требуется найти такие значения параметра, при которых уравнение имеет заданное число решений. Тогда, заметив симметрию данного уравнения, мы сможем получить необходимые условия на параметр, и останется лишь проверить, какие из найденных условий являются достаточными. Задача 1. (МГУ, мехмат, 1990 ) Найдите все значения параметра b, при которых уравнение b 2x 2 − b tg(cos x) + 1 = 0 (1) имеет единственное решение. Решение. Обратите внимание, что уравнение (1) не меняет своего вида при замене x на −x (ведь x 2 и cos x — чётные функции). Иными словами, уравнение (1) симметрично относительно преобразования x 7→ −x (то есть относительно отражения в начале координат). Следовательно, данной симметрией будут обладать и решения нашего уравнения. Именно, если x0 — корень уравнения (1), то и число −x0 будет его корнем; иначе говоря, решения уравнения (1) расположены симметрично относительно нуля. Вместе с тем, в задаче требуется, чтобы решение было только одно. Единственная возможность — корнем уравнения (1) является нуль, и только он. В самом деле, если уравнение имеет ненулевое решение, то всего решений будет как минимум два. Подставляя x = 0 в уравнение (1), получим −b tg 1 + 1 = 0, откуда b = ctg 1. (2) 1Мы сейчас не делаем различия между уравнениями и системами уравнений. Да его, в общем-то, и нет; например, система уравнений ( f(x, y) = 0, g(x, y) = 0 равносильна уравнению |f(x, y)|+|g(x, y)| = 0. Поэтому, говоря о симметрии уравнений, мы имеем в виду также и симметрию систем уравнений. 1 Это — необходимое условие на b (только при таком b наше уравнение может иметь нулевое решение). Теперь вопрос в том, является ли это условие достаточным; то есть, окажется ли при b = ctg 1 нулевое решение и в самом деле единственным, или же уравнение (1) будет иметь и другие корни помимо нуля. Для выяснения достаточности условия (2) подставим данное значение b в уравнение (1): ctg2 1 · x 2 − ctg 1 · tg(cos x) + 1 = 0. Перепишем это следующим образом: tg(cos x) tg 1 = 1 + x 2 tg2 1 . (3) Тангенс является возрастающей функцией на интервале − π 2 ; π 2 . Косинус, являющийся аргументом тангенса, принимает значения из отрезка [−1; 1], а этот отрезок находится внутри интервала − π 2 ; π 2 . Следовательно, справедливо неравенство tg(cos x) 6 tg 1, то есть левая часть уравнения (3) не превосходит 1. В то же время правая часть (3) не меньше 1, и равенство возможно лишь в том случае, когда обе они равны 1, то есть при x = 0. Итак, мы показали, что условие (2) является достаточным: при b = ctg 1 уравнение (1) имеет единственное (нулевое) решение. Ответ: b = ctg 2.3 Зеркальная симметрия в архитектуре, дизайне. Прием отражения в архитектуре. Зеркальная симметрия — это наиболее распространенный прием, используемый в традиционной архитектуре. Суть его заключается в зеркальном копировании одной части здания относительно другой посредством центральной плоскости симметрии, вырождающейся в вертикальную прямую, проходящую обычно через центральный вход. Этот вид симметрии главным образом использовался при решении фасадов сооружений, подчеркивая их значимость. Гармония в природе и человеческом обществе была основной темой, которую олицетворяла собой зеркальная симметрия. Большая часть храмов и дворцов древних цивилизаций Египта, Месопотамии, античных Греции и Рима построена по этому принципу, что можно увидеть в архитектурной композиции сохранившихся зданий, а также на картинках, воссоздающих внешний облик безвозвратно утраченных. Среди них можно выделить: Храм богини Изиды на острове Филе. Ворота Иштар. Древнегреческий храм Парфенон на афинском Акрополе. Древнеримский храм Портуна на Бычьем форуме в Риме. В I тысячелетии нашей эры были возведены величественные культовые сооружения в Южной Европе, Индии, Китае, Мезоамерике, где в композиции фасадов использовалась зеркальная симметрия: Собор Святой Софии в Константинополе. Индуистский храм Ранганатхи в Шрирангаме. Дачаньдянь — Дворец Великих Свершений в Китае. Храм Воинов в Чичен-Ице. В средневековой архитектуре Европы, Ближнего Востока, Средней Азии, Японии также применялся принцип зеркальной симметрии: Пизанский собор. Миланский собор. Собор Парижской Богоматери. Мечеть Масджид аль-Харам — Заповедная мечеть в Мекке. Мечеть Калян в Бухаре. Храм Феникса монастыря Бёдо-ин в Японии. Эпоха Ренессанса, возродившая античные культурные традиции, оказала значимое влияние на развитие архитектуры эпох Просвещения и Нового времени. Здания этих исторических периодов построены с неизменным соблюдением общего правила зеркальной симметрии: Собор Святого Петра (Рим). Церковь Санта-Сусанна (Рим). Собор Святого Павла (Лондон). Исаакиевский кафедральный собор (Санкт-Петербург). Симметрия в интерьере является основополагающим принципом, который находится вне времени и трендов. Наш мозг устроен таким образом, что он воспринимает симметричные элементы как нечто хорошее, полезное, правильное – это считывается на подсознательном уровне. Элементы симметрии есть в каждом профессионально созданном интерьере, вне зависимости от его стилистики. Именно благодаря этому обстановка выглядит гармоничной и выверенной. Симметрия работает всегда, она необходима и уместна в любом дизайн-проекте. Самый распространенный и известный прием-зеркальная симметрия, который многие незаслуженно считают скучным. Обычно при этом подразумевается, что композиционный центр находится ровно посередине помещения, и по сторонам от него на одинаковом расстоянии размещены одинаковые или очень похожие друг на друга предметы. Описание и правда звучит довольно скучно. Но это лишь одна из вариаций, причем далеко не самая популярная.  Все будет выглядеть иначе, если в качестве центра композиции выбрать другую точку – например, какой-то интересный элемент в углу. Это может быть камин, арт-объект, заметный предмет мебели или светильник – все зависит от индивидуального наполнения пространства. И уже вокруг него начинаем выстраивать композицию, которая поможет всей обстановке выглядеть более объемной и выразительной. Такая центральная точка, через которую будет проходить воображаемая линия оси, может находиться где угодно, и она может быть любой. В зависимости от поставленной задачи, можно отзеркалить всю комнату целиком, либо какую-то зону или локальную поверхность – например, создать симметричную композицию из статуэток на полке. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Изучив разную информацию об использовании зеркальной симметрии , мы выявили следующие области , в которых встречается зеркальное отражение , это не только область в математике ,но и в жизни: архитектуре и дизайне и в живой природе. Безусловно, есть множество других сфер, где есть зеркальная симметрия, но эти три наиболее интересны, поэтому мы и осветили их в своем исследовании. ИСТОЧНИК ИНФОРМАЦИИ https://syl-ru.turbopages.org/syl.ru/s/article/413570/zerkalnaya-simmetriya-opredelenie-i-primeryi https://obuchonok.ru/node/2260 https://kozelrozel.jimdofree.com/этот-удивительно-симметричный-мир/симметрия-в-живой-природе/ https://skysmart.ru/articles/mathematic/osevaya-i-centralnaya-simmetriya https://mathus.ru/math/parameter-symmetry.pdf https://nauka.club/kulturologiya/simmetriya-v-arkhitekture.html https://ldesign.studio/simmetriya-v-dizajne-interera/ |