6 Полный дифференциал функции нескольких переменных Если функция дифференцируема в точке
 Скачать 184.93 Kb.
|
|
240 § 6 Полный дифференциал функции нескольких переменных Если функция дифференцируема в точке ( z f x y = ; ) ( ) P x y 0 0 0 ; , то ее полное приращение можно представить в виде ( ) ( ) ( ) Δ Δ Δ f x y f x y x f x y y z y x y 0 0 0 0 0 0 , , , = ′ + Сумма двух первых слагаемых есть главная линейная (относительно Δx и ) часть приращения функции. Определение Если функция ( ) z f x y = ; дифференцируема в точке , то главная, линейная относительно приращения аргументов, часть ее полного приращения называется ( P x y 0 полным дифференциалом функции и обозначается ( ) d z df x y P def 0 0 0 = = , ( ) ( ) ′ + ′ f x y x f x y y x y 0 0 0 0 , , Δ Δ . (5) Приращения независимых переменных называют дифференциалами независимых переменных хи у и обозначают соответственно и . Тогда полный дифференциал функции записывается в виде dx dy ( ) ( ) ( ) d z df x y f x y x dx f x y y dy P def 0 0 0 0 0 Выражения ( ) ( ) ∂ ∂ ∂ ∂ f x y x dx f x y y dy 0 0 0 0 , , , называют частными дифференциалами функции и обозначают и . Тогда ( z f x y = ; ) d f x d f y dz d z d Определение полного дифференциала легко обобщается на случай функции любого числа аргументов. Например для случая трех переменных ( ) ( ) ( ) z z y x f y z y x f x z y x f u d z y x P Δ ′ + Δ ′ + Δ ′ = 0 0 0 0 0 0 0 Из определения дифференциала функции нескольких переменных следует, что ( ) ( ) ( ) z f x y f x y df x y = ⇒ ≈ , , Δ 0 0 0 0 , , ( ) ( ) ( ) u f x y z f x y z df x y z = ⇒ ≈ , , , , , , Δ 0 0 0 0 0 0 , ( ) ( ) ( ) u f P P R f P df P n = ∈ ⇒ ≈ , Δ 0 Эти соотношения позволяют получить формулы для приближенного вычисления значений функции ( ) ( ) ( ) f x x y y f x y df x y 0 0 0 0 0 0 + + ≈ + Δ Δ , , , , ( ) ( ) ( ) f x x y y z z f x y z df x y z 0 0 0 0 0 В общем случае ( ) ( ) ( ) ( ) f P f P df P P O P R r n ≈ + ∀ ∈ ⊂ 0 0 0 . (6) Пример Найти приближенное значение функции ( ) f x y x y , = + 2 2 2 2 в точке Р 2,03). Точка Р расположена достаточно близко от точки ( ) P 0 1 2 ; , Δx = 0,02 Δy = По формуле (6) имеем ( ) f P x y P 0 2 6 2 2 2 2 = = + 64 = ( ) ( ) df P f x x f y y x y P P x y x y P 0 2 2 0 0 2 2 2 2 0 4 2 2 0,02 2 2 2 0,03 8,872 = + = ⋅ ⋅ + ⋅ ≈ + + ∂ ∂ ∂ ∂ Δ Δ ln Следовательно ( ) ( ) ( ) f P f df ≈ + ≈ + = 1 2 1 2 64 8,872 Оценим погрешность вычислений. Точное значение, вычисленное с помощью калькулятора ( ) f P = 73 Абсолютная погрешность Δf = − = 73 583 72,872 Относительная погрешность ( ) δ f f f x y = ⋅ = = Δ , , 100% 0,711 73 583 Описанный в примере алгоритм вычислений основан на замене приращения функции ее полным дифференциалом. Полный дифференциал используется главным образом для оценки погрешностей вычислений по формулам. Пусть задана дифференцируемая функция n переменных ( ) u f x x x n = 1 2 , ,..., . Тогда абсолютная погрешность вычислений по этой формуле оценивается величиной Δu Δ Δ Δ u u x x u x x u x x n n = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 1 2 2 Δ , относительная погрешность - величиной δ u u u = Δ § 7 Дифференцирование сложной функции Пусть - функция двух переменных, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных хи у ( z f u v = , ) ( ) u u x y = , . Тогда ( v v x y = , ) ( ) ( ) ( ) ( ) z f u x y v x y F x y = = , , , , - сложная функция от двух независимых переменных хи у, аи промежуточные переменные. Теорема Если функция ( ) z f u v = , дифференцируема в точке , а функция и дифференцируемы в точке ( ) M u v G 0 0 0 , ∈ ( u u x y = , ) ) ( v v x y = , ( ) ( ) P x y D f 0 0 0 , ∈ , то сложная функция , где ( z f u v = , ) ( ) u u x y = , ; ( ) v v x y = , , дифференцируема в точке , причем ее частные производные вычисляются по формулам ( ) ( ) P x y D f 0 0 0 , ∈ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z x z u u x z v v x = + , (7) 242 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y y или в более краткой записи ′ = ′ ′ + ′ ′ ′ = ′ ′ + ′ ′ z z u z v z z u z v x u x v x y u y v , y Докажем первую из формул (7). В точке > ( ) P x y 0 0 0 , переменной х дадим приращение, сохранив вторую переменную постоянной. Тогда функции и получат частные приращения , а функция z полное приращение (так как u v Δ Δ x x u, и - приращения по обоим промежуточным переменным ). Функция Δ x v ( ) z f u дифференцируема в точке поэтомуприращениефункциипредставимо в виде ( M u v 0 Разделим последнее равенство на Δx ≠ 0 : Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ z x z u u x z v v x x u x v x x x = + + + x ∂ ∂ ∂ ∂ α β 1 1 . (8) Если , то ив силу непрерывности функций Δx → 0 Δ x u → 0 Δ x v → 0 ( ) u u x y = , ; , ( ) v v x y = , lim , lim Δ Δ Δ Δ Δ Δ x x x x u x u x v x v x → → = = 0 0 ∂ ∂ ∂ ∂ 1 1 Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ x u u x x v v x x x x x α α β β = = ; Перейдем в равенстве (8) к пределу и учтем, что lim ; lim Δ Δ Δ Δ Δ Δ x x x x u x v x → → = = 0 0 0 Получим аналогично ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y y Рассмотрим функцию трех переменных ( ) w f u v t = , , , каждая из которых является, в свою очередь, функцией трех независимых переменных x y z , , : . Тогда функция ( ) ( ) ( u u x y z v v x y z t x y z = = = , , , , , , , , t ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w f u x y z v x y z t x y z F x y z = = , , , , , , , , , является сложной функцией трех независимых переменных x y z , , , а переменные являются промежуточными. Частные производные этой функции вычисляются по формулам u v t , , ′ = ′ ′ + ′ ′ + ′ ′ w w u w v w t x u x v x t x , ′ = ′ ′ + ′ ′ + ′ ′ w w u w v w t y u y v y t y , 243 ′ = ′ ′ + ′ ′ + ′ ′ w w u w v w t z u z v z t Рассмотрим некоторые важные частные случаи. 1. Пусть ( ) , w f u v t = , , ( ) ( ) ( ) u u x y v v x y t x y = = = , , , , , t . Тогда функция ( ) ( ) ( ) ( ) t x y , является сложной функцией двух аргументов, а следовательно имеет две частные производные, которые вычисляются по формулам w f u x y v x y = , , , , ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ w x w u u x w v v x w t t x = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ w y w u u y w v v y w t t y = + + 2. Пусть ( ) , w f x y u = , , ( ) ( ) u u x y y x = = , Тогда функция ( ) ( ) ( ) w f x y x u x F x = = ( ) - функция одной переменной х. Производная , , ′ z x находится по общей формуле дифференцирования сложной функции dz dx z x x x z y y x z u u x = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Так как ( ) ( ) y y x u u x = = , , то частные производные ∂ ∂ y x и ∂ ∂ u x превращаются в обыкновенные производные, кроме того ∂ ∂ x x = 1 , следовательно dz dx z x z y dy dx z u du dx = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (9) Производная dz dx , вычисляемая по формуле (9) называется полной производной Пример 1 Вычислить частные производные сложной функции двух переменных, где ( ) z f u v u v = = , ln u x y v x y = − = + 3 2 2 , ( ) ′ = ′ ′ + ′ ′ = + = + + − + f f u f v v x u v x y x x y x y x u x v x 3 2 3 2 3 2 2 2 2 ln ln , ( ) ′ = ′ ′ + ′ ′ = − + = − + + − + f f u f v v y u v x y y x y x y y u y v y ln ln 2 2 3 2 2 2 2 |