1. 15. Уравнения Пуассона и Лапласа Получим уравнение, из решения которого можно определить электрический потенциал в диэлектрике.
 Скачать 475.5 Kb.
|
|
1.15. Уравнения Пуассона и Лапласа Получим уравнение, из решения которого можно определить электрический потенциал в диэлектрике. Для этого подставим в формулу (1.14.11) выражение (1.10.1), связывающее напряженность электрического поля с электрическим потенциалом где - дифференциальный оператор, называемый оператором Лапласа (лапласианом). В результате получаем уравнение Пуассона (1.15.1) Из его решения находится электростатический потенциал в любой точке диэлектрика, если известно распределение сторонних и связанных зарядов. В тех участках поля, где электрических зарядов нет ( ), уравнение Пуассона принимает особенно простой вид (1.15.2) Это уравнение называется уравнением Лапласа – оно является частным случаем уравнения Пуассона. 1.16. Вектор электрического смещения Нахождение напряженности электрического поля из теоремы Гаусса неудобно, так как входящая в него объемная плотность связанных зарядов , зависит от . Расчет поля можно упростить, если ввести вспомогательный вектор, источником которого являются только сторонние заряды с плотностью . Для этого подставим в формулу (1.14.11) плотность связанных зарядов из (1.14.10) или (1.16.1) Отсюда следует, что искомым вектором является вектор (1.16.2) который называется электрическим смещением или электрической индукцией. Подставим в (1.16.2) вектор поляризации из (1.14.3) Величина (1.16.3) называется диэлектрической проницаемостью среды. Вектор электрического смещения теперь можем записать в виде (1.16.4) Из формулы (1.16.4) следует, что вектора и параллельны друг другу. Однако, это справедливо лишь для изотропных диэлектриков. В анизотропных диэлектриках направления векторов и в общем случае не совпадают. С учетом (1.16.2) и (1.16.4) формулу (1.16.1) можно переписать в виде (1.16.5) Проинтегрируем это уравнение по некоторому объему V Применим к левому интегралу теорему Остроградского-Гаусса где - поток вектора смещения через замкнутую поверхность S, охватывающую объем V. В результате получили (1.16.6) Эта формула выражает собой теорему Гаусса для электрического смещения: поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность равен сумме сторонних зарядов внутри этой поверхности. Единицей измерения электрического смещения является , а единицей измерения его потока Из (1.16.6) следует, что заряд величиной 1 Кл создает через охватывающую его поверхность поток смещения, равный 1 Кл . Поле вектора смещения изображают с помощью силовых линий, аналогично силовым линиям напряженности электрического поля . Важное отличие между этими двумя векторами состоит в том, что линии вектора смещения могут начинаться и заканчиваться только на сторонних зарядах. Через связанные заряды линии вектора смещения идут не прерываясь. В тоже время, силовые линии напряженности электрического поля могут начинаться или заканчиваться как на сторонних, так и на связанных зарядах. 1.17. Пример вычисления поля в диэлектриках: поле внутри плоской пластины Пусть имеются две бесконечные параллельные, разноименно заряженные плоскости с поверхностными плотностями и . Эти поверхностные заряды являются несвободными сторонними зарядами, нанесенными извне на две поверхности. В вакууме электрическое поле между плоскостями имело бы напряженность с величиной и смещение с величиной . Внесем между плоскостями пластину из однородного изотропного диэлектрика. Под действием поля диэлектрик поляризуется и на его поверхностях появляются связанные заряды с плотностями . Эти заряды создают внутри пластины однородное поле с напряженностью Поля и направлены навстречу друг другу, поэтому суммарное поле внутри диэлектрика равно (1.17.1) В пространстве между диэлектриком и заряженными плоскостями поле не меняется и остается равным . Поляризация диэлектрика пропорциональна напряженности электрического поля в данной точке пространства, поэтому согласно (1.14.8) Подставляя это выражение в (1.17.1), получаем откуда Таким образом (1.17.2) Следовательно, поле внутри диэлектрика ослабляется в число раз по сравнению с полем в вакууме. Это связано с поляризацией диэлектрика. Умножим (1.17.2) на , получим электрическое смещение внутри пластины Значит, электрическое смещение внутри пластины такое же как и вне пластины, то есть оно непрерывно на границе раздела вакуум/диэлектрик. Выразим плотность связанных зарядов в диэлектрике через плотность сторонних зарядов на плоскостях. Для этого используем формулу (1.17.2) и прежние соотношения откуда Следовательно (1.17.3) 1.18. Ротор вектора напряженности электрического поля Ранее было показано (1.11.2), что циркуляция вектора напряженности электрического поля по любому замкнутому контуру L равна нулю (1.18.1) Существует теорема Стокса, согласно которой интеграл по замкнутому контуру L равен интегралу по поверхности S, охватываемой этим контуром (1.18.2) Вектор (1.18.3) называется ротором вектора . Поскольку равенство нулю циркуляции выполняется для любого замкнутого контура L, то из (1.18.1) и (1.18.2) следует Поверхность S , опирающаяся на контур тоже может быть произвольной. Поэтому интеграл будет равен нулю, лишь если равна нулю подинтегральная функция (1.18.4) Запишем последнее уравнение (1.18.4) вместе с прежним уравнением (1.16.5) (1.18.5) Эти два уравнения являются основными уравнениями электростатики. Им должно удовлетворять электростатическое поле в любом диэлектрике, в том числе и неоднородном по составу. Рассмотрим систему из 2-х диэлектриков, разделенных плоской границей, и имеющих диэлектрические проницаемости и . Ось x направим вдоль границы. Выберем прямоугольный контур L длиной а и шириной b, который частично проходит в первом диэлектрике и частично во втором. Направление обхода контура показано на рисунке стрелками. 1.19. Условия для электрических полей на границе раздела двух диэлектриков Пусть в первом диэлектрике создано поле , а во втором - . Так как контур L замкнутый, то циркуляция вектора напряженности по нему равна нулю. Циркуляция – это криволинейный интеграл, распишем его в виде суммы вкладов от 4-х сторон контура с учетом взаимной ориентации полей и направления обхода контура откуда Это равенство должно выполняться для произвольного контура L. Сделаем контур бесконечно тонким, устремляя ширину b к нулю, тогда получим (1.19.1) Значения проекций E1x и E2x берутся вблизи границы. Равенство (1.19.1) должно выполняться при произвольной ориентации оси x в плоскости границы. Выберем ось x так, чтобы обратились в ноль проекции обоих векторов Это значит, что вблизи границы векторы и лежат в одной плоскости с нормалью к поверхности. Представим их в виде где и - тангенциальные проекции векторов и на границу. Согласно (1.19.1) должно выполняться (1.19.2) Следовательно, на границе раздела двух диэлектриков тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля непрерывна. Используем связь напряженности поля со смещением (1.16.4), тогда формулу (1.19.2) можно переписать в виде (1.19.3) Выберем теперь вблизи границы цилиндр c высотой h и основанием S. Пусть h настолько мала, что в пределах цилиндра электрическое поле можно считать однородным. Применим к поверхности цилиндра теорему Гаусса для вектора смещения (1.16.6). Если сторонних зарядов нет, то С другой стороны, поток смещения через поверхность цилиндра можно представить как сумму потоков где - усредненное значение на боковой поверхности Sбок. Устремим h 0 , тогда Sбок 0 и получим (1.19.4) Знак минус связан с тем, что вектора и спроецированы на противоположно направленные нормали . Их можно спроецировать на одну и ту же нормаль, например , тогда (1.19.5) Следовательно, на границе раздела двух диэлектриков нормальная составляющая вектора смещения непрерывна. Это справедливо не только для электростатических полей, но и для электрических полей, зависящих от времени. Выражая смещение через напряженность, формулу (1.19.5) перепишем в виде (1.19.6) Если на границе раздела двух сред находится поверхностный сторонний заряд с плотностью σ , то из теоремы Гаусса получаем Поэтому на границе раздела нормальная составляющая вектора D терпит скачок, равный σ Циркуляция же напряженности электрического поля Е по любому замкнутому контуру равна нулю и в этом случае, поэтому тангенциальная составляющая Е по-прежнему непрерывна 1.20. Закон преломления для линий смещения На границе диэлектриков линии электрического смещения терпят излом, преломляются. Найдем связь между углами падения и преломления. Из рисунка следует используя (1.19.5) и (1.16.4) ; а также (1.19.2), получим Закон преломления (1.20.1) для линий смещения Теперь рассмотрим преломление линий напряженности электрического поля. Построим аналогичный рисунок для векторов Е1 и Е2 в средах. учитывая получаем закон преломления для напряженности электрического поля Как видно, он такой же как и для смещения. |