3.1. Лекция Алгебра событий.. 1. Алгебра событий. Определение. События
 Скачать 85.72 Kb.
|
|
1. Алгебра событий. Определение. События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и наоборот. 1. Объединением или суммой событий  называется событие А , которое означает появление хотя бы одного из событий  .  2. Пересечением или произведением событий называется событие , которое заключается в осуществлении всех событий .  3. Разностью событий А и В называется событие С , которое означает, что происходит событие А, но не происходит событие В.  Дополнительным к событию А называется событие , означающее, что событие А не происходит.Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие А , по наступившему элементарному исходу можно судить о том, происходит или не происходит это событие. Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий. Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.  Следствие 1: Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.  Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу. Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.  Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.  Событие A называется независимым от события В , вероятность события A не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие A называется зависимым от события В , если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие или нет. Вероятность события В , вычисленная при условии, что имело место событие A, называется условной вероятностью события В.  Теорема (умножение вероятностей). Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.  Также можно записать:  Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения условной вероятности. Если события независимые, то  , и теорема умножения вероятностей принимает вид:  В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились. Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события. Если в результате испытания может появиться n событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна Здесь событие А обозначает наступление хотя бы одного из событий , а – вероятность противоположных событий Пример 1. Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая или одна червонная карта. Решение. Обозначим появление хотя бы одной бубновой карты – событие А , появление хотя бы одной червонной карты – событие В. Таким образом, нам надо определить вероятность события .Кроме того, события А и В – совместны, т.е. появление одного из них не исключает появления другого. Всего в колоде 13 червонных и 13 бубновых карт. При вытаскивании первой карты вероятность того, что не появится ни червонной ни бубновой карты равна , при вытаскивании второй карты - , третьей - , четвертой - .Тогда вероятность того, что среди вынутых карт не будет ни бубновых, ни червонных равна .Тогда Пример 2. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей? Решение. Вероятность выпадения 6 очков при одном броске кости равна . Вероятность того, что не выпадет 6 очков - . Вероятность того, что при броске трех костей не выпадет ни разу 6 очков, равна Тогда вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6 очков, равна Пример 3. Три стрелка стреляют по мишени. Предполагается, что события попадания в мишень для стрелков независимы и вероятности их соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что: а) все три выстрела окажутся успешными? б) хотя бы один выстрел успешный? в) только один выстрел окажется успешным? Решение. Событие А1 – первый стрелок попал в мишень; р(А1)= р1=0,9;  = 1 - р1=0,1. Событие А2 – второй стрелок попал в мишень; р(А2)= р2=0,8;  – р2=0,2.Событие А3 – третий стрелок попал в мишень; р(А3)= р3=0,7;  – р3=0,3.Событие В – все три выстрела оказались успешными. В=А1×А2×А3 ; р(В)= р (А1×А2×А3 )=р( А1 )×(А2 )×(А3 ); р(В)=0,9×0,8×0,7=0,504. Событие С– хотя бы один из выстрелов окажется успешным. Событие Д - один выстрел оказался успешным, два неуспешными. Пример 4. Из 30 экзаменационных билетов студент подготовил 25. Если он отказывается отвечать по первому взятому билету (которого он не знает), то ему разрешается взять второй. Найти вероятность успешной сдачи экзамена, если для этого студент должен ответить на первый билет, или, не ответив на первый, обязательно ответить на второй. Решение. Событие А – первый билет «хороший», событие В – второй билет «хороший». Событие С – успешная сдача экзамена. Экзамен будет сдан, если произойдет событие А, или одновременно и В, то есть  Пример 5. Вини Пух в очередной раз падает с дерева. Учитывая большой опыт медвежонка в подобных мероприятиях, вероятность того, что он зацепится за сук равна 0,4, зацепится за сук или упадет на случайно проходящего Пятачка – 0,6, зацепится за сук, а затем упадет на Пятачка – 0,1. Найти вероятность того, что он упадёт на Пятачка. Решение. А – Вини зацепится за сук; В – он упадёт на Пятачка. Пример 6. Все грани игральной кости заклеивают разноцветной бумагой. 1-3-красной, 4-6-черной. При бросании кости выпала черная грань. Найти вероятность того, что на этой грани четное число. Решение. А – событие, заключающееся в том, что выпадет четное число. В – событие, заключающееся в том, что выпадет число очков большее трёх. Тогда, |