Билет 2. 1 Числовым рядом называется бесконечная сумма чисел
 Скачать 87.49 Kb.
|
|
Билет 2 1)Числовым рядом называется бесконечная сумма чисел  Числа  называются членами ряда, а число  ‒ общим членом ряда. Суммы вида  называются частичными суммами ряда. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм:  ,который называется суммой ряда. В противном случае, если  не существует или равен бесконечности, то числовой ряда называется расходящимся и суммы не имеет.Необходимый признак сходимости: Если ряд  сходится, то  .Следствие: если  , то ряд расходится.Достаточные признаки сходимости: 1-й признак сравнения Пусть и  ‒ ряды с положительными членами, причем  для всех номеров  , начиная с некоторого. Тогда:1) если ряд сходится, то сходится и ряд ;2) если ряд расходится, то расходится и ряд .2-й признак сравнения Пусть и ‒ ряды с положительными членами, причем существует конечный и отличный от нуля предел  . Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.При использовании признаков сравнения, как правило, сравнивают исходный ряд: а) с соответствующим рядом Дирихле  , где  . Этот ряд сходится при  и расходится при  . Частным случаем ряда Дирихле (при  ) является гармонический ряд  , который расходится. При сравнении часто используют эквивалентность следующих бесконечно малых последовательностей (при  ): ̴  ̴  ̴  ̴  ̴  .б) с геометрическим рядом  , составленным из членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем  и первым членом  . Если  , то геометрический ряд расходится, если  ‒ сходится, причем его сумма находится по формуле  .Признак Даламбера Пусть ‒ ряд с положительными членами, и существует конечный предел  . Тогда, если  , то данный ряд сходится; если же  , то ‒ расходится. Если  , то ряд может сходиться или расходиться; в этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов.Признак Коши Пусть ‒ ряд с положительными членами, и существует конечный предел  . Тогда, если , то данный ряд сходится; если же , то ‒ расходится. Если , то ряд может сходиться или расходиться; в этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов.Интегральный признак сходимости Пусть ‒ ряд с положительными членами, для которого существует положительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежутке  функция  такая, что  Тогда ряд и несобственный интеграл  сходятся или расходятся одновременно.2)  Ряд Фурье имеет вид:  ,где  Итак,  3) Представить заданную функцию w=f(z), где z=x+iy, в виде w=u(x;y)+iv(x;y) и проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение ее производной в точке  .f(z)=2z2-z+i, z0=1+i Решение. f(z)=2(x+iy)2-(x+iy)+i=2x2+4xiy-2y2-x-iy+i u(x,y)=2x2-2y2-x v(x,y)=4xy-y+1 Функция является аналитической, то выполняются условия Коши – Римана:  Вычислим частные производные, du/dx=4x-1 dv/dy=4x-1 du/dy=-4y dv/dx=4y du/dx =dv/dy du/dy =-dv/dx условие Коши-Римона выполняется. Функция является аналитической, Вычислим производную в точке zo=2-i. w'(z)=4z-1 w'(2i) =3+4i |