Шпоры вышмат Мартыненко. 1. Матрицей

Название	1. Матрицей
Дата	10.01.2019
Размер	223.74 Kb.
Формат файла
Имя файла	Шпоры вышмат Мартыненко.docx
Тип	Документы #63112

1.Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n. Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю. Единичной (обозначается Е иногда I) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали. Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.
2. Суммой матриц одинаковой размерности называется матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов. Произведением матрицы на число называется матрица тех же размеров, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на число.

A+B=B+A A+B+C=A+(B+C)=(A+B)+C y*(A+B)=y*A+y*B

3. Транспонированной матрицей

для матрицы

размера

называется матрица размера

, полученная из

заменой всех ее строк столбцами с теми же порядковыми номерами. Произведение матриц: Пусть

– матрица размера

. Произведение этих матриц

– матрица

размера

, элементы которой вычисляются по формуле.

4. Второй порядок

;

Третий порядок

;

Свойства:

1) Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами.

2) Перестановка двух строк или столбцов определителя равносильна умножению его на (-1).

3) Если определитель имеет две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то он равен нулю.

4) Умножение всех элементов строки или столбца определителя на любое число равносильно умножению определителя на это число .

5) Если все элементы некоторого столбца или строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6) Если элементы двух строк или двух столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7) Если каждый элемент любого столбца или любой строки определителя представлен в виде двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей.

8) Если к элементам некоторой строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на любой общий множитель , то величина определителя не изменится.

5. Минором Mij элемента aij матрицы A n×n именуют определитель матрицы, полученной из матрицы A вычёркиванием i-й строки и j-го столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится элемент aij). Алгебраическим дополнением элемента a_ij называется соответствующий минор, умноженный на

т.е

, где i –номер строки и j -столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

6.Матрица называется обратной для матрицы , определитель которой отличен от нуля , если справедливы равенства , где E – единичная матрица порядка n на n. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной, то есть, чтобы det A не равнялся нулю.

1)Для невырожденной квадратной матрицы А справедливо равенство формула.

2)Для обратимой матрицы А выполняется равенство формула

3)Для любого отличного от нуля числа k справедливо равенств

4)Для невырожденных квадратных матриц А и В одного порядка выполняется равенство

7. Ранг матрицы – это наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля. Строки матрицы A называются линейно независимыми, если $c:\users\puffff\desktop\ранг-матрицы_html_6a6652003d07cd87.gif$ равенство возможно лишь в случае, когда все числа λ₁ = λ₂ = … = λ_k = 0

8. Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц, то есть, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица. Теорема (о базисном миноре): Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Остальные строки (столбцы) являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов).

9….

10. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы А равен рангу её расширенной матрицы А.

11. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю

12. Произведением вектора

на число

называется вектор, совпадающий по направлению с вектором

, если

, имеющий противоположное направление, если

отрицательное. Длина этого вектора равна произведению длины вектора

на модуль числа

. Суммой двух векторов

называется вектор

, который выходит из их общего начала и является диагональю параллелограмма, стороны которого векторы

. Разностью двух векторов

называют такой вектор

, который при сложении с вектором

дает вектор

. Т.е.

если

. Геометрически

представляет собой вторую диагональ параллелограмма, построенного на векторах

с общим началом и направленную из конца вектора

в конец вектора

.

13. Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.

14. Рангом системы векторов называется число, равное количеству векторов в базисе данной системы. Базисом системы векторов

называется такая подсистема данной системы, что она линейно независимой и любой вектор системы является линейной комбинацией векторов данной подсистемы.

15….

16. Уравнением линии называется соотношение y = f (x) между координатами точек, составляющих эту линию. Поверхностью в пространстве называется геометрическое место точек, прямоугольные декартовые координаты которых удовлетворяют уравнению

, которое называется уравнением поверхности.

17. Числовой последовательностью {x_n} называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, . . . ставится в соответствие некоторое число x_n.
Элемент x_n называют n-м членом или элементом последовательности. Число A называется пределом последовательности   n a , если для любого положительного числа  можно подобрать такой номер N члена последовательности, зависящий от  , что для всех членов последовательности с номерами n N будет выполнено неравенство n a A   

18. Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у, где переменная х- независимая переменная или аргумент и переменная у- зависимая переменная

Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом. Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим. Число А называется пределом функции f(x) при x→а. Если для любого положительного числа ε, найдется такое положительное число δ, что для всех х, удовлетворяющих условию 0<|x-a|< δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε.

19. Односторонний предел— предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Функция y=f(x)называется бесконечно малой(или бесконечно малой величиной) при

, если

Свойства бесконечно малых функций:

1. Алгебраическая сумма конечного числа б.м.ф. есть б.м.ф.

2. Произведение б.м.ф. на ограниченную функцию есть б.м.ф. (в том числе на постоянную или на другую б.м.ф.).

3. Частное от деления б.м.ф., предел которой отличен от 0, есть б.м.ф.

Функция y=f(x)называетсябесконечно большой(илибесконечно большой величиной) при

, если

.

Свойства бесконечно больших функций:

1. Произведение б.б.ф. на функцию, предел которой отличен от 0, есть б.б.ф.

2. Сумма б.б.ф. и ограниченной функции есть б.б.ф.

3. Частное от деления б.б.ф. на функцию, имеющую предел, есть б.б.ф.

20.Бесконечно малые функции (б.м.ф.) сравнивают по скорости их стремления к нулю: чем эта скорость выше, тем больший порядок имеет данная б.м.ф. Сравнение скоростей двух б.м.ф. производится с помощью предела их отношения.

21.

-первый замечательный предел.

- второй замечательный предел.

22….

23. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Устранимый разрыв.

Точка а называется точкой устранимого разрыва функции

, если предел функции в этой точке существует, но в точке а функция

либо не определена, либо ее значение

не равно пределу в этой точке

Разрыв первого рода.

Точка а называется точкой разрыва первого рода функции

, если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Разрыв второго рода.

Точка а называется точкой разрыва второго рода функции Точка а называется точкой устранимого разрыва функции

, если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

24. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если oна непрерывна на интервале (a, b)

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что x  [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β  [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x  [a, b] Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0.

25. Производной функции y=f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции Δy к приращению независимой переменной Δx при Δx → 0, если этот предел существует (конечный или бесконечный).

26…..

27. Функцию $f:\mathbb r^n\rightarrow \mathbb r$ , определенную в некоторой окрестности точки

, называют дифференцируемой в точке

, если ее полное приращение в окрестности этой точки можно представить в виде

$\delta f(x)=a_{1}\delta x_{1}+a_{2}\delta x_{2}+\dots +a_{n}\delta x_{n}+\alpha(\delta x)|\delta x|, \ \ \ (1)$

где коэффициенты $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ не зависят от приращений $\delta x$ , а функция $\alpha(\delta x)$ является бесконечно малой при $\delta x\rightarrow 0$ .

28….

29.Теорема Ролля :Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда существует точка c Î (a, b), в которой f ' (c) = 0. Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a, b],то по свойству непрерывных функций она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m. Геометрически теорема Ролля означает, что у графика непрерывной на отрезке [a, b] и дифференцируемой внутри этого отрезка функции, принимающей на его концах f(a) = f(b) равные значения, существует точка (c; f(c)), в которой касательная параллельна оси Оx.

Теорема Лагранжа :Если функция f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с Î (a, b), что выполняется равенство

f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).

Доказательство. Составим уравнение хорды, проходящей через точки (a, f(a)), (b, f(b))

y = f(a) + Q·(x - a),

где $c:\users\puffff\desktop\image314.png$ есть угловой коэффициент хорды. Величина является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки M₁ (a; f(a)) и M₂(b; f (b)) графика функции у = f(x), a f ' (c) — угловой коэффициент касательной к графику в точке (c; f (c)).

Теорема Коши: Если функции

непрерывны на

и дифференцируемы на

, и

, то существует точка

такая, что

30. Правило Лопиталя

Пусть

определены и дифференцируемы в окрестности точки

, за исключением, быть может, самой точки

в этой окрестности. Тогда, если существует

, то существует

и имеет место равенство

31. Пусть функция непрерывна наи имеет в каждой точкепроизводную Тогда

не убывает на

тогда и только тогда, когда

не возрастает на

тогда и только тогда, когда

32. Точка х₀ называется точкой максимума функции

, если существует такая двухсторонняя окрестность точки х₀ , что для всякой точки х ¹ х₀ этой окрестности выполняется неравенство

. Необходимое условие экстремума Если непрерывная функция

имеет экстремум в точке х₀, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует. Первый достаточный признак экстремума. Если при переходе через критическую точку х₀ (слева направо) производная

изменяет свой знак, то в точке х₀ есть экстремум причем, это максимум, если знак

меняется с плюса на минус, и это минимум, если знак

меняется с минуса на плюс. Второй достаточный признак экстремума. Пусть х₀ – стационарная точка Первый достаточный признак экстремума функции

, т.е.

и существует вторая производная

, непрерывная в точке х₀.

Если

>0, то х₀ – точка минимума функции

;

если

<0, то х₀ – точка максимума функции

;

33. График функции называется выпуклым в интервале

, если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

График функции называется вогнутым в интервале

, если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

Точка графика непрерывной функции

, отделяющая его части выпуклости и вогнутости, называется точкой перегиба.

34. Для полного исследования функции и построения её графика рекомендуется использовать следующую схему:

1) найти область определения функции;

2) найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют);

3) исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты;

4) исследовать функцию на чётность (нечётность) и на периодичность (для тригонометрических функций);

5) найти экстремумы и интервалы монотонности функции;

6) определить интервалы выпуклости и точки перегиба;

7) найти точки пересечения с осями координат, если возможно и некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Исследование функции проводится одновременно с построением её графика.

35. Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х,у) из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно значение переменной z, то она называется функцией двух переменных. z=f(x,y,)

36. Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю. Функция z = f (x, y), полное приращение Dz которой в данной точке (x,y) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительно

, и величины, бесконечно малой более высокого порядка малости относительно

, называется дифференцируемой ФНП в данной точке, а линейная часть ее полного приращения называется полным дифференциалом ФНП.

37….

38. Теорема: Пусть u = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t ) и у = у(t ) определены в области

, причём, когда

, то х и у принадлежат области D . Пусть функция u дифференцируема в точке M₀ (x₀, y₀, z₀), а функции х(t ) и у(t ) дифференцируемы в соответствующей точке t₀, то сложная функция u = f [x(t), y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t₀ и имеет место равенство:

.

Доказательство. Так как u дифференцируема по условию в точке (x₀, y₀), то её полное приращение представляется в виде

.

Разделив это соотношение на

, получим:

.

Перейдём к пределу при

и получим формулу

39. Пусть M₀(x₀; y₀; z₀) – фиксированная точка на поверхности, заданной функцией z = f(x; y) или уравнением F(x; y; z) = 0.

Касательной плоскостью к поверхности в точке M₀ называется плоскость, в которой расположены касательные к всевозможным кривым, проведенным на поверхности через точку M₀.

Нормалью называется прямая, проходящая через точку M₀ перпендикулярно касательной плоскости. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство

, то точка М₀ называется точкой максимума.

Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство

, то точка М₀ называется точкой минимума.

40.