1. Метод конечных элементов. Введение

• Название: 1. Метод конечных элементов. Введение
• Анкор: Ekz_voprosy.doc
• Дата: 23.03.2018
• Размер: 0.67 Mb.
• Имя файла: Ekz_voprosy.doc
• Тип: Документы; #17100

1.Метод конечных элементов. Введение.

Метод конечных элементов является численным методом решения дифференциальных уравнений, встречающихся в физике и технике. Возникновение этого метода связано с решением задач кос­мических исследований . Первое формальное изложе­ние метода конечных элементов дано в 1956 г. М.Тэрнером , Р.Клафом , Х.Мартином и Л.Топпом . При исследовании задачи о плоском напряженном состоянии они использовали для описания свойств треугольного конечного элемента уравнения классической теории упругости. Эта работа способствовала появлению других работ; был опубликован ряд статей с приме­нениями метода конечных элементов к задачам строитель­ной механики и механики сплошных сред. Сам термин "конечные элементы" был введен в 1960 г. Р.Клафом . Важный вклад втеоретическую разработку метода сделал в 1963 г. Мелош , кото­рый показал, что метод конечных элементов можно рассматривать как один из вариантов хорошо известного метода Релея-Рнтца. В строительной механике метод конечных элементов путем минимизации потенциальной энергии позволяет свести задачу к системе линей­ных алгебраических уравнений равновесия.

Связь метода конечных элементов с процедурой минимизации привела к широкому использованию его при решении за­дач в дру­гих областях техники. Метод применялся к задачам, описываемых уравнениями Лапласа или Пуассона. Решение этих уравнений так­же связано с минимизацией некоторого функционала. В первых публикациях с помощью метода конеч­ных элементов решались задачи распространения тепла. Затем метод был применен к задачам гидромеханики, вчастности к задаче течения жидкости в пористой среде.

Метод конечных элементов из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений и их систем. Этот прогресс был достигнут за счет совершенствования вычислительных машин, необходимых для более точного расчета конструкций. Вычислительная машина позволила ускорить проведение многих сложных численных расчетов. Изучение космического пространства потребовало выделения средств на проведение фундаментальных исследований и стимулировало совершенствование универсальных вычислительных про­грамм. Метод конечных элементов применяется при проектировании самолетов, ракет, различных пространственных оболо­чек, сооружений , машин и т. п.
2.Область применения МКЭ.

Основная идея метода конечных элементов состоит в разбиении рассматриваемой области упругого тела на ряд подоб­ластей ( конечных элементов) , в каждой из которых неизвестная величина (например, напряжения, перемещения или температура точек тела) имеет простое аналитическое выражение . Эти конечные элементы имеют общие узловые точки , в которых они связаны между собой , и в совокупности аппроксимируют форму рассматриваемой области. Задача состоит в определении неизвестных величин в узлах путем использования одного из вариационных принципов.

Выбор вариационного принципа определяет основные неизвестные функции, через которые впоследствии устанавливаются остальные неизвестные. В задачах механики деформируемого твердого тела используются следующие вариационные прин­ципы: принцип Лагранжа, в соответствии с которым варьируются перемещения; принцип Кастильяно (варьируются напря­жения), принцип Рейсснера (варьируются перемещения и напряжения), принцип Ху-Вашицы (варьируются перемещения, напряжения и деформации).

В практических расчетах чаще всего используется принцип Лагранжа. Поэтому дальнейшее наше изложение базируется на его основе , т.е. неизвестными величинами будем считать перемещения узловых точек рассматриваемой области.
3. Основная идея метода конечных элементов

Суть метода следует из его названия. Область, в которой ищется решение дифференциальных уравнений, разбивается на ко­нечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов произвольно выбирается вид аппроксимирующей функ­ции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Зна­чения функций на границах элементов (в узлах) являются решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициенты аппрокси­мирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется ре­шение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебраических уравнений имеет разрежённый вид, что существенно упрощает её решение.

С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функ­ционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобла­сти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики — общего метода исследования систем путём их расчленения.
4. Последовательность процедур алгоритма МКЭ при использовании принципа Лагранжа.

Последовательность процедур алгоритма МКЭ при использовании принципа Лагранжа может быть представлена в следую­щем виде: 1). дискретизация, 2).составление матриц жесткостей (МЖЭ) каждого отдельного элемента,3).формирование глобальной матрицы жесткости всей области (МЖС) , 4).решение МЖС –системы линейных алгебраических уравнений относительно узловых перемещений , 5).вычисление деформаций и напряжений в элементе.


5.Преимущества МКЭ.

Важнейшими преимуществами метода конечных элементов являются:

Свойства материалов смежных элементов могут быть разными. Это позволяет применять метод к телам, составленных из нескольких материалов.

Конечными элементами являются простые области (прямые линии, треугольники, прямоугольники, пирамиды, призмы). Та­ким образом, данным методом можно аппроксимировать тела со сложной формой краев.

Размеры элементов могут быть переменными. Это позволяет увеличивать или уменьшать элементы сетки.

С помощью МСЭ легко рассмотреть граничные условия с разрывной поверхностным нагрузкам, а также смешанные гранич­ные условия.

Алгоритм метода конечных элементов позволяет создать общие программы для решения задач различного класса.

Задача сводится к решению системы алгебраических уравнений большой размерности. Однако хорошая обусловленность системы разрешающих алгебраических уравнений позволяет получать достаточно точные решения для систем уравнений размерностью 5-10 миллионов и более.
6.Проблемы и недостатки МКЭ

Главный недостаток метода конечных элементов заключается в необходимости составления вычислительных программ и приме¬нения вычислительной техники. Вычисления, которые требуется проводить при использовании метода конечных элементов, слиш¬ком громоздки для ручного счета даже в случае решения очень простых задач. Для решения сложных задач необходимо исполь¬зовать быстродействующую ЭВМ, обладающую большой памятью.

В настоящее время имеются технологические возможности для создания достаточно мощных ЭВМ. Некоторые коммерче­ские в управляющие организации располагают обширными комплектами вычислительных программ. Смягчить основной недостаток метода конечных элементов могут совершенствование вычислительных про¬грамм и создание мощных ЭВМ.
7. Дискретизация области : что это такое?

Разбиение области на конечные элементы представляет собой первый шаг на пути к решению задачи, и именно этот шаг не имеет теоретического обоснования. Искусство разбиения области зависит от имеющихся инженерных навыков. Плохое или несовершенное разбиение будет приводить к ошибочным результатам, если даже остальные этапы метода осуществляются с достаточной точностью .

Дискретизация области (тела) включает задание числа, размеров и формы конечных элементов , которые используются для построения дискретной модели реального тела. Как инженеры мы сталкиваемся при этом с довольно деликатной ситуацией. С одной стороны, элементы должны быть выбраны достаточно малыми, чтобы получались приемлемые результаты, а с дру­гой стороны, приме¬нение достаточно крупных элементов сокращает вычислительную работу. Нужно иметь некоторые об­щие соображения об окончательных значениях, с тем ,чтобы можно было уменьшить размеры элементов в тех областях, где ожидаемый результат может очень сильно меняться (большие величины градиентов), и увеличить их там, где ожидаемый результат почти постоянен.
8.Типы конечных элементов.

При решении задач методом конечных элементов используются элементы различных типов:

Одномерные элементы: Простейшим среди элементов является одномерный элемент. Схематически он обычно изобража­ется в виде отрезка, хотя и имеет поперечное сечение. Площадь поперечного сечения может изменяться по длине, но во многих встречающихся задачах она считается постоянной. Наиболее часто такой элемент используется в одномерных задачах распространения тепла и в задачах строительной механики при расчете стержневых элементов конструкций (типа ферм).

Двумерные элементы: Для построения дискретной модели двумерной области используются два основных семейства элементов: треугольники и четырехугольники. Стороны линейных элементов каждого семейства представляют собой прямые линии. Квадратичные и кубические элементы могут иметь как прямолинейные, так и криволинейные стороны или те и другие. Возможность моделирования криволинейных границ достигается добавлением узлов в середину сторон элементов. Оба семейства элементов могут быть использованы одновременно внутри области, если только они имеют одинаковое число узлов на стороне. Толщина элемента может быть или постоянной, или являться функцией координат.

Трехмерные элементы: Наиболее часто встречающимися трехмерными элементами яв­ляются тетраэдр и параллелепипед. В обоих случаях линейные элементы ограничены прямолинейными сторонами (плоскостями), тогда как элементы более высо­кого порядка могут иметь в качестве границ криволинейные поверхности. При разбие­нии трехмерного тела трудно наглядно представить расположение элементов в дискретной модели, поэтому, вероятно, более жела­тельным из этих двух типов элементов является параллелепипед.

Осесимметричный конечный элемент
9. Разбиение области на элементы

Процесс дискретизации может выть разделен на два этапа: разбиение тела на элементы и нумерация элементов и узлов. По­следний этап логически совершенно прост, но усложняется в связи с нашим желанием повысить эффективность вычислений.

В этом разделе рассматривается разбиение двумерной области на линейные треугольные элементы. Двумерная область вы­брана для удобства иллюстрации; кроме того, идеи, представленные здесь, могут быть обобщены на случай трехмерного тела. Дискретизация одномерного тела почти тривиальна, так как она сводится только к делению отрезка на более короткие участки.

Разбиение двумерного тела на треугольники выделено потому, что этот элемент — простейший из двумерных элементов в смысле аналитической формулировки. Требование простоты элемента связано с тем, что при моделировании области должно быть использовано большое число элементов, поэтому деление области на треугольники , вероятно, наилучший способ раз­биения.
10. Как производится нумерация узлов

Нумерация узлов была бы тривиальной операцией, если бы но­мера узлов не влияли на эффектив­ность вычислений, необходимых для получения решения. Использование метода конечных элемен­тов приводит к системе линейных алгебраических уравнений, большое число коэффициентов которой равно нулю. Рассмотрение матрицы коэффициентов системы показывает, что все ненулевые коэффициенты и некоторые нулевые находятся между двумя ли­ниями, параллельными главной диагонали (рис. 2.10). Расстояние между главной диагональю



Рис. 2.10. Ширина полосы ненулевых элементов (коэффициентов) матрицы системы уравнений. (буквы С обозначает ненуле­вые коэффициенты.)
и этими линиями называется шириной полосы матрицы. Все коэффициенты вне этой полосы равны нулю, и они не должны сохраняться в машинной памяти. Правильная вычислительная программа использует только те коэффициенты матрицы, которые находятся внутри указанной полосы. Уменьше­ние ширины полосы приводит к сокращению размеров требуемой машинной памяти, а также к сокращению времени вычислений. Ширина полосы Ввычисляется по формуле

B = ( R+1) Q (2.1)

где R - максимальная по элементам величина наибольшей разно­сти между номерами узлов в отдельном элементе, Q - число не­известных (число степеней свободы) в каждом узле. Мини-мизация величины Всвязана с минимизацией R, что, в частности, может быть осуществлено последовательной нумерацией узлов при движении в направлении наименьшего размера тела. Два разных спо­соба нумерации узлов в теле показаны на рис. 2.11, а и б. Наи­большие разности между номерами узлов для первых элементов на рис. 2.11, а и б равны 7 и 21 соответственно. Значения Rдля полных наборов элементов равны 9 и 21. Для ширины полосы получаются значения 10 и 22 , если в каждом узле отыскивается по одной неиз­вестной величине ,


V

б
Рис. 2.11. Два примера нумерации узлов при разбиении на элементы двумерного тела.

или значения 20 и 44, если в каждом узле рассматриваются две неизвестные величины. Правильная ну­мерация узлов в этом примере сокращает машинную память более чем на 50%.

Нумерация элементов представляет собой простую процедуру. Обычно принято номер элемента по­мещать в круг ( или заключать в круглые скобки) с тем, чтобы избежать путаницы с номерами узлов. Элемент (1) на рис. 2.11, а содержит узлы с номерами 1, 2 и 8. Нумерация элементов не влияет на вы­числительные аспекты задачи.
11. Матрица жесткости (МЖЭ) элемента.

Матрица жесткости k отдельного элемента при использовании принципа Лагранжа связывает узловые перемещения конечного элемента с узловыми внешними силами этого элемента :



здесь - вектор узловых перемещений конечного элемента ,

– вектор узловых сил конечного элемента .

Физический смысл произвольного элемента kij – это реакция в i –й связи от единичного перемещения j-й связи. По теореме о взаимности kij =kji , поэтому k — симметричная матрица

Матрица жесткости отдельного конечного элементазависит от вида конечного элементаи в общем случае может быть составлена разными путями.
12 Глобальная матрица жесткости всей области (МЖС)


13. Как формируется глобальной матрицы жесткости всей области (МЖС)

Глобальная матрица жесткости (МЖС) – матрица K формируется для нахождения узловых перемещений всей рассматри­ваемой области ( векторa ) при заданной внешней нагрузке ( векторa ) по формуле:



Это основное уравнение МКЭ . МЖС может быть получена путем непосредственного сложения матриц жесткостей (МЖЭ) всех конечных элементов, на которые была разбита рассматриваемая область , в одну матрицу . Обычно такое сложение очередной МЖЭ в МЖС проводится сразу после вычисления этой МЖЭ , что позволяет экономить память ЭВМ. При этом , если сетка разбиения на КЭ нерегулярная, то используется , так называемая, матрица индексов , которая позволяет пра­вильно суммировать элементы МЖЭ с «нужными» элементами МЖС . Для регулярной сетки разбиения на КЭ процесс рас­кладки МЖЭ в МЖС (формирования МЖС) обычно автоматизирован.

Учет граничных условий. Полученная на основе указанных методов матрица жесткости МЖС является вырожденной, по­скольку в соответствии с уравнениями равновесия заданной системы часть уравнений (для пространственных систем – шесть, а для плоских – три) окажутся взаимно зависимыми. Корректировка этой матрицы при учете граничных условий при­водит к невырожденной системе линейных алгебраических уравнений. Иначе говоря , поскольку рассматриваемая область необходимо прикреплена к «земле» , соответствующие узловые перемещения равны нулю. Удаление соответствующих строк и столбцов в МЖС и есть эта корректировка .

14. Учет внешних связей при формировании МЖС
15.Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения

Решение МЖС – системы линейных алгебраических уравнений относительно узловых перемещений означает вычисление вектора узловых перемещений.

Для решения системы алгебраических уравнений используются стандартные программы, имеющиеся в математическом обеспечении ЭВМ, и специально подготовленные и лучшим образом учитывающие симметрию и структуру матрицы жест­кости системы – редкозаполненность или ленточность. Вычисление искомых деформаций и напряжений в элементе

После определения узловых перемещений в соответствии с известными соотношениями теории упругости могут быть опре­делены деформации и напряжения.
16. Сравнение точных и итерационных методов решения СЛАУ
17.Решение систем линейных алгебраических уравнений прямым методом Гаусса.

Пусть исходная система выглядит следующим образом



Матрица  называется основной матрицей системы,  — столбцом свободных членов.

Тогда, согласно свойству элементарных преобразований над строками, основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):



При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных ^[3].

Тогда переменные  называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число , где , то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.

Пусть  для любых .

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при са­мом левом  (, где  — номер строки):

,
где 

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно глав­ных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.
18. Методы, используемые при решении систем линейных алгебраических уравнений

Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последователь­ного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.

-На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками сис­тему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди эле­ментов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отно­шению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. По­сле того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и про­должают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

-На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все полу­чившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все перемен­ные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта проце­дура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответст­вует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

19. К какому виду методов относится метод Гаусса для решения системы линейных

алгебраических уравнений ( СЛАУ) ?

20. Из каких основных частей состоит метод Гаусса для решения системы линейных

алгебраических уравнений ( СЛАУ) ?
21. Основные действия в прямом ходе при решении системы линейных

алгебраических уравнений ( СЛАУ) методом Гаусса?
22. Основные действия в обратном ходе при решении системы линейных

алгебраических уравнений ( СЛАУ) методом Гаусса
23. Вектор внешних усилий ( вектор правых частей) СЛАУ.

24. Перемещения, рассматриваемые на концах стержня в местной системе координат

25. Реакции, рассматриваемые на концах стержня в местной системе координат

26. Физический смысл произвольного элемента матрица жесткости

27. Для чего используется таблица реакций отдельного стержня ?

28. Расчет составной балки . МЖЭ элементов балки .

29. МЖС составной балки .

30. Узловые перемещения составной балки .

31.Отличие местной системы координат от общей системе координат
32. Матрица жесткости стержня в общей системе координат

На примере плоской стержневой системы рассмотрим построение матрицы жесткости одного отдельного стержня. На ри­сунке 1а показан некоторый стержень в местной системе координат [x^/, y^/] , где

ось x^/ - проходит вдоль продольной оси стержня, а ось y^/ - ей перпендикулярна, а также отмечены направления перtмещений в виде вектора:

z' = | z'₁ z'₂ z'₃ z'₄ z'₅ z'₆ |^Т (1)









На рисунке 1б показаны связи, налагаемые на оба конца стержня и устраняющие перемещения z^/₁, z^/₂, z^/₃, z^/₄, z^/₅, z^/₆

На рисунке 1в изображены опоры которым соответствуют перемещения. Вектору перемещений на рисунке 1г соответст­вуют реакции опор. Вектор реакций опор:

R' = | R'₁R'₂R'₃R'₄R'₅R'₆|^Т (2)

Вектор перемещения z' и и вектор внешних сил R' связаны через матрицу жесткости:
K' ^. z' = R' (3)
где

( МЖЭ )

Физический смысл произвольного элемента матрицы K'_ij - это реакция в i –й связи от единичного перемещения j-й связи.

Например : К'₁₂ - это реакция , которая появляется во 2-й опоре в случае перемещения 1-й опоры на единичный угол. К'₂₅ - это реакция , которая появляется в 5-й опоре в случае перемещения 2-й опоры на единичный угол.
33. Составление матрицы жесткости МЖС для всей конструкции

Перейдем теперь от описания одного элемента к описанию совокупности элементов. Пусть в узлах одного элемента дейст­вуют внеш­ние силы, определяемые вектором R . Если бы тело состояло из одного элемента, то канонические уравнения ме­тода сил имели бы вид (19). На самом деле к одному узлу сетки обычно примыкает несколько конечных элементов, каждый, из которых вносит вклад в матрицу жест­кости (например, на рис. 5 к левому нижнему узлу,где приложена сила Р ,примыкают три элемента). Поэтому для каждого i -узла суммарная матрица жесткости будет вклю­чать сумму элементов матриц жесткости всех примыкающих к узлу элементов, т. е.

(20)

в то время как узловое перемещение для всех этих элементов будет общим и определяется соответствующей компонентой век­тора . Сумма в (20) берется по всем элементам, примыкающим к вершине i, а их может быть много. Обычно такое сло­жение очередной МЖЭ в МЖС проводится сразу после вычисления этой МЖЭ , что позволяет экономить память ЭВМ. При этом , если сетка разбиения на КЭ нерегулярная, то используется , так называемая, матрица индексов , которая позволяет правильно суммировать элементы МЖЭ с «нужными» элементами МЖС . Для регулярной сетки разбиения на КЭ процесс формирования МЖС обычно автоматизирован.

Введем вектор перемеще­ний всех узлов сетки конечных элементов , который составим из векторов перемещений ка­ждого узла

где п — число неопорных узлов сетки.

Через F обозначим вектор сосредоточенных усилий во всех узлах сетки (кроме опорных):

В узлах сетки , где приложены внешние силы , соответствующие f i элементы вектора сосредоточенных усилий F будут равны этим силам , а остальные элементы вектора F из условия равновесия будут равны нулю.

Матрица жесткости всего сооружения (МЖС) составляется из матриц жесткостей (МЖЭ) всех конечных элементов , на которые было разбито сооружение (конструкции).

Общая матрица жесткости для всей конструкции выразится в виде

[ K ] =

и будет представлять собой симметричную (по теоремы Бетти о взаимности перемещений) матрицу. Окончательно зависи­мость, связывающая известные усилия F и неизвестные перемещения  будет иметь вид

[ K ] ^.  = F (21)

Решение уравнений (21) может быть найдено при помощи как точных, так и приближенных методов. Наиболее эффектив­ными считаются метод исключения Гаусса и метод сопряжен­ных градиентов , а итерационные методы и методы релаксации, как правило, менее эффективны. В каждом конкретном случае эффективность того или иного метода зависит от размерности и структуры общей матрицы жесткости [K] и от вычислительных возможностей компьютера .
34. Дискретизация расчетной схемы фермы

Дискретизациярасчетной схемы состоит в следующих шагах ( рис.5 б) :

а). Нумерация стержней – номера стержней указаны в кружочках .Всего в нашем




рис.5 б

примере ZEL=7 стержней ( конечных элементов ).

б). Указание осей координат - ось X – горизонтальная и ось Y- вертикальная

в). Нумерация перемещений узлов с указанием их направлений – направления

линейных перемещений совпадает с направлением осей координат , а направления угловых перемеще­ний - по часовой стрелке . Нулевые перемещения в узлах со связями не нумеруются. Всего в нашем примере N=12 узловых перемещений.

г). Составление таблицы параметров и индексов для нашего примера. Это таблица исходных данных - таблица параметров и индексов предназначена для ввода в программу расчета на ЭВМ. Каждый стержень – в отдельной строке таблицы. Все данные в одной системе –СИ. (таблица 7.1)

Кроме данных из этой таблицы в программу расчета на ЭВМ вводятся глобальные переменные N=12 и ZEL= 7.

35. Как правильно нумеровать стержни и узлы фермы?




Нумерация стержней – номера стержней указаны в кружочках .Всего в нашем примере ZEL=7 стержней ( конечных элементов ). Нумерация перемещений узлов с указанием их направлений – направления

линейных перемещений совпадает с направлением осей координат , а направления угловых перемещений - по часовой стрелке . Нулевые перемещения в узлах со связями не нумеруются. Всего в нашем примере N=12 узловых перемещений.
36. Последовательность вычисления внутренних усилий в стержне.

Сейчас нам известен вектор . Для любого отдельного стержня в общей системе координат внешние силы можно определить по формуле (19):

R = k ^. z (19’)

где k(6,6) - матрица жесткости отдельного стержня (МЖЭ) ,

z(6) –вектор перемещений отдельного стержня,

R (6) –значения внешних сил отдельного стержня

Вектор перемещений отдельного стержня z(6) определяется с помощью соответствующей строки матрицы индексов из век­тора .

В местной системе координат внешние силы определяют по формуле(16).

R'=V-R(16)



х', у' – местная система координат (рассмотрена в лекции 3).

В этой системе ось х проведена вдоль стержня. После нахождения вектора R' напряжения вычисляются по обычным формулам и сопротивления материалов.

Нормальное напряжениe в сечении D:

R’₅(R’₄ - R’₆)* y / Jz
Касательное напряжениe в сечении D по формуле Журавского :

R’₆* Sz^отс / (Jz* b)

где R’₄ - сосредоточенный изгибающий момент на правом конце стержня ,

R’₅ - сосредоточенная продольная сила на правом конце стержня ,

R’₆ - сосредоточенная поперечная сила на правом конце стержня ,

A – площадь сечения;

Jz - осевой момент инерции сечения;

Sz^отс - статический момент отсеченной части сечения,

b - ширина сечения

40. Общая характеристика метода конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения дифференциальных уравнений с частными производными, а также интегральных уравнений, возникающих при решении задач прикладной физики. Метод широко используется для ре­шения задач механики деформируемого твёрдого тела, теплообмена, гидродинамики и электродинамики.

Суть метода следует из его названия. Область, в которой ищется решение дифференциальных уравнений, разбивается на ко­нечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов произвольно выбирается вид аппроксимирующей функ­ции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Зна­чения функций на границах элементов (в узлах) являются решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициенты аппрокси­мирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется ре­шение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебраических уравнений имеет разрежённый вид, что существенно упрощает её решение.

С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функ­ционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобла­сти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики — общего метода исследования систем путём их расчленения.
41. Последовательность процедур общей схемы алгоритма МКЭ

Последовательность процедур алгоритма МКЭ при использовании принципа Лагранжа может быть представлена в следую­щем виде: 1). дискретизация, 2).составление матриц жесткостей (МЖЭ) каждого отдельного элемента,3).формирование глобальной матрицы жесткости всей области (МЖС) , 4).решение МЖС –системы линейных алгебраических уравнений от­носительно узловых перемещений , 5).вычисление деформаций и напряжений в элементе.

42. Что такое решение МЖС – системы линейных алгебраических уравнений?
43. Достоинства и недостатки метода МКЭ

В настоящее время область применения метода конечных элементов очень обширна и охватывает все физические задачи, которые могут быть описаны дифференциальными уравнениями. Наиболее важными преимуществами метода конечных элементов, благодаря которым он широко используется, являются следующие :

1. Свойства материалов смежных элементов не должны быть обязательно одинаковыми. Это позволяет применять метод к телам, составленным из нескольких материалов.

2. Криволинейная область может быть аппроксимирована с помощью прямолинейных элементов или описана точно с помо­щью криволинейных элементов. Таким образом, методом можно пользоваться не только для областей с «хорошей» формой границы .

3. Размеры элементов могут быть переменными. Это позволяет укрупнить или измельчить сеть разбиения области на эле­менты , если в этом есть необходимость.

4. С помощью метода конечных элементов не представляет труда рассмотрение граничных условий с разрывной поверхност­ной нагрузкой, а также смешанных граничных условий.

5. Указанные выше преимущества метода конечных элементов могут быть использованы при составлении достаточно общей программы для решения частных задач определенного класса. Например, с помощью программы для осесимметричной за­дачи о распространении тепла можно решать любую частную задачу этого типа. Факторами, препятствующими расширению круга задач, решаемых методом конечных элементов, являются ограниченность машинной памяти и высокая стоимость вы­числительных работ.

Главный недостаток метода конечных элементов заключается в необходимости составления вычислительных программ и применения вычислительной техники. Вычисления, которые требуется проводить при использовании метода конечных эле­ментов, слишком громоздки для ручного счета даже в случае решения очень простых задач. Для решения сложных задач необходимо использовать быстродействующую ЭВМ, обладающую большой памятью.

В настоящее время имеются технологические возможности для создания достаточно мощных ЭВМ. Некоторые коммерче­ские в управляющие организации располагают обширными комплектами вычислительных программ. Смягчить основной недостаток метода конечных элементов могут совершенствование вычислительных программ и создание мощных ЭВМ.
44. Что такое дискретизация области?

Разбиение области на конечные элементы представляет собой первый шаг на пути к решению задачи, и именно этот шаг не имеет теоретического обоснования. Искусство разбиения области зависит от имеющихся инженерных навыков. Плохое или несовершенное разбиение будет приводить к ошибочным результатам, если даже остальные этапы метода осуществляются с достаточной точностью .

Дискретизация области (тела) включает задание числа, размеров и формы конечных элементов , которые используются для построения дискретной модели реального тела. Как инженеры мы сталкиваемся при этом с довольно деликатной ситуацией. С одной стороны, элементы должны быть выбраны достаточно малыми, чтобы получались приемлемые результаты, а с дру­гой стороны, приме¬нение достаточно крупных элементов сокращает вычислительную работу. Нужно иметь некоторые об­щие соображения об окончательных значениях, с тем ,чтобы можно было уменьшить размеры элементов в тех областях, где ожидаемый результат может очень сильно меняться (большие величины градиентов), и увеличить их там, где ожидаемый результат почти постоянен.
45. Что такое матрица жесткости?

Матрица жесткости k отдельного элемента при использовании принципа Лагранжа связывает узловые перемещения конечного элемента с узловыми внешними силами этого элемента :

здесь - вектор узловых перемещений конечного элемента;– вектор узловых сил конечного элемента.Физический смысл произвольного элемента kij – это реакция в i –й связи от единичного пере­мещения j-й связи. По теореме о взаимности kij =kji , поэтому k — симметричная матрица

Матрица жесткости отдельного конечного элементазависит от вида конечного элементаи в общем случае может быть составлена разными путями.
46. Матрица индексов , ее назначение.

47.Основные виды матриц

48.Основные операции над матрицами
49.Одномерный конечный элемент

Простейшим среди элементов является одномерный элемент. Схематически он обычно изображается в виде отрезка (рис.2.1) , хотя и имеет поперечное сечение. Площадь поперечного сечения может изменяться по длине, но во многих встречающихся задачах она считается постоянной. Наиболее часто такой элемент используется в одномерных задачах распространения тепла и в задачах строительной механики при расчете стержневых элементов конструкций (типа ферм).

Простейший одномерный элемент имеет два узла, по одном на каждом конце. Элементы более высокого порядка, трехуз­ловые (квадратичные) и четырехузловые (кубические), изображены на рис. 2.1,6 и в. Одномерный элемент может быть кри­волинейным (рис. 2.1, в) при условии, что длина дуги входит в уравнения, определяющие элементы.


50. Двумерный конечный элемент

Для построения дискретной модели двумерной области используются два основных семейства элементов: треугольники и четырехугольники. Стороны линейных элементов каждого семейства представляют собой прямые линии (рис. 2.2, а и б). Квадратичные и кубические элементы могут иметь как прямолинейные, так и криволинейные стороны или те и другие (рис. 2.2,в и г). Возможность моделирования криволинейных границ достигается добавлением узлов в середину сторон элементов. Оба семейства элементов могут быть использованы одновременно внутри области, если только они имеют одинаковое число узлов на стороне (рис. 2.2, г). Толщина элемента может быть или постоянной, или являться функцией координат.


51. Трехмерный конечный элемент

Наиболее часто встречающимися трехмерными элементами являются тетраэдр и параллелепипед (рис. 2.3,а и б). В обоих случаях линейные элементы ограничены прямолинейными сторонами (плоскостями), тогда как элементы более высокого порядка могут иметь в качестве границ криволинейные поверхности. При разбиении трехмерного тела трудно наглядно представить расположение элементов в дискретной модели, поэтому,

вероятно, более желательным из этих двух типов элементов является параллелепипед. На, рис. 2.3, в показан другой вид элементов, которые используются при рассмотрении тел цилиндрической формы. Эти элементы подобны двумерному тре­угольнику и позволяют еще учесть изменение неизвестной величины вдоль третьей координаты.

На рис. 2.4 показан элемент, широко используемый в задачах для тел вращения. Этот элемент образуется поворотом тре­угольника на 3600 . Подобный же элемент может быть получен вращением четырехугольника





52. Осесимметричный конечный элемент

На рис. 2.4 показан элемент, широко используемый в задачах для тел вращения. Этот элемент образуется поворотом тре­угольника на 3600 . Подобный же элемент может быть получен вращением четырехугольника



53. Как называется матрица у которой число строк равно числу столбцов ?

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы.
54. Как называется матрица у которой число строк не равно числу столбцов ?

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной.
55. Что такое верхний треугольник квадратной матрицы ?

56. Что такое нижний треугольник квадратной матрицы ?


57. Что такое главная диагональ квадратной матрицы ?

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.




58. Что такое побочная диагональ квадратной матрицы ?

Побочной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого нижнего угла в правый верхний угол

59. Как называется квадратная матрица, у которой элементы, симметричные относительно главной диагонали равны между собой?