Подготовка к тестированию по начертательной геометрии. 1. Метод проекций (методы проецирования метод ортогонального проецирования комплексный чертеж точки, прямой и плоскости)
 Скачать 3.31 Mb.
|
|
1. Метод проекций (методы проецирования; метод ортогонального проецирования; комплексный чертеж точки, прямой и плоскости). Метод проекций - отображение геометрической фигуры на плоскость путем проецирования ее точек. Проецированием называется процесс построения изображения с помощью проецирующих лучей. Методы проецирования. Центральное проецирование Задается плоскость проекций По и центр проецирования S и точка А, не лежащая в плоскости. Проведем из S через А прямую до пересечения с плоскостью По . Получим ц  ентральную проекцию Ао точки А.S– центр или полюс проецирования По - плоскость проекций SAо - проецирующий луч (проецирующая прямая) Ао - центральная проекция точки А на плоскость 1 свойство: при заданных плоскости проекций и центре проецирования одна точка в пространстве имеет одну центральную проекцию. Но если есть проекция точки, S и П, то точку в пространстве найти нельзя. 2 свойство: каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией бесконечного множества точек.  Центральным проецированием может быть построена проекция любой линии или поверхности как множество проекций всех её точек. Для построения проекций линий, поверхностей или тел часто достаточно построить проекции лишь некоторых характерных точек. ПРИМЕР: При построении на По проекции ∆ АВС достаточно построить проекции Ао, Во, Со трех его точек – вершин А, В и С. Центральное проецирование применяют для изображения предметов в перспективе, но для технического черчения этот метод неудобен.  Параллельное проецирование Его можно рассматривать как частный случай центрального, при котором центр проецирования удален в бесконечность. Применяют параллельные проецирующие прямые, проведенные в заданном направлении. Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проецирование называют прямоугольным или ортогональным.   При параллельном проецировании сохраняются все свойства центрального, а так же возникают следующие свойства: а)  . Проекции взаимно // прямых //, а отношение длин отрезков таких прямых равно отношению длин их проекций б). Плоская фигура, // плоскости проекций проецируется на эту плоскость в натуральную величину в). Если прямая перпендикулярна направлению проецирования, то её проекцией является точка Е  сли есть центр параллельной проекции, мы не сможем определить положение точки в пространстве.Гаспар Монж предложил взять две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (горизонтальную П1 и фронтальную П2) и используя метод прямоугольного проецирования направить проецирующие лучи перпендикулярно плоскостям. П1 – горизонтальная плоскость проекций П2 -фронтальная плоскость проекций X- ось проекций- линия пересечения плоскостей П1 и П2 или П1 /П2 AxA1 иAxA2 – перпендикулярны осиX–линии связи Если есть в пространстве точка А, то опускаем из неё перпендикуляр на П1 (горизонтальная проекция точки А – А1) и на плоскость П2 (фронтальная проекция точки А – А2) Но данное наглядное изображение точки в системе П1/П2 для целей черчения неудобно. Преобразуем его так, чтобы горизонтальная плоскость проекций совпала с фронтальной, образуя одну плоскость чертежа. Это преобразование осуществляется путем поворота вокруг оси Х плоскости П1 на угол 90о вниз. При этомAxA2 иAxA1образуют один отрезок, расположенный на перпендикуляре к оси проекций Х, называемом линией связи. Получили чертеж под названием эпюр Монжа. Комплексный чертеж точки.  Получили эпюр Монжа для трех плоскостей или комплексный чертеж точки А H(П1) - горизонтальная плоскость проекций V(П2) - фронтальная плоскость проекций W(П3) - профильная плоскость проекций А1- горизонтальная проекция точки А А2- фронтальная проекция точки А А3- профильная проекция точки А Две проекции точки лежат на одной линии связи, перпендикулярной оси. Отрезки проецирующих линий от точки А до плоскостей проекций – координаты точки (X А , У А ,Z А). Задаются числами. ОАх- абсцисса точки А–координата ХА- расстояние от А до П3 .ОАх=А1Ау =АzА2 ОАу- ордината точки А–координата УА- расстояние от А до П2. . ОАу=АхА1 ОАz- аппликата точки А–координатаZА - расстояние от А до П1. ОАz=АхА2 Комплексный чертеж прямой Для этого необходимо и достаточно спроецировать две конечные точки отрезка.   Прямая общего положения – прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций. Прямая частного положения– прямая, параллельная или перпендикулярная плоскости проекций. Прямые уровня-это прямые, параллельные одной из плоскостей проекций, на которую они проецируются в натуральную величину. Они находятся на одном уровне от соответствующей плоскости. Г   оризонтальная прямая– прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций П1.А1 В1 – натуральная величина (НВ) отрезка АВ  Ф  ронтальная прямая– прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций П2.П   рофильная прямая– прямая, параллельная профильной плоскости проекций П3.Проецирующие прямые Это прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, на которую они проецируются в точку. Они совпадают с направлением проецирования. Проецирующие прямые одновременно параллельны двум другим плоскостям проекций. Г  оризонтально-проецирующая прямая– это прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций П1 . Фронтально-проецирующая прямая– прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций П2 .  Профильно-проецирующая прямая– прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций П3 . Комплексный чертеж плоскости Плоскость в пространстве определяют три ее точки (например A,B,Cна рис. 1.21), не принадлежащие одной прямой, поэтому на комплексном чертеже всякая плоскость может быть задана проекциями этих точек (рис. 1.22). Для большей наглядности соединим точки А,В иС прямыми и получим задание плоскости треугольником АВС. При этом следует помнить, что плоскость безгранична и поэтому при решении задач некоторые построения могут выходить за пределы треугольника.  Для решения конкретных задач плоскость задают и другими сочетаниями образующих ее геометрических объектов: двумя пересекающимися прямыми (a∩b)(рис. 1.24), двумя параллельными прямыми (с║d) (рис.1.25), прямой и точкой, не принадлежащей ей, (e,A) (рис. 1.26), и, наконец, следами плоскости на плоскостях проекций. Последний вариант является частным случаем задания плоскости двумя пересекающимися прямыми, а именно горизонталью и фронталю (h∩f) (рис. 1.27). 2. Точка, прямая, плоскость и их взаимное расположение (определение метрических характеристик отрезка прямой линии; прямая и точка в плоскости; главные линии плоскости; плоскости частного положения; взаимная параллельность плоскостей, пересекающиеся плоскости; взаимное пересечение прямой и плоскости) Определение метрических характеристик отрезка прямой линии Если отрезок прямой занимает общее положение, то определить истинную величину прямой на плоскостях проекций нельзя. Поэтому для определения длины отрезка по его проекциям используют способ прямоугольного треугольника: длина отрезка измеряется гипотенузой прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка на плоскость, а другим – разность расстояний концов его до этой плоскости. Рассмотрим прямую общего положения в пространстве.  Рис.  Треугольник АВВ1–прямоугольный. Гипотенуза АВ является натуральной длиной отрезка (рис. 9, а), а проекция А1В1– катетом. Второй катет ВВ1определяет превышение одного конца отрезка над другим относительно плоскости проекций П1и проецируется без искажения на фронтальную плоскость проекций П2. Угол= ВАВ1– это угол наклона прямой АВ к горизонтальной плоскости проекций. Построения см. на рис. 9, б. Из точки В1 проведём перпендикуляр к проекции А1В1, отложим на нём отрезок В1Во= ВхВ2и соединим прямой точки А1и Во. Построенный треугольник А1ВоВ1= АВВ1(рис. 9, а), так как равны их катеты и угол между ними составляет 90°. Следовательно, отрезок А1Во равен отрезку АВ и угол В1А1Воопределяет угол наклона отрезка АВ к горизонтальной плоскости проекций. Аналогичное построение можно сделать на фронтальной плоскости проекций, только в качестве второго катета нужно будет взять разность глубин его концов В1Вх (рис. 9, в). Прямая и точка в плоскости Принадлежность прямой плоскости: 1) прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости; 2) прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости и параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости. Из этих двух признаков принадлежности прямой плоскости можно сделать следующие выводы: 1) если плоскость задана следами, то прямая принадлежит плоскости, если следы прямой лежат на одноименных следах плоскости; 2) прямая принадлежит плоскости, если она с одним следом плоскости имеет общую точку, а другому следу параллельна. Рассмотрим плоскость Q, общего положения, задана следами (рисунок 17). Прямая NM принадлежит этой плоскости, поскольку ее следы лежат на одноименных следах плоскостей. На рисунке 18 показана плоскость, заданная пересекающимися прямыми t и n. Чтобы построить прямую, лежащую в этой плоскости, достаточно провести произвольно одну из проекций, например, горизонтальную c1, а затем спроецировать точки пересечения этой прямой с прямыми плоскости на фронтальную плоскость. Фронтальная проекция прямой c2 пройдет через полученные точки.  Рисунок 17 Рисунок 18 Согласно второму положению на рисунке 19 построена прямая h, принадлежащая плоскости Р, - она имеет точку N (N1, N2) общую с плоскостью Р и параллельна прямой, лежащей в плоскости - горизонтальному следу Р1.   Рисунок 19 Рисунок 20 Рассмотрим плоскости частного положения. Если прямая или фигура принадлежит горизонтально-проецирующей плоскости (рисунок 20), то горизонтальные проекции этих геометрических элементов совпадают с горизонтальным следом плоскости. Если прямая или плоская фигура принадлежит фронтально-проецирующей плоскости, то фронтальные проекции этих геометрических элементов совпадают с фронтальным следом плоскости. Принадлежность точки плоскости: Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости. Пример: Дана плоскость Р (a || b). Известна горизонтальная проекция точки В, принадлежащей плоскости Р. Найти фронтальную проекцию точки В (рисунок 21). На рисунках 22, 23, 24 показано фрагментарно решение этой задачи: 1) проведем через В1 (известную проекцию точки В) любую прямую, лежащую в плоскости Р, - для этого прямая должна иметь с плоскостью две общие точки. Отметим их на чертеже - М1 и K1; 2) построим фронтальные проекции этих точек по принадлежности точек прямым, т. е. М2 на прямой а, K2 на прямой b. Проведем через фронтальные проекции точек фронтальную проекцию прямой;   Рисунок 21 Рисунок 22 3) по признаку принадлежности точки плоскости, построим фронтальную проекцию точки В на прямой М2K2. Т. о. точка В принадлежит плоскости Р так как она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости.   Рисунок 23 Рисунок 24 Главные линии плоскости Среди прямых линий, принадлежащих плоскости, особое значение имеют прямые, занимающие частное положение в пространстве: 1  . Горизонтали h - прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций (hÎ АВС, h//P1, h2//Ох,h3// Оy 2. Фронтали f - прямые, расположенные в плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций (fÎ АВС, f//P2, f1// Ох, f3// Оz)(рис.56). 3  . Профильные прямые р - прямые, которые находятся в данной плоскости и параллельны профильной плоскости проекций (рÎ АВС, р//P3, р1^ Ох,р2^ Ох)Следует заметить, что следы плоскости можно отнести тоже к главным линиям. Горизонтальный след - это горизонталь плоскости, фронтальный - фронталь и профильный - профильная линия плоскости.  4. Прямые, принадлежащие плоскости и образующие с плоскостью проекций наибольший угол называются линиями наибольшего наклона данной плоскости к плоскости проекций. С помощью линий наибольшего наклона определяют двугранные углы между заданной плоскостью и соответствующей плоскостью проекций. Прямые плоскости, перпендикулярные соответствующим линиям уровня являются линиями наибольшего наклона. Линия наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций называется линией ската. Такое название объясняется тем, что эта линия является траекторией, по которой шарик скатывается с данной плоскости. По отношению к плоскостям П2 и П3 целесообразнее употреблять название линия наибольшего наклона. Линия ската и её горизонтальная проекция образуют линейный угол j , которым измеряется двугранный угол, составленный данной плоскостью и горизонтальной плоскостью проекций (рис.58). Горизонтальная проекция линии ската плоскости общего положения перпендикулярна горизонтальной проекции горизонталь этой плоскости. Фронтальная и профильная проекции ската строятся по её принадлежности плоскости. Плоскости частного положения
Если плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций, то она называется плоскостью уровня. Следовательно, плоскость уровня всегда параллельна одной из плоскостей проекций. Существует три вида плоскостей уровня:
Взаимная параллельность плоскостей Параллельность плоскостей определяется на основании теоремы: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны друг другу. Прямые, определяющие плоскость, могут быть общего и частного положения. Плоскости, заданные следами, взаимно параллельны в том случае, если два пересекающихся следа одной плоскости параллельны двум одноименным следам другой плоскости (рис. 39). Взаимное положение плоскостей общего положения определяют любые два следа. Параллельность профильно-проецирующих плоскостей определяют с помощью профильных следов. На рис. 40 показаны случаи, когда эти плоскости параллельны и пересекаются. Рассмотрим два примера построения плоскости, параллельной данной.  Пример 1. Через точку А надо провести плоскость, параллельную плоскости, заданной треугольником BCD (рис. 41). Проведем через точкуА прямые AM и AN, соответственно параллельные сторонам ВС и CD треугольника. Эти две пересекающиеся в точке А прямые определяют искомую плоскость.
 3.Многогранники (гранные поверхности, способы построения сечений, линии и точки на поверхностях) К гранным относятся поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей l по ломаной направляющей m. При этом если одна точка S образующей неподвижна, создается пирамидальная поверхность (рис. 97), если образующая при перемещении параллельна заданному направлению S, то создается призматическая поверхность (рис. 98).   Рис. 97 Пирамидальная поверхность, Призматическая поверхность Элементами гранных поверхностей являются: вершина S (у призматической поверхности она находится в бесконечности), грань (часть плоскости, ограниченная одним участком направляющей m и крайними относительно него положениями образующей l ) и ребро (линия пересечения смежных граней). Пирамида — многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольник, а боковые грани — треугольники с общей вершиной S. На комплексном чертеже пирамида задается проекциями ее вершин и ребер с учетом их видимости. Видимость ребра определяется с помощью конкурирующих точек (рис. 100).   Рис. 100 Видимость ребра пирамиды, Призма с горизонтально проецирующей поверхностью Призма — многогранник, у которого основание — два одинаковых и взаимно параллельных многоугольника, а боковые грани — параллелограммы. Если ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, такую призму называют прямой. Если у призмы ребра перпендикулярны какой-либо плоскости проекций, то боковую поверхность ее называют проецирующей. На рис. 101 дан комплексный чертеж прямой четырехугольной призмы с горизонтально проецирующей поверхностью. При работе с комплексным чертежом многогранника приходится строить на его поверхности линии, а так как линия есть совокупность точек, то необходимо уметь строить точки на поверхности. Любую точку на гранной поверхности можно построить с помощью образующей, проходящей через эту точку. На рис. 100 в грани ACS построена точка М с помощью образующей S-5.       4. Поверхности (образование и геометрические свойства элементарных поверхностей – цилиндр, конус, сфера, тор), линейчатые и нелинейчатые поверхности, поверхности вращения, сечения сферы, конуса, цилиндра, линии и точки на поверхностях, взаимное пересечение поверхностей, частные случаи пересечения поверхностей второго порядка, теорема Монжа). К поверхностям вращения относятся поверхности, образующиеся вращением линии l вокруг прямой i, представляющей собой ось вращения. Они могут быть линейчатыми, например конус или цилиндр вращения, и нелинейчатыми или криволинейными, например сфера. Определитель поверхности вращения включает образующую l и ось i. Коническая поверхность вращения образуется вращением прямой i вокруг пересекающейся с ней прямой — оси i (рис. 104, а). Точка М на поверхности построена с помощью образующей l и параллели h. Эту поверхность называют еще конусом вращения или прямым круговым конусом.  Рис. 104 Коническая поверхность вращения Цилиндрическая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг параллельной ей оси i (рис. 104, б). Эту поверхность называют еще цилиндром или прямым круговым цилиндром. Сфера, образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 104, в). Точка A на поверхности сферы принадлежит главному меридиану f, точка В — экватору h, а точка М построена на вспомогательной параллели h'. Тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось расположена в пределах образующейся окружности, то такой тор называется закрытым (рис. 105, а). Если ось вращения находится вне окружности, то такой тор называется открытым (рис. 105, б). Открытый тор называется еще кольцом.  Рис. 105 Тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси      § 65. Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей При построении линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей секущие плоскости, принятые в качестве посредников, могут быть и общего, и частного положения. Более широкое применение находят плоскости частного положения.     |
