ОММСЭП. Оммсэп. 1 основы математического моделирования социальноэкономических процессов как учебная
 Скачать 403.47 Kb.
|
|
1 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СОЦИАЛЬНО- ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ КАК УЧЕБНАЯ ДИСЦИПЛИНА Задания и упражнения Задание 1. Изучить основные приемы моделирования производственных условий. При разработке и построении модели успех зависит от освоения разработчиком приемов моделирования – способов отражений в модели условий, зависимостей, закономерностей моделируемой системы. При решении практических задач воз- никает множество всевозможных ситуаций, а многообразие состояний моделируемых систем требует знания широкого ар- сенала приемов моделирования. Накопление необходимого разнообразия приемов и получения навыков умелого их при- менения приходят по мере приобретения опыта работы по ре- шению оптимизационных задач. На отдельных фрагментах различных задач рассмотрим основные приемы моделирования математической формализа- ции экономических процессов. Запись ограничений с постоянными, фиксированными объемами ресурсов, работ, производимой продукции Первое и наиболее общее ограничение для любого аграр- ного производства – это условие, что под посевы выращивае- мых культур можно отвести пашни не больше, чем имеется. Это условие можно записать так: 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 + 𝑥 5 + 𝑥 6 ≤ 480, (1) где x 1 , x 2 …. x 6 - площади посева отдельных сельскохозяйственных культур; 480 – площадь пашни, которую можно занять под посевы. Пускай, x 2 – площадь посева сои, а в этом году под сою можно отвести не более 100 га. В модели это можно отразить так: x 2 100. Смысл приема состоит в том, что свободный член неравен- ства «фиксированное число – его величина» в процессе реше- ния задачи не изменяется. В первом случае в распоряжении имеется 480 га пашни и под посев больше отвести нельзя, а во втором случае можно засеять соей не больше 100 га. Этим приемом пользуются при моделировании использо- вания производственных ресурсов, отражении в модели объе- мов выполняемых работ, количества поставляемой продукции, и во всех других случаях, когда моделируемая величина фик- сирована. Запись ограничений с изменяющимися объемами ресурсов, работ, производимой продукции На практике встречаются случаи, когда в модели необхо- димо отразить объемы производственных ресурсов, выполня- емых работ или количество продукции не фиксированным числом, а предусмотреть возможность их изменения в опреде- ленных пределах. Например, занять под посевы зерновых культур не менее 200 га, но не более 300 га; произвести не ме- нее 500 т картофеля, но не более 700 т; имеющейся техникой выполнить за год 40 тыс. усл. га механизированных работ, но не более 50 тысяч. Записать эти условия одной строкой, одним линейным неравенством нельзя, здесь можно применить прием двусторонних ограничений. Запись таких условий осу- ществляется в виде двух ограничений с использованием соот- ношений типа « » и « »: – по посевам зерновых: { 𝑥 1 ≥ 200 𝑥 1 ≤ 300 ; – по производству картофеля: { 𝑥 2 ≥ 500 𝑥 2 ≤ 700; – по объему механизированных работ: { 𝑥 3 ≥ 40000 𝑥 3 ≤ 50000. Когда объем производственных ресурсов, работ или про- дукции частично неизвестен и должен быть найден, в процессе решения задачи применяют прием введения вспомогательной переменной. Допустим, фермер выращивает пшеницу и картофель на площади x 1 и x 2 га соответственно. Ограничение по затратам труда в модели выражено соотношением: 30𝑥 1 + 400𝑥 2 ≤ 6000, (2) где 30 x 1 – затраты труда в чел.-ч на возделывание пшеницы; 400 x 2 – на возделывание картофеля; 6000 – запас труда членов хозяйства в чел.-ч. Необходимо отразить в модели привлечение сезонных ра- ботников на время уборки картофеля, причем объем привлека- емого дополнительно труда находится в процессе решения за- дачи, так как зависит от структуры производства. Это условие можно записать так: 30𝑥 1 + 400𝑥 2 ≤ 6000 + 𝑥 3 , (3) где x 3 – вспомогательная переменная, обозначающая объем дополнительно привлекаемых сезонных трудовых ресурсов в чел.-ч. Перенесем x 3 в левую часть и получим соотношение: 30𝑥 1 + 400𝑥 2 −𝑥 3 , ≤ 6000. Запись ограничений с помощью отраженной переменной Для моделирования расчетных величин, которые не явля- ются основными переменными, но необходимы для их нахож- дения, в модель вводят вспомогательные переменные, отража- ющие общее количество и называемыми – отраженными пере- менными. Пусть в состав стада крупного рогатого скота в хозяйстве входят: x 1 – поголовье коров, x 2 – нетелей, x 3 – телок и x 4 – быч- ков старше одного года. Записать условие, что удельный вес коров в стаде может колебаться от 40 до 50 % общего поголо- вья стада. Данное требование в модели можно выразить так: { 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 = 𝑥 5 𝑥 1 ≥ 0,4𝑥 5 𝑥 1 ≤ 0,5𝑥 5 , где x 5 – общее поголовье стада крупного рогатого скота. После преобразования модель приняла вид: { 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 = 𝑥 5 𝑥 1 − 0,4𝑥 5 ≥ 0 𝑥 1 − 0,5𝑥 5 ≤ 0 Запись ограничений с помощью коэффициентов пропорциональности В модели часто приходится отражать соотношения между отдельными переменными и их группами. Это необходимо для моделирования экономических, агротехнических, зоотехниче- ских, биологических и других особенностей производства. Например, в модели требуется учесть, что в племенном стаде на десять кур должен приходиться один петух. Обозна- чим поголовье самок х 1 , а самцов – х 2 Тогда 𝑥 2 = 0,1𝑥 1 , после преобразования 𝑥 2 − 0,1𝑥 1 = 0. Этим приемом пользуются при моделировании структуры посевных площадей, стада и рационов кормления животных, баланса кормов, минеральных и органических удобрений. Задание 2. Формализовать и представить в виде системы неравенств и уравнений заданные условия производства. Пример. Требуется составить систему ограничений по использова- нию 5000 га пашни и 900 га пастбищ. На пашне могут возде- лываться: озимая пшеница, озимый ячмень, картофель, сахар- ная свекла. При этом площадь зерновых не должна превышать 50 % пашни, а площадь пропашных культур должна нахо- диться в пределах от 1500 до 2700 га. В случае производствен- ной необходимости 300 га пастбищ может быть трансформи- ровано в пашню. Требуется представить эти производствен- ные условия в формализованном виде. 1. Введем условные обозначения: x 1 – площадь посева озимой пшеницы, га; x 2 – площадь посева озимого ячменя, га; x 3 – площадь посева картофеля, га; x 4 – площадь посева сахарной свеклы, га; x 5 – площадь пастбищ, используемых для выпаса, га; x 6 – площадь пастбищ, трансформируемых в пашню, га. 2. Запишем условия и систему ограничений модели: – ограничения по площади пашни, га x 1 + x 2 + x 3 + x 4 5000 + x 6 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 – x 6 5000 – ограничения по площади пастбищ, га x 5 + x 6 900 – ограничения по площади посева зерновых, га x 1 + x 2 2500 – ограничения по минимальной площади пропашных, га x 3 + x 4 1500 – ограничения по максимальной площади пропашных, га x 3 + x 4 2700 – ограничения по трансформации пастбищ в пашню, га x 6 300 Упражнения Вариант 1 Задача 1. Составить условие использования пашни, пло- щадью 6000 га, на ней можно высевать следующие культуры: пшеницу, овес, ячмень, кукурузу. 300 га пашни отводится под чистый пар. Задача 2. Допустимая по зоотехническим нормам пита- тельность концентрированных кормов может составлять в ра- ционе коровы от 2,9 до 4,5 корм. ед., грубых кормов от 4,3 до 5,7 корм. ед. Составить условия по включению этих групп кор- мов в рацион, если в хозяйстве имеются комбикорм, ячменная мука, солома, сено многолетних трав. Задача 3. В хозяйстве имеется 4 тыс. га пашни. На ней вы- севаются пшеница, ячмень, овес, кормовые корнеплоды, куку- руза на силос, многолетние травы. Зерновые могут занимать от 60 до 70 % площади пашни. Записать ограничения по ис- пользованию площади пашни и структуре посевных площадей. Вариант 2 Задача 1. На одну голову крупного рогатого скота в сутки требуется не менее 6 корм. ед. Имеются следующие корма: сено многолетних трав, силос кукурузный, сенаж, ячмень, овеС. Суточное потребление силоса должно быть не более 6 кг. Записать эти условия. Задача 2. Составить ограничения по площади пашни и трудовым ресурсам, если известно, что площадь пашни – 10 тыс. га, а затраты труда могут составлять от 300 тыс. чел.- ч. до 400 тыс. чел.-ч. Затраты труда равны: на 1 га посева пше- ницы 16 чел.-ч., озимой ржи – 14, ячменя – 13, кукурузы на силос – 28, многолетних трав на сено –7, на одну голову круп- ного рогатого скота – 29 чел.-ч. Задача 3. Из зерновых культур в хозяйстве высеваются пшеница, горох, овес. Пшеница должна составлять не более 70 % от общей площади зерновых. Записать это условие. Вариант 3 Задача 1. Записать условие, определяющее площадь зе- мельного участка, на котором высеваются зерновые, однолет- ние травы, кормовые корнеплоды и овощи. Задача 2. В кормовой рацион могут включаться ячмень, сено многолетних трав, солома, кукурузный силос. Записать условие, что грубые корма могут составлять в рационе не бо- лее 40 % общей его питательности. Задача 3. В хозяйстве высеваются зерновые: пшеница, овес, горох. Овес должен составлять не более 40 % от общей площади зерновых. Записать условие по структуре посевных площадей, используя отраженную переменную для площади зерновых культур. Вариант 4 Задача 1. Составить условие обеспеченности кормами од- ной коровы, которой в сутки требуется не менее 10,3 корм. ед. Из кормов имеются сено, солома, силос кукурузный, концен- траты. Задача 2. Площадь естественных пастбищ в хозяйстве со- ставляет 2100 га. В случае необходимости она может быть уве- личена на 800 га. Ввести переменные и составить систему ограничений по использованию пастбищ и возможности уве- личения их площади. Задача 3. В хозяйстве возделывают горох, ячмень и овес на фураж. Урожайность с 1 га гороха равна 15 ц, ячменя – 20 ц, овса – 18 ц. Составить условия, определяющие наличие кон- центрированных кормов в натуре и кормовых единицах. Вариант 5 Задача 1. В кормовой рацион могут включаться ячмень, солома, сено многолетних трав, кукурузный силос. Записать условие, что грубые корма в рационе могут составлять не бо- лее 40 % общей его питательности. Задача 2. В задаче 1 записать условие по структуре кормо- вого рациона, введя отраженную переменную по питательно- сти грубых кормов. Задача 3. Записать требование продажи не менее 75 тыс. ц зерна, в том числе пшеницы не менее 70 тыс. ц. Выход товар- ного зерна с 1 га посева пшеницы составляет 23 ц, ячменя – 20 ц. Вариант 6 Задача 1. Хозяйство должно продать не менее 14 тыс. ц молока и 3500 ц мяса. Выход товарного молока на одну корову составляет 2300 кг, выход мяса на голову молодняка крупного рогатого скота – 160 кг. Составить условия по продаже про- дукции животноводства. Задача 2. Из зерновых в хозяйстве высеваются пшеница, овес, горох. Пшеница должна составлять не более 70 % от об- щей площади зерновых. Записать это условие. Задача 3. В задаче 2 записать условие по структуре посев- ных площадей, используя отраженную переменную для пло- щади зерновых культур. Вариант 7 Задача 1. В состав стада крупного рогатого скота входят коровы, нетели, телки и бычки старше одного года, телки и бычки до одного года. Записать, что удельный вес коров в стаде может колебаться в пределах от 40 до 50 %, а удельный вес нетелей – от 8 до 10 %. Задача 2. С помощью отраженной переменной, обознача- ющей общее поголовье, записать условия задачи 1. Задача 3. Составить условие использования пашни, если известно, что ее площадь 5500 га, на ней можно высевать сле- дующие культуры: пшеницу, овес, ячмень, кукурузу, однолет- ние травы, часть пашни отводится под чистый пар. Вариант 8 Задача 1. Площадь пашни в хозяйстве составляет 6 тыс. га, естественных пастбищ – 1500 га, естественных сенокосов – 900 га. Почвенные условия позволяют до 400 га пастбищ трансформировать в пашню и до 300 га – в естественные сено- косы. На пашне выращиваются зерновые культуры и кукуруза на силос. Составить ограничения по использованию земель- ных угодий и возможности их трансформации. Задача 2. В хозяйстве имеется 4 тыс. га пашни. На ней вы- сеиваются пшеница, овес, ячмень, кормовые корнеплоды, ку- куруза на силос, однолетние травы. Зерновые могут занимать от 60 до 70 % площади пашни. Записать ограничения по ис- пользованию площади пашни и структуре посевных площа- дей. Задача 3. В задаче 2 с помощью отраженной переменной для площади зерновых культур записать ограничения по структуре посевных площадей и площади пашни. Вариант 9 Задача 1. В хозяйстве выращиваются пшеница, кукуруза на силос, многолетние травы. Затраты труда на 1 га, соответ- ственно, равны 1,8; 3,2; 1,3 чел.-дн. Для их возделывания име- ются трудовые ресурсы в количестве 100 тыс. чел.-дн. В слу- чае недостатка последних можно использовать дополнительно 14 тыс. чел.-дн. привлеченных работников. Составить ограни- чения по использованию трудовых ресурсов и возможности их пополнения. Задача 2. Записать условие, определяющее площадь зе- мельного участка, на котором высеваются зерновые, однолет- ние травы, кормовые корнеплоды и овощи. Задача 3. В кормовой рацион входят овес, сено многолет- них трав, солома, силос кукурузный. Записать условие, что грубые корма в рационе могут составлять не более 35 % общей его питательности. Вариант 10 Задача 1. Допустимая по зоотехническим нормам пита- тельность концентрированных кормов в рационе коров может составлять от 2,7 до 4,2 корм. ед., грубых кормов – от 4,0 до 5,5 корм. ед. Составить условия по включению этих групп кор- мов в рацион, если в хозяйстве имеются ячменная мука, сено многолетних трав, солома, комбикорм. Задача 2. На 1 голову крупного рогатого скота в сутки тре- буется не менее 6 корм. ед. Имеются следующие корма: сено многолетних трав, сенаж, силос кукурузный, овес, ячмень. Су- точное потребление силоса должно быть не более 6 кг, сена – не менее 2 кг. Записать эти условия. Задача 3. Из овощных культур в хозяйстве высеваются ка- пуста, лук, перец, помидоры, баклажаны. Капуста должна со- ставлять не более 20 % от общей площади овощных культур. Записать это условие. Вариант 11 Задача 1. В хозяйстве возделываются овес, ячмень и горох на фураж. Урожайность с 1 га овса равна 26 ц, ячменя – 52 ц, гороха – 23 ц с 1 га. Требуется составить условия, определяю- щие наличие концентрированных кормов в натуре и кормовых единицах. Задача 2. В хозяйстве будут высевать следующие куль- туры: пшеницу, ячмень, овес, кукурузу, однолетние травы, овощи, картофель. Составить условие использования пашни, если известно, что ее площадь равна 5800 га. Задача 3. Составить условие обеспеченности кормами од- ной коровы, которой в сутки требуется не менее 10,2 корм. ед. Из кормов имеются концентраты, силос кукурузный, сено, со- лома. Вариант 12 Задача 1. Записать требование продажи не менее 60 тыс. ц зерна, в том числе пшеницы не менее 50 тыс. ц. Выход товар- ного зерна с 1 га посева яровой пшеницы составляет 48 ц, яч- меня – 52 ц. Задача 2. Составить ограничения по площади пашни и ис- пользованию трудовых ресурсов, если известно, что площадь пашни 12,5 тыс. га, а затраты труда могут составлять от 1 до 1,1 млн. чел.-ч. Затраты труда составляют: на 1 га посева озимой пшеницы – 16 чел.-ч., озимой ржи – 14 чел.-ч., ячменя – 13 чел.- ч., кукурузы на силос – 28 чел.-ч., многолетних трав на сено – 6 чел.-ч., на 1 голову крупного рогатого скота – 28 чел.-ч. Задача 3. Используя условие задачи 2, составить ограниче- ния по затратам трудовых ресурсов с помощью отраженной переменной. Вариант 13 Задача 1. Площадь естественных пастбищ в хозяйстве со- ставляет 2500 га. В случае необходимости она может быть уве- личена на 500 га. Ввести переменные и составить систему ограничений по использованию пастбищ и возможности уве- личения их площади. Задача 2. В кормовой рацион могут включаться ячмень, кукуруза, сено многолетних трав, сено однолетних трав, со- лома, однолетние травы на зеленый корм, кукурузный силос. Записать условие, что грубые корма в рационе могут состав- лять не более 40 % общей его питательности. Задача 3. В задаче 2 записать условие по питательности ра- циона, введя отраженную переменную. Вариант 14 Задача 1. Составьте систему ограничений, отражающую следующие условия. На 3000 га пашни можно возделывать зерновые, технические и кормовые культуры. Требуется под зерновые отвести не менее 60 % посевной площади. Хозяйство планирует выращивать пшеницу, ячмень, кукурузу на крупу, овес, сахарную свеклу, кормовую свеклу, подсолнечник, су- данку. Задача 2. Смоделируйте ограничения по площади пашни и трудовым ресурсам, если известно, что площадь пашни в хо- зяйстве 7500 га, а запас труда может составить от 165 до 190 тыс. чел.-ч. На 1 га посева пшеницы озимой требуется 22 чел.-ч., кукурузы на силос – 25 чел.-ч., многолетних трав на сено – 12 чел.-ч., сахарную свеклу – 40 чел.-ч., на одну голову крупного рогатого скота – 28 чел.-ч. Задача 3. Записать условие, определяющее площадь зе- мельного участка, на котором высевают зерновые, кормовые, технические и овощные культуры. Зерновые культуры могут занимать не более половины посевных площадей. Вариант 15 Задача 1. В состав стада крупного рогатого скота входят коровы, нетели, телки и бычки старше 1 года, телки и бычки до 1 года. Удельный вес коров в стаде может колебаться от 35 до 45 %, а удельный вес нетелей – от 8 до 12 %. Отразите об- щее поголовье скота с помощью вспомогательной переменной и запишите условия производства. Задача 2. Составьте ограничения по использованию пашни, если планируется высевать пшеницу, ячмень, овес, рожь, горох, кукурузу, сахарную свеклу. Часть пашни будет отведена под чистые пары. Общая площадь пашни в хозяй- стве – 9300 га. Задача 3. Записать условие обеспечения кормами дойной коровы, которой в сутки требуется не менее 14,7 корм. ед. В хозяйстве имеются следующие корма: сено люцерны, сено суданки, сенаж, солома, силос кукурузный, комбикорм. Контрольные вопросы 1. Что такое модель? 2. Что отражается в модели? 3. Что понимается под объектом моделирования? 4. Что такое моделирование? 5. В каких случаях целесообразно использовать модель и моделирование? 6. В чем состоит основное достоинство моделирования? 7. По каким признакам можно судить о качестве модели? 8. В чем заключается основная особенность имитацион- ного моделирования? 9. Для чего используются модели? 10. Как классифицируются модели? 11. Какие этапы проходит процесс создания модели? 12. Какие виды моделирования различают? 13. Дайте определения математической модели и матема- тического моделирования. 14. Что такое экономико-математическое моделирова- ние? 15. Какие методы экономико-математического моделиро- вания вы знаете? 16. На какие классы разбивается совокупность математи- ческих моделей? 17. Какие модели характеризуют математическое модели- рование? 18. Дайте определение имитационного моделирования, его целесообразность и эффективность. 19. Что такое имитационная модель? 20. Перечислите этапы итерационного процесса имитаци- онного моделирования. 21. В чем заключается цель имитационного моделирова- ния? 22. Дайте определение понятием валидации и верифика- ция в математическом моделировании 23. Что такое внешняя адекватность математической мо- дели? 24. Каковы основные функции и этапы математического моделирования? 25. Какова структура модели математического програм- мирования? 26. На каких условиях основано математическое модели- рование |