Отчёт лабораторная работа численные методы 6. 1 Постановка задачи

• Название: 1 Постановка задачи
• Анкор: Отчёт лабораторная работа численные методы 6
• Дата: 25.10.2022
• Размер: 76.8 Kb.
• Имя файла: Otchyot_6.docx
• Тип: Документы; #754299

2

1 Постановка задачи

В рамках данной лабораторной работы необходимо решить задачу Коши на сетке с постоянным шагом.

1.1 Описание параметров.

Входные параметры:

input – имя файла исходных данных;

f – имя процедуры – функции с двумя параметрами (функция f вычисляет значение правой части уравнения 𝑦^′ = 𝑓⁽𝑥, 𝑦⁾, 𝑥 ∈ [𝐴, 𝐵]).

Выходные параметры:

output - имя файла выходных данных;

Icod - выходная переменная – код завершения подпрограммы, принимающая следующие значения:

Icod = 0 – нет ошибки, решение получено; Icod = 2 – ошибка входных данных.
Структура файла исходных данных:

Отдельно в каждой строке - значения Aи B.

Структура выходного файла:

Первая и вторая строки – x - координата точки интегрирования и полученное приближенное значение в этой точке.

2 Метод решения

Пусть на отрезке ^[𝑥₀, 𝑥₀ + 𝑋^] требуется найти численное решение задачи Коши

𝑦^′ = 𝑓⁽𝑥, 𝑦⁾ (1)

0
^{𝑦⁽𝑥

⁾ = 𝑦₀

(2)

на сетке узлов 𝑥₀ < 𝑥₁ < 𝑥₂ < ⋯ < 𝑥_𝑁 < 𝑥₀ + 𝑋 (3)

2.1 Метод Рунге-Кутта второго порядка

В данной работе рассмотрен следующий метод второго порядка:

𝑦 = 𝑦 + ^{1 (}𝐾 + 𝐾



⁾ (121)

1 0 ₂ 1 3
𝐾₁ = ℎ𝑓⁽𝑥₀, 𝑦₀⁾,

ℎ ℎ

𝐾₂ = ℎ𝑓 (𝑥₀ + ₂ , 𝑦₀ + ₂ 𝐾₁),

𝐾₃ = ℎ𝑓⁽𝑥₀ + ℎ, 𝑦₀ − ℎ𝐾₁ + 2ℎ𝐾₂⁾

Расчетная формула при условии, что
𝑦^′ = 𝑓⁽𝑥⁾


0
^{𝑦⁽𝑥 ⁾ = 𝑦

0
то есть правая часть уравнения (1) зависит только от 𝑥, принимает вид
ℎ

𝑦₁ = 𝑦₀ + ₂ (𝑓₀ + 𝑓⁽𝑥₀ + ℎ⁾)

3 Алгоритм

1. 
   Прочитать входные данные.
   
2. 
   Проверить входные данные: если A > B, то вывести ошибку Icod
   

= 2 о неточных входных данных.

3. 
   Посчитать начальный шаг ℎ = ^B−A
   

10

4. 
   Запустить цикл до определенного количества повторений. При каждой итерации:
   
   1. 
      получить значение 𝑦₁ в точке 𝑥₀ + ℎ с постоянным шагом;
      
   2. 
      записать в выходной файл значение 𝑥₀ и полученное приближенное значение в этой точке.
      
   3. 
      запомнить результат приближенного значения в предыдущей точке и прибавить к 𝑥₀ шаг h.
      
5. 
   После последней итерации выйти из цикла и завершить программу.
   

Тест №1

Возьмем функцию

4 Тестирование

𝑦 = 𝑥³, 𝑥 ∈ [0, 2]

𝑦^′ = 3𝑥<sup>2

{</sup>𝑦⁽2⁾ = 8

Входные данные: 0

2

Выходной файл:

Тест №2

Возьмем функцию


𝑦 = 6𝑥³, 𝑥 ∈ ^[0, 4^]

𝑦^′ = 18𝑥<sup>2

{</sup> 𝑦⁽0⁾ = 0

Входные данные: 0

4

Выходной файл:

Тест №3

Изменим предыдущий пример таким образом, чтобы выдавалась ошибка входных данных. Для этого поменяем границы отрезка местами, чтобы 𝐴 > 𝐵.

Возьмем функцию
𝑦 = 6𝑥³, 𝑥 ∈ ^[0, 4^]

𝑦^′ = 18𝑥<sup>2

{</sup> 𝑦⁽0⁾ = 0
Входные данные: 4

0

Выходной файл:

Тест №4

Возьмем функцию


𝑦 = 𝑥, 𝑥 ∈ [0, 2]

𝑦^′ = 1

^{𝑦⁽0⁾ = 0

Входные данные: 0

2

Выходной файл: