Основа Теории цепей. 1. Способы представления и параметры
 Скачать 2.67 Mb.
|
|
Содержание 1. Способы представления и параметры 2. Элементы R,L,C в цепи синусоидального тока 3. Алгебра комплексных чисел 4. Символический метод 5. Законы цепей в символической форме Список литературы 1. Способы представления и параметры Переменный ток (напряжение) – это ток (напряжение), изменяющийся во времени либо по величине, либо по направлению, либо и по величине и по направлению. Частным случаем переменного тока является периодический ток. Минимальный промежуток времени, по истечении которого повторяются мгновенные значения в том же порядке, называется периодом T с функции. Синусоидальные токи и напряжения – это частный случай периодических токов и напряжений:  Величину обратную периоду называют частотой:  Гц.Периодические токи и напряжения характеризуются: - амплитудным значением (Im, Um) – максимальным значением за период; - средним значением (I0 ,, IСР , U0,, UСР)  ;- средневыпрямленным значением (Iср. в., Uср. в.)  ;- действующим значением (I, U, Е, J). Действующим значением периодического тока  называется такая величина постоянного тока, которая за период оказывает такое же тепловое действие, что и периодический ток.Пусть  тогда мгновенная мощность переменного тока:  .Энергия, выделяющаяся за период в сопротивлении  .Пусть по тому же сопротивлению R протекает постоянный ток, тогда мгновенная мощность постоянна:   .Приравнивая энергии  и  , получим величину постоянного тока, оказывающего такое же тепловое действие, что и периодический ток, т.е. действующее значение периодического тока: .Аналогично записывают формулу для действующего значения напряжения. Активная мощность Р - этосреднее значение мгновенной мощности за период:  .Наиболее распространенным периодическим током является синусоидальный ток. Это связано с тем, что периодические сигналы , встречающиеся в электротехнике, можно представить в виде суммы синусоидальных функций кратных частот (ряд Фурье) и синусоидальный режим является наиболее экономичным режимом в цепях (минимальные потери). В стандартной форме синусоидальные токи и напряжения записывают следующим образом:  и  -  и  - амплитудные значения,-  - называется фазой и показывает состояние, в котором находится изменяющаяся величина.-  - угловая частота,-  - начальная фаза, т.е. фаза в момент начала отсчета времени. На графике начальную фазу определяют от момента перехода синусоиды с отрицательных значений к положительным до начала координат. Два колебания одинаковой частоты совпадают по фазе, если у них одинаковые начальные фазы; сдвинуты по фазе, если у них разные начальные фазы. Синусоида с большей начальной фазой опережает синусоиду с меньшей начальной фазой. Если сдвиг фаз равен  говорят, что синусоиды в противофазе. Если сдвиг фаз  , то синусоиды в квадратуре.Для синусоидальных колебаний имеем:       Интеграл от второго слагаемого =0 (см. вывод среднего значения). В цепях синусоидального тока и напряжения мощность в каждый момент времени различна. Поэтому из равенства теплового действия выводят понятие активной мощности Р. 2. Элементы R,L,C в цепи синусоидального тока Пусть через каждый элемент протекает синусоидальный ток . Тогда, согласно компонентным уравнениям и с учетом синусоидальности тока получаем:  ; ; Напряжения на элементах в цепи синусоидального тока так же синусоидальны и имеют ту же частоту, но другие амплитуды и начальные фазы. Учитывая стандартную запись напряжения  , получаем
Напряжение на сопротивлении совпадает с током по фазе, напряжение на емкости отстает от тока на 900, напряжение на индуктивности опережает ток на 900. Определим мгновенную и активную мощности на каждом элементе:   ;  ;  .для R  для L  для C  Таким образом, мгновенная мощность во всех элементах изменяется с двойной частотой тока. Однако мгновенная мощность в сопротивлении R содержит еще постоянную составляющую, поэтому активная мощность получается больше нуля. Индуктивность и емкость активной мощности не потребляют: половину периода мощность поступает от внешней цепи, а во вторую половину периода эти элементы отдают мощность во внешнюю цепь. В те моменты времени, когда индуктивность потребляет активную мощность, емкость генерирует её и наоборот. Так как сопротивление R потребляет активную мощность, то его называют активным сопротивлением. Индуктивность и емкость активной мощности не потребляют, поэтому их называют реактивными сопротивлениями и обозначают соответственно  Oм и  Oм. Для расчета режима в цепи синусоидального тока можно записать систему уравнений по законам Кирхгофа, используя полученные соотношения между напряжением и током на элементах. Это будет система тригонометрических уравнений. Уравнения будут содержать синусоиды различной амплитуды и начальной фазы и необходимо проводить много тригонометрических преобразований, что не всегда удобно. Поэтому разработан специальный метод анализа режимов цепей синусоидального тока – метод комплексных величин или символический метод. 3. Алгебра комплексных чисел Комплексным числом называют пару чисел, изображающих вектор на комплексной плоскости. Будем изображать комплексное число заглавной буквой с чертой внизу (  ). Вводится мнимая единица:   Комплексное число может быть представлено в разных формах: – показательная форма:   - это вектор на комплексной плоскости, где - длина (модуль) вектора, - аргумент или фаза. Фазу всегда отсчитывают против часовой стрелки от положительного направления вещественной оси;– алгебраическая форма:  – это точка на комплексной плоскости, где  - координаты по вещественной и мнимой осям, причем:   ,  , , если  , = , если  < .Переход от одной формы записи комплексного числа к другой:  .Складывать комплексные числа предпочтительно в алгебраической форме либо геометрически по правилу параллелограмма:  Вычитать комплексные числа удобно в алгебраической форме либо геометрически по правилу параллелограмма (вектор разности направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого):  Умножать и делить комплексные числа удобнее в показательной форме:  ;  .Комплексные числа, не зависящие от времени, обозначают заглавными буквами с чертой внизу:  , а комплексно сопряженные им числа обозначают еще и звездочкой сверху : это числа, у которых та же вещественная часть, а мнимая с обратным знаком. Комплексные числа, которые являются функциями времени, обозначают заглавными буквами с точкой сверху:  , а комплексно сопряженные им числа обозначают заглавными буквами со звездочкой сверху  : это числа, у которых тот же модуль, но фаза с обратным знаком. Так как  , то умножить комплексное число на j это значит, не изменяя его модуля, увеличить фазу на 900 или повернуть соответствующий вектор на 900 против часовой стрелки. Разделить на j - наоборот: .4. Символический метод Пусть есть комплексное число с линейно изменяющимся во времени аргументом:  . На комплексной плоскости это число представляет неизменный по длине вектор, вращающийся против часовой стрелки с постоянной скоростью .  Любую синусоидальную функцию времени можно представить в виде проекции на вещественную или мнимую ось соответствующего вращающегося вектора.  Проекция вектора на мнимую ось дает синусоидально изменяющуюся функцию времени:  Вводят специальное обозначение (символы):  - комплекс амплитудного значения тока или - комплекс амплитудного значения напряжения. Они содержат информацию об амплитуде и начальной фазе синусоидального колебания.Комплекс амплитудного значения деленный на  , дает комплекс действующего значения: и  .Комплекс амплитудного или комплекс действующего значения позволяют перейти к мгновенному значению, например:   ;  .5. Законы цепей в символической форме 1. Первый закон Кирхгофа Алгебраическая сумма мгновенных значений токов ветвей, сходящихся в одном узле, равна нулю.  .Подставим вместо каждого мгновенного значения тока его представление в виде комплекса амплитудного значения, тогда  .Так как в любой момент времени нулю равна сумма проекций вращающихся векторов, следовательно, нулю должна равняться сумма самих вращающихся векторов, т.е. получим  . Так как  , то сократим на нее и получим  .Алгебраическая сумма комплексов амплитудных значений токов ветвей, сходящихся в одном узле, равна нулю. Поделив на , получим первый закон Кирхгофа для комплексов действующих значений. 2. Второй закон Кирхгофа После аналогичных преобразований получим:  или  .Алгебраическая сумма комплексов амплитудных (действующих) значений напряжений на всех элементах контура, кроме ЭДС равна алгебраической сумме комплексов амплитудных (действующих) значений ЭДС этого же контура. Однако для самих амплитудных и действующих значений законы Кирхгофа не выполняются. Список литературы 1. Основы теории цепей. Учебник для вузов./ Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов.-5-е изд. перераб.-М.: Энергоатомиздат, 1989. 528 с. 2. Теория электрических цепей: Методические указания к лабораторным работам / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: С.М. Милюков, В.П. Рынин; Под ред. В.П. Рынина. Рязань, 2002. 16 с.,2004. 20 с. (№3282, №3624) 3. Основы теории цепей: Методические указания к курсовой работе / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: В.Н. Зуб, С.М. Милюков. Рязань, 2005. 16 с. 4. Теоретические основы электротехники. / Г.И. Атабеков, С.Д. Купалян, А.В. Тимофеев, С.С. Хухриков.-М.: Энергия, 1979. 424 с. 5. М.Р. Шебес. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1990. 528 с. |
