1. теория пределов. Непрерывность функций
 Скачать 1.46 Mb.
|
|
1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 1. Функция. Элементарные функции. Неявно заданные функции. Сложные функции. Для исследования различных явлений полезно знать, как изменение одних величин влияет на другие величины. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между двумя (несколькими) переменными величинами при их совместном изменении, или установлением зависимости между элементами двух нескольких) множеств. Пусть даны две переменные хи с областями изменения Хи. Переменная y называется функцией от х, если по некоторому правилу или закону каждому значению X x ставится в соответствие одно определенное значение Для указания этого факта, что y есть функция от х, пишут x f y , x y y , x F y и т.п. Можно также сказать, что функция f отображает множество Хна множество Y. Это обозначается так Y X f : (рис. Рис. 1 Переменная х называется независимой переменной или аргументом. Переменная y называется зависимой переменной или функцией. Относительно самих величин хи говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Основными элементарным функциями называются следующие функции 1) Степенная функция x y , R 2) Показательная функция 1 0 a , a , a y x 3) Логарифмическая функция 1 0 a , a , x log y a 4) Тригонометрические функции Х Y f 5) Обратные тригонометрические функции Функция называется явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной. Такая функция имеет вид x f y , те. переменная y выражается через х. Например, x tg y ; 2 2 x y ; 2 Определение. Неявной функцией y независимой переменной х называется функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего хи и, неразрешенного относительно y. Неявная функция имеет вид Например, 0 1 2 2 y x ; 0 3 3 Замечание. Термины явная функция и неявная функция характеризуют не природу функции, а способ ее задания. Из основных элементарных функций можно строить другие функции при помощи новой операции взятия функции от функции. Пусть y является функцией от u, те. u f y , а u, в свою очередь, зависит от переменной х, те. x u . Тогда y также зависит от х Функция x f y называется сложной функцией, или функцией от функции, или суперпозицией функций. Переменную x u называют промежуточным аргументом сложной функции, ах независимой переменной. Операция взятия функции от функции может проводиться любое число раз. Например, функция 3 x sin ln y есть суперпозиция трех функций u ln y , v sin u и Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов. 2. Функция бесконечно малая в точке. Леммы о бесконечно малых функциях. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если lim ( ) 0 x a f или lim ( ) 0 x f x , те. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю. Примеры. Функция 2 ( ) ( 1) f x x является бесконечно малой при x→1, так как 2 1 1 lim ( ) lim( 1) 0 x x f x x (см. рис. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0. f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0. f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞. Связь бесконечно малых величин с пределами функций. Теорема Если функция ( ) y f x имеет при x→a или при x→∞, предел равный A ., то ее можно представить в виде суммы этого числа A и бесконечно малой ( ) x при x→a или при x→∞. ( ) ( ) f x A x Доказательство Докажем теорему для случая x→a. По условию функция имеет предел и lim ( ) x a f x A . Это означает что если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число 0 ( зависящее от , ( ) ), что для всех x a и удовлетворяющих неравенству x a Выполняется ( ) f x A Или обозначив ( ) ( ) x f x A , имеем ( ) x . А это собственно и значит, что ( ) x - бесконечно малая величина. А из ( ) ( ) x f x A ( ) ( ) f x A x Верна и обратная теорема Теорема Если функцию можно представить как сумму числа A и бесконечно малой ( ) x при x→a или при x→∞, то число A есть предел этой функции при x→a или прите Основные свойства бесконечно малых функций 1. Теорема 1: Алгебраическая сумма (разность) двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая. 2. Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция. Из доказанной теоремы вытекают Следствие 1. Если и То Следствие 2. Если и c=const, то 3. Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция. Доказательство. Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, те. функция бесконечно малая. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция ( ) f x называется бесконечно большой величиной при x a , если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа 0 M , найдется такое положительное число 0 ( зависящее от M , ( ) M ) , что для всех x a и удовлетворяющих условию x a , будет верно неравенство ( ) f Обозначение lim ( ) x a f x Например y tg x при 2 x бесконечно большая функция. 1 y x при 0 x бесконечно большая функция, причем 0 1 lim x x , и 0 1 lim x x Определение бесконечно большой величины при x запишем в краткой форме, его записать самим подробно lim ( ) ( 0)( ( ) 0)( : ) ( ) x f x M S S M x x S f x M lim sin x x или lim 5 7 x x , обе функции являются бесконечно большими. Не следует путать бесконечно большую переменную величину ( ) f x сочень большим , но постоянным числом 0 M , т.к. по мере приближения значений x кили по мере увеличения по модулю x при x ) в соответствии с ( ) f x M , функция ( ) f x превзойдет это число M ( по абсолютной величине. 1. Сформулировать основные виды неопределенностей и способы их раскрытия Эквивалентные бесконечно малые. Привести примеры. Чтобы раскрыть неопределенность видав которой числитель или знаменатель иррациональны, следует надлежащим образом избавиться от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дробина одно и тоже выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби. Чтобы раскрыть неопределенность вида [ , заданную отношением двух многочленов, надои числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени. Или числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени с учетом степеней корней. Неопределенность вида , получающаяся в результате алгебраической суммы иррациональных выражений, устраняется или приводится к типу 1 путем домножения и деления на одно и тоже выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Второй замечательный предел Таблица эквивалентных бесконечно малых √ Примеры ( ) ( ) ( ) 3 Предел функции. Теоремы о пределах функции. Два замечательных предела. Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении еѐ аргумента к данной точке. Предел функции является обобщением понятия предела последовательности изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится. Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают. Þ Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x). Þ Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной. Первый замечательный предел имеет вид Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к 0. Второй замечательный предел имеет вид , где e = 2,718281828… – это иррациональное число. Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к 4. Сравнение функций, бесконечно малых в точке. 5. Сформулировать основные виды неопределенностей и способы их раскрытия. 0 , , ,1 0 . Привести примеры. Чтобы раскрыть неопределенность видав которой числитель или знаменатель иррациональны, следует надлежащим образом избавиться от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дробина одно и тоже выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби. Чтобы раскрыть неопределенность вида [ , заданную отношением двух многочленов, надои числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени. Или числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени с учетом степеней корней. Неопределенность вида , получающаяся в результате алгебраической суммы иррациональных выражений, устраняется или приводится к типу 1 путем домножения и деления на одно и тоже выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Второй замечательный предел Таблица эквивалентных бесконечно малых √ Примеры ( ) ( ) ( ) Пример ( ) 6. Односторонние пределы Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, больших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу . Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, меньших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу . [1] Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть и Тогда системы множеств и являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения При этом используются также сокращѐнные обозначения o и для правого предела o и для левого предела. 7. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Функция называется непрерывной в точке х если 1) функция f(x) определена в точке и некоторой еѐ окрестности 2) пределы слева и справа существуют и равны между собой ; 3) Если в точке хне выполняется хотя бы одно из условий, то эта точках называется точкой разрыва функции. Для определения вида разрыва в точке х находят односторонние пределы и . При этом а если существуют односторонние пределы , но , то говорят, что функция терпит в точке х разрыв типа выколотой точки. Разрыв типа выколотой точки называют устранимым. Чтобы его устранить, нужно доопределить функцию в точке х либо изменить значение f(x) в точке х таким образом, чтобы выполнялось ; б) если существуют односторонние пределы и , но , тоне существует в этом случае говорят, что функция терпит в точке х разрыв типа«скачок». Разность называется скачком функции в точке х в) если левосторонний либо правосторонний (или оба) пределы функциипри бесконечные, то говорят, что функция терпит в точке бесконечный разрыв. Разрывы типа выколотой точки и типа скачок относятся к конечным разрывам, или разрывам I рода, бесконечные разрывы относятся к разрывам II рода. Функциях) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Свойства непрерывных функций 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х, то их сумма также есть непрерывная функция в точке х. Это свойство справедливо для любого конечного количества слагаемых. 2. Произведение конечного количества непрерывных функций есть функция непрерывная. 3. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль. 4. Сложная функция, составленная из непрерывных функций, непрерывна в соответствующей точке. 5. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена. Теория пределов 1.1 Найти пределы функций √ √ (√ √ ) (√ √ ) (√ √ ) √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ (√ √ ) (√ √ ) ( ) (√ √ ) ( ) (√ √ ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) 1.2 В точках для функции f(x) установить непрерывность или определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции f(x) в окрестностях этих точек. При В точке . Пределы неравны разрыв города. При В точке . Пределы равны города. Построим график Y 0 X 7 -3,5 При Пределы неравны, следовательно данный разрыв города. На отрезке [0; 7]: Функция непрерывна. При Точки разрыва города. Построим график Y 21 X 3 -3 7 II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной 1. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Производная. Рассмотрим некоторую функцию в двух точках . Здесь через х обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента соответственно разность между двумя значениями функции называется приращением функции. Производной функции в точке называется предел, к которому стремится отношение приращение функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Если этот предел существует, то функция называется дифференцируемой в точке. Производная функции обозначается . Геометрический смысл производной. Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. Уравнение касательной. Производная функции y=f(x), вычисленная при заданном значении x, равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси Ox и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой x: f′(x)=tgα Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай движение материальной точки вдоль координатной оси. При этом задан закон движения точки координата x движущейся точки – это известная функция времени . В течение интервала времени от до точка перемещается на расстояние x: Е средняя скорость находится по формуле . При значение средней скорости стремится к определѐнной величине, которая в физике называется мгновенной скоростью материальной точки в момент времени . 2. Односторонние и бесконечные производные. I Бесконечные производные Определение 1. Говорят, что функция ) (x f имеет в точке x 0 бесконечную производную, если или При этом пишут ) ( 0 x f или ) ( 0 x f II Односторонние производные Определение 2. Правая ) ( 0 x f и левая ) ( 0 x f производные функции ) (x f в точке x 0 , определяются равенствами x f x f x 0 0 0 lim ) ( и x f x f x 0 Из общих теорем о пределах можно получить такую теорему. Теорема 1. Функция ) (x f имеет в точке x 0 производную тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные друг другу односторонние производные. 3. Понятие дифференциала, его геометрический и механический смысл. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции. Дифференциал функции y = f(x) равен произведению еѐ производной на приращение независимой переменной x (аргумента. Это записывается так или или же Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной S, проведѐнной к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента) на величину Дифференциал, является главной, линейной относительно частью приращения функции чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. 4. Правила дифференцирования. I. Если const C x f ) ( , то 0 C (производная постоянной функции равна 0). II. Если const C , а ) (x u u – дифференцируема в точке x, то постоянный множитель можно вынести за знак производной. III–V. Если функции ) (x u u и ) (x v v дифференцируемы в точке x, то их сумма, разность, произведение и частное (если 0 ) ( x v ) также дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы III. ; ) ( v u v u IV. ; ) ( v u v u v u V. 2 v v u v u v u VI. Пусть функция ) (u F y дифференцируема в точке 0 u , а функция дифференцируема в точке 0 x , причем ) ( 0 0 x u . Тогда и сложная функция )) ( ( x F y дифференцируема в точке 0 x и имеет место формула ) ( )) ( ( ) )) ( ( ( 0 Другие формы записи этой формулы dx du du dy dx dy , x u x u y y 5. Производная обратной функции. Неявные функции и их дифференцирование. Дифференцирование параметрически заданной функции. Логарифмическое дифференцирование. Пусть функция ) (x f y в некоторой окрестности точки 0 x – непрерывная и строго монотонная, а кроме того, дифференцируема в точке 0 x , причем 0 ) ( 0 x f . Тогда в некоторой окрестности точки ) ( 0 0 x f y существует обратная функция ) ( y g x , также непрерывная, строго монотонная и дифференцируемая в точке 0 y , причем ) ( 1 ) ( 0 Строгое доказательство приводить не будем, но дадим геометрическую иллюстрацию. При этом используем тот факт, что у графики взаимно-обратных функций ) (x f y и ) ( y g x совпадают, а производная – это угловой коэффициент касательной. tg ) ( 0 x f , ) ( 1 tg 1 ctg 2 tg tg ) ( 0 0 x f y g Формулу записывают еще в виде x y y x 1 или Применим последнюю формулу для вычисления производной, например, арксинуса y x x y sin arcsin , 1 1 sin 1 1 cos 1 ) (sin 1 1 ) (arcsin 2 При некоторых условиях, которые будут сформулированы в теме Функции нескольких переменных, уравнение с двумя переменными вида 0 ) , ( y x F определяет y как функцию от x: ) (x y y . Другими словами, существует функция ) (x y , обращающая уравнение в тождество. Производную этой функции можно найти (в неявном же виде, не находя самой функции. Точные формулы будут даны позже, а сейчас сформулируем правило x 0 y 0 x 0 y y=f(x) x=g(y) тождество 0 )) ( , ( x y x F дифференцируем по x, не забывая, что y – это функция от x; затем из полученного равенства находим Пусть имеется система параметрических уравнений ), ( ), ( t y y t x x , ) , ( t , причем функции и ) (t y дифференцируемы и ) (t x сохраняет знак. Тогда на области значений функции ) (t x существует дифференцируемая функция ) (x g y , причем Действительно, из условия 0 ) ( t x (или 0 ) ( t x ) следует монотонность функции ) (t x x ; следовательно, у неѐ существует обратная ) (x t t . Тогда )) ( ( x t y y – некоторая функция от x. Еѐ производную можно найти, если применить правила дифференцирования сложной и обратной функций Пусть функция ) (x f y положительна и дифференцируема. Тогда и функция ) ( ln x f – дифференцируема, причем Это выражение и называется логарифмической производной функции ) (x f . Отсюда легко получить производную самой функции ) (x f : Используя эту формулу можно получить правило дифференцирования сложной степенно- показательной функции Окончательно имеем формулу u vu v u u u v v v 1 ln ) ( 6. Теорема Лагранжа. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя Теорема Лагранжа Пусть функция ) (x f непрерывна на b a, и дифференцируема на ) , ( b a . Тогда существует точка ) , ( b a c такая, что справедлива формула a b a f b f c f ) ( ) ( ) ( (1) Доказательство Введем вспомогательную функцию ) (x F , определив еѐ на равенством Эта функция, также как и ) (x f , удовлетворяет первым двум условиям теоремы Ролля. Подберем так, чтобы ) ( ) ( b F a F (третье условие теоремы Ролля): Теперь к функции ) (x F можно применить теорему Ролля: ) ( ) ( x f x F и ) , ( b a c : 0 ) ( c F , те. Теорема доказана. I Понятие неопределенного выражения Пусть ) (x и ) (x – бесконечно малые, аи бесконечно большие функции при Неопределенными выражениями (или неопределенностями) при a x называют следующие выражения 1) ) ( ) ( x x – неопределенность вида 0 0 ; 2) ) ( ) ( x g x f – неопределенность вида ; 3) ) ( ) ( x f x – неопределенность вида 0 ; 4) ) ( ) ( x g x f – неопределенность вида ; 5) ) ( )) ( 1 ( x f x – неопределенность вида 1 ; 6) ) ( )) ( ( x x – неопределенность вида 0 0 ; 7) ) ( )) ( ( x x f – неопределенность вида Раскрыть неопределенность означает вычислить предел (соответствующего выражения) при Теорема Бернулли–Лопиталя. Пусть функции ) (x f и ) (x g удовлетворяют условиям 1) определены и дифференцируемы на b a, ; 2) 0 ) ( x g ; выражение ) ( ) ( x g x f являются при 0 a x неопределенностью вида 0 0 или Тогда, если существует предел ) ( ) ( lim 0 x g x f a x (конечный или бесконечный, то существует и предел ) ( ) ( lim 0 x g x f a x , причем справедлива формула ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim 0 Другими словами предел отношения двух б.м. или б.б. функций можно заменить пределом отношения их производных, если последний существует – это и есть правило Бернулли-Лопиталя. 7. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, Пеано. Формула Маклорена. Примеры разложения функций по формуле Тейлора Рассмотрим многочлен й степени P(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+a n x n P(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+a n x Его можно представить в виде суммы степеней x, взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем его n раз попеременной, а затем найдем значения многочлена и его производных в точке x=0: P(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+a n x n ⇒P(0)=a 0 ⇒a 0 =P(0)P(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+a n x n ⇒P(0)=a 0 ⇒a 0 =P(0) P′(x)=a 1 +a 2 x 2 +…+a n x n −1⇒P′(0) P(n)(x)=n(n−1)(n−2)⋅…⋅2⋅1⋅a n ⇒P(n)(x)=n(n−1)(n−2)⋅…⋅2⋅1⋅a n ⇒ Таким образом, получаем, что Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена P(x)P(x) в окрестности точки aa. 8. Монотонность функции. Условия возрастания и убывания функций (необходимые и достаточные условия) Монотонная функция – это функция, меняющаяся водном и том же направлении. Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y тоже возрастает, то это возрастающая функция. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y убывает, то это убывающая функция. Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке. Функция постоянна (немонотонна, если она не убывает и не возрастает. Теорема (достаточный признак монотонности Пусть f(x) непрерывна на интервале (a;b) и имеет производную во всех точках, тогда 1. Если внутри (a;b) положительна, то f(x) возрастает. 2. Если внутри (a;b) отрицательна, то f(x) убывает. 3. Если , то f(x) постоянна. 9. Исследование поведения функции в критической точке. Точки локального экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума. 10. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Теорема о направлении выпуклости. Необходимое и достаточное условия точек перегиба. Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х. Определение. Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х. Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз – вогнутой. Посмотрите на чертеж, иллюстрирующий эти определения. Определение. Точка называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки , в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости. Другими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее. Если необходимо, обратитесь к разделу касательная к графику функции в точке, чтобы вспомнить условия существования невертикальной и вертикальной касательной. На рисунке ниже представлены несколько примеров точек перегиба (отмечены красными точками. Заметим, что некоторые функции могут не иметь точек перегиба, а другие могут иметь одну, несколько или бесконечно много точек перегиба. 2. Дифференцирование 2.1 Найти производные y’(x) функции ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ √ √ √ √ √ ( √ ) { 2.2 Найти наибольшее и наименьшее значение функции 2.3 С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции Функция общего вида. Пересечения с осью 0Y: При x=0: Пересечения с осью 0X: Точки разрыва функции Интервалы возрастания и убывания (Приравняем к нулю – точка максимума – точка минимума Интервалы выпуклости/вогнутости: (Точки перегиба x=3 Определим асимптоты кривой Уравнение наклонной асимптоты Найдем вертикальные асимптоты в точках разрыва Точках является точкой разрыва II рода. Точках является точкой разрыва II рода. Построим график 3. Интегральное исчисление 3.1 Найти интегралы ∫ ( √ ) ∫ ∫ √ ∫ √ ∫ √ ∫ √ (√ √ ) √ ∫ √ √ ∫ √ √ ∫ √ Пусть ( ) √ ∫ √ √ ∫ √ √ ∫ √ ( ) √ ( ( ) ) √ ( ( ) ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Пусть ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ( ) √ √ √ ∫ ( ) ∫ √ √ ∫ √ √ ( √ ) √ ( ( ) √ ) √ ( ( ) √ ) 3.2 Построить схематический чертежи найти площадь фигуры, ограниченной линиями Приравняем v ∫ ∫ Перейдем к полярным координатам { ∫ ∫ Пусть ∫ |