ОДУ 1. 1. Задача Коши условие задано в "начальной точке"

• Название: 1. Задача Коши условие задано в "начальной точке"
• Дата: 27.04.2019
• Размер: 18.36 Kb.
• Имя файла: ОДУ 1.docx
• Тип: Задача; #75437

Часть 3. ОДУ.

1.1

Введение

Будем рассматривать только уравнения разрешимые относительно старшей производной т.е. полагать . И только те уравнения, имеющие единственное решение в каждой точке пространства. Т.е. самые простейшие уравнения. . В зависимости от того, как задаются условия для однозначности параметров, разделяются на задачи Коши и краевые задачи.
1. Задача Коши: условие задано в “начальной точке” .
2. Краевая задача: условие на границах (в качестве примера).

Будем заниматься задачей Коши в следующей постановке:



Как известно достаточно выполнение условий:



Будем полагать что они выполнены. Приближенным решением называется табличная функция такая что и на некоторой сетке (будем полагать что она равномерная, но это не обязательно). Формулу для нахождения табличной функции будем называть вычислительной схемой:

Классификация:

a) – одношаговая (если же схема многошаговая , то она требует расчета в стартовых точках
б) Если функция не содержит , то она называется явной. Если входит, то на каждом шаге понадобится решать уравнение относительно . Не всегда явные формулы лучше.

1.2

в) Если функция представима в виде:

То метод называется конечно-разностным. Будем рассматривать только методы решения ОДУ первого порядка, т.к. высшего порядка может быть решено теми же способами. Связано это с тем, что уравнение первого порядка, разрешенное относительно старшей производной, может быть представлено в виде системы: . Формулу вычислительной схемы можно использовать и для векторов. Самый простой способ эквивалентного преобразования:



Это возможно только для задачи Коши т.к. начальные условия представимы в виде вектора.

Понятие сходимости и устойчивости вычислительной схемы

Выделяют два основных типа ошибок:
1. Ошибка дискретизации – связана с заменой непрерывного дискретным (переход к табличной функции)
2. Ошибка вычислительная – связанная с неточным решением уравнения в вычислительной схеме
3. Полная ошибка .

Поведение ошибок противоречиво, уменьшая одну – увеличиваем другую. Говорят, что вычислительная схема сходится если при . Дробление сетки.

Схема называется устойчивой, если сколько бы мы вычислений не сделали, погрешность сильно не растет (ограничена постоянной независимой величиной). Хорошая схема должна быть сходящейся и устойчивой.

Если мы подставим точное значение решения ОДУ в вычислительную схему, то точного равенства не будет и будет разница между левой и правой частью:



Которая называется ошибкой аппроксимации. Метод аппроксимирует с порядком , если верно второе равенство. Для теории часто бывает удобной.

Метод Эйлера

На некоторой равномерной сетке возьмем произвольную точку , такую что также входит в . Воспользуемся тем, что по формуле Тейлора Приводим к . Геометрический смысл в построении ломаных. Простейший метод – одношаговый, явный и конечно-разностный. Нас интересует сходимость и в дальнейшем покажем, что:



Для получения вычтем уравнения (с точным решением и с приближенным) друг из друга . Применим эту формулу раз и тогда:



Т.к. , то – метод устойчив.