Двойная дельта-яма (задача по квантовой механике). 2.8 - двойная дельта-яма. 2 Доказать, что в потенциальной яме энергии нечетного

• Название: 2 Доказать, что в потенциальной яме энергии нечетного
• Анкор: Двойная дельта-яма (задача по квантовой механике
• Дата: 13.11.2022
• Размер: 325.5 Kb.
• Имя файла: 2.8 - двойная дельта-яма.doc
• Тип: Документы; #785049

2.8. Доказать, что в потенциальной яме энергии нечетного E_н и четного E_ч состоянии удовлетворяют , , где . Показать, что при большом расстоянии между ямами уровни Е_н = Е_ч = ) совпадают с энергией одиночной (δ-ямы, а сближение ям раздвигает уровни и при выполняется , т. е. |E_н| < |E_ч|.

U(x)

-a

02


a


x


Рассмотрим уравнение Шрёдингера с данной потенциальной энергией. Рассматривая одномерный случай, запишем для стационарного случая

, (1)

, (2)

, (3)

где E – энергия. Обозначим

. (4)

. (5)

Дельта-ямы делят пространство на три части, в каждой из которых уравнение (5) совпадает с уравнением для частицы в отсутствие потенциального рельефа:

1) x < -a, обозначим решение ψ₁;

2) –a < x < a, обозначим решение ψ₂;

3) x > a, обозначим решение ψ₃.

Получая эти решения и используя граничные условия и условия сшивки, получим решение заданной задачи.

В качестве граничных условий используем условия «конечности на бесконечности», что с учетом условия нормировки

(6)

приводят к требованиям

. (7)

В качестве условий сшивки используем, во-первых, непрерывность волновой функции на границах областей:

, (8)

. (9)

Во-вторых, это будут условия разрыва первых производных волновых функций, связанных с основным свойством δ-функции. Проинтегрируем уравнение (5) один раз в окрестности, например, точки x = a. Получим

. (10)

Аналогично для точки x = –a:

. (11)

Можно значительно упростить задачу, принимая во внимание ее симметрию. Тогда достаточно рассмотреть условия сшивки только на одной границе, отмечая при этом, что
Итак, для каждой из рассматриваемых областей уравнение (5) переходит в

. (12)

Это однородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Для решение ищется в виде

, (13)

где C и k – постоянные. Подставив (13) в (12), получим

. (14)

1. Рассмотрим случай ε < 0 (связанные состояния).

1) x < -a

, (15)

, (16)

, (17)

, (18)

где A₁, B₁ – постоянные, . Условие (7) оставляет только ветвь

. (19)
2) –a < x < a

Аналогично предыдущему случаю, имеем

, (20)

где A₁, B₁ – постоянные, .
3)x > a

Аналогично первому случаю с учетом (7) получаем

, (21)

где A₃ – постоянная, .
Условия сшивки:

, (22)

, (23)

, (24)

. (25)

Из (22) выражаем B₁:

(26)
Из (23) выражаем A₃:

₍₂₇₎
Подставив (26) в (24), получим:

,







,

. (28)

Подставим (28) в (25)