Квазилинейное уравнение первого порядка. Характеристические направления и характеристики квазилинейного уравнения.
Уравнение (1) называется линейным, если F линейна относительно U, Ux, Ut.
Уравнение (1) называется линейным, если F линейна относительно Ux и Ut.
Рассмотрим оператор LU = aUx+bUt
Опр. Направлениеlназывается характерестическим направлением оператора L в фиксированной точке (x,t) на данной ф-ии U(x,t)
Опр. Гладкая кривая Г, в каждой точке которой lявляется касательной называется характеристикой оператора L на данной ф-ии U(x,t)
Опр. Если U(x,t) является решением уравнения LU+f=0, то l и Г называются характеристическим направлением и характеристикой квазилинейного уравнения на заданном решении U(x,t)
Диф уравнение характеристик:  
Теорема: 1) Решение однородного квазилинейного уравнения LU=0 сохраняется на характеристике.
2)решение неоднородного квазилинейного уравнения LU+f=0 то l и Г называются характеристическим направлением и характеристикой квазилинейного уравнения на заданном решении U(x,t)
| 2. Метод характерсистик решения задачи Коши для линейного уравнения 1 порядка
Строим решение методом характеристик
1)
2)Проводим характеристику через интересующую нас точку (x,t), x0(x,t) – точка пересечения характеристики с осью x.
3) 
| 3. Метод характеристик решения задачи Коши для квазилинейного уравнения 1 порядка. Понятие градиентной катастрофы
Явление образования разрыва в решении краевых задач для квазилинейных уравнений, обусловленное пересечением характеристик называется градиентной катастрофой.
| 4.Приведение квазилинейных дифференциальных уравнений 2 порядка к каноническому виду. Характеристики гиперболических уравнений.
1)Δ=a122-a11a22>0 –уравнение гиперболического типа
Uξη+F(ξ,η,U,Uξ,Uη)=0
Δ<0 – уравнение эллиптического типа
Uξξ+Uηη+F(ξ,η,U,Uξ,Uη)=0
Δ=0 – уравнение парболического типа
Uξξ +F(ξ,η,U,Uξ,Uη)=0 или Uηη +F(ξ,η,U,Uξ,Uη)=0
Пусть Δ>0
 
Потребуем, чтобы α11=α22=0
Решаем квадратное уравнение относительно φx ψx.
|
5.Метод характеристик(распространяющихся волн) решения одномерного волнового уравнения
| 6.Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера.
| 7.Решение 1 и 2 краевых задач для волнового уравнения на полупрямой.
Лемма. Пусть U(x,t) –решение задачи Коши на прямой.
И пусть F(x,t), Ф(x,t),Ψ(x,t) – нечётные(чётные), тогда U(0,t)=0 (Ux(0,t)=0)
Док. По формуле Даламбера:
Если, (x,t), Ф(x,t),Ψ(x,t) – нечётные
Следствие: Краевая задача на некотором промежутке с однородным граничным условием 1 и 2 рода можно свести к з. Коши на прямой, продолжив все неоднородности в уравнениях нечётно или чётно относительно концов промежутка.
| 8. Отражение волн на границе полупрямой.
U(x,t)=F(x-at)+G(x+at) – общее решение однородного волнового уравнения
1). Подставим начальные условия
2).Из граничного условия
|
Характеристики – нелинейная сетка новых координат.
(4)
|
|
|
Диф уравнение характеристик:
Теорема: 1) Решение однородного квазилинейного уравнения LU=0 сохраняется на характеристике.
2)решение неоднородного квазилинейного уравнения LU+f=0 удовлетворяет на характеристике условию dU/-f = μdτ
Док. 1) 
2) 
(1)
|
|
|
|
|
9. Определение, непрерывность и аналитичность Г-функции. Аналитическое продолжение Г-функции с помощью соотношения Г(z+1)=zГ(z). График Г- функции.
Г-функцией или Эйлеровским интегралом 2 рода называют след ф-цию:
Св-во1: Г определена и аналитична в полуплоскости ReZ>0
Св-во2:Г(z+1)=zГ(z)
Доказывается через интегрирование по частям по частям.
Следствие1: Г(z)= ,n>N
Следствие2:Г(n+1)=n! Г(1)=n!
Св-во3:Г можно аналитически продолжить на с\(о,-1,-2,…).Точки 0,-1,-2..явл простыми полюсами и  =res
=
| 10. Определение В-функции. Связь Г и В-функций.
В-функцией иил Эйлеровским интегралом 1 рода наз след ф-цию от двух переменных:
Cв-во1: определена и аналитична на обл. Rex>0,Rey>0
Св-во2: Связь Г и В ф-ций: В(x,y)=B(y,x)=
11. Функциональные свойства В и Г-функций.
1)B(x,y)=B(y,x) = –формула связи
2)B(z,1-z)=Г(z)Г(1-z)=
3)
Док-во (3): B(z,z)= симметрии =2 =2
Следствие1: Г(n+1/2)=
Следствие2:
| 12. Уравнение гипергеометрического типа. Теорема о производных функций гипергеометрического типа.
Общий вид УГТ:
Опр. Нетривиальное решение УГТ наз. Функция гиперболического типа ФГТ
Теорема.1)ФГТ имеет непрер. Производную всюду,за исключением может быть нулей полинома 
2)Производные  сами являются ФГТ и удовл.уравнению 
 , 
| 13. Самосопряжённый вид уравнения гипергеометрического типа.
Потребуем: 
  )-весовая функция
(σρn)'=τnρn
|
14. Полиномиальные решения уравнения гипергеометрического типа. Формула Родрига.
Теорема1.Для того чтобы частным решением УГТ был полином степени n, необходимо:
Док-во:Предположим , что
 )
 ч.т.д.
Теорема2.Пусть (
Тогда частным решением УГТ является полином степени n.
| 15. Достаточное условие ортогональности полиномов гипергеометрического типа. Классические ортогональные полиномы.
Пусть 
Лемма.(Дост. Усл. Ортог-ти ПГТ)
Пусть 
Тогда 
| 16. Классификация классических ортогональных полиномов. Полиномы Якоби, Лежандра и Чебышева.
Классификация Коп
 =0
 полиномы Эрмита
 полиномы Чебышева-Лагерра
 (
 x=az+b Полиномы Якоби
Уравнение для полиномов
 
  
 y=0
Весовая функция
 ; ,
Формула Родрига для полиномов Якоби
 Принято 
| 17. Классификация классических ортогональных полиномов. Полиномы Чебышева- Лагерра.
Классификация Коп
=0
полиномы Эрмита
полиномы Чебышева-Лагерра
(
x=az+b
Полиномы Якоби
Уравнение для полиномов
 
Замена 
Весовая функция
C=0, 
 ,
Формула Родрига
|
|
|
|
|
Ортогональность
 =0-дост.усл.орт-ти
 =0,
-выполнено, если 
 -ортог на(0, ) с весом
Частный случай
 -полином Лагерра( )
 
(17)
|
Ортогональность
=0
 =0,
-выполнено, если  
-ортог на(-1,1) с весом
Частные случаи
 = пол .Лежандра
 
 -
(16)
|
|
|
18.Классификация классических ортогональных полиномов. Полиномы Эрмита
Классификация Коп
=0
полиномы Эрмита
полиномы Чебышева-Лагерра
(
x=az+b
Полиномы Якоби
Полиномы Эрмита  )
Уравнение для полиномов
 y=0 / * 
Замена  ,
 y=0
, 
Весовая функция
 , C=0 
Формула Родрига
Принято 
| 19. Теорема о нулях классических ортогональных полиномов. Свойства чётности полиномов Якоби и полиномов Эрмита
Рассмотрим систему КОП  ,орт-к по(a,b)
с весом  ( )
Св-во1.
Док:1) m=0,  ,  
2) Предположим, что 
 ;  ч.т.д
Св-во 2
Док-во:
Св-во 3
Все нули КОП простые и лежат внутри интервала ортогональности (a,b)
| 20.Интегральное представление классических ортогональных полиномов. Производящая функция для системы классических ортогональных полиномов
Интегральные представление КОП
 , где простой контур С ориентирован протии часовой ,охватывает точку z и лежит в односвязной обл-ти
 аналитическая ф-ия .
Док-во:
 - ф-ла Родрига
 -обобщ.ф-ла Коши для  аналитична в односвязной обл D
 -аналитична в D
 - аналитична в D
 ч.т.д
Опр.
Φ(z,t) наз. производящей ф-й для сист. КОП
 , если 
 в круге 
Св-во 6
Φ , где С-тот же что и в св-ве 5
Док-во:
по св-ву 5) 
По опр-ю: 
 непер. на С→огр. на С→ 
  M<1
 -сход равном в круге
 ч.т.д
| 21.Производящая функция для полиномов Лежандра.
Лемма
Для полин Леж 
при 
Док-во
Для полином Леж 
Φ
Φ
По опр-ию Φ = =
Замена s=-2t
При  
|
22. Рекуррентные формулы для классических ортогональных полиномов. Вывод рекуррентных формул для полиномов Лежандра
3 последних КОП связаны след. рекурент соотн-м:
где  ,
Док-во
по св-ву 1 
 ;
 −ву 2 
 
 /
 
 ч.т.д.
| 23. Полнота системы классических ортогональных полиномов. Теорема о разложимости функции в ряд Фурье по системе КОП. Квадрат нормы полиномов Лежандра.
Свойство: Пусть – сходится. Тогда 
Теорема разложимости: Пусть f(z) и f’(z) – кус. Непрерывны на любом  
Лемма: Для полиномов Лежандра 
Доказательство: 
| 24 Определение сферических функций. Определение присоединённых ф-ий Лежандра.
Сферическими функциями называются собственные функции оператора Лапласса, удовлетворяющие условиям непрверывности(2) и периодичности(3)
| 25. Ортогональность и квадрат нормы присоединённых функций Лежандра.
Решение ур-ия Лежандра:
  не огр на отр.[-1,1]
 решение нашего ур-ия
K=0,1,2… n=k,k+1,…
Теорема.Присоедин. ф-ции Лежандра орт-ны на (-1,1) при фиксир к,т.е.:
|
|
|
Док-во:
Требуется док-ть ,что m=n  . Предположим обратное: m<n
Рассмотрим  , если m>0
По св-ву 2 
 не меняет знак на (a,b)
 противоречие  m=n
Св-во 4 (Св-во четности)
Полиномы Якоби при α=βи полиномы Эрмита являются честными, если n=2k
нечетными если n=2k+1
Док-во: 1) 
2)
(19)
|
Ортогональность
=0
 =0,
-выполнено, если 
 ортог на(- ,+) с весом 
(18)
|
|
|
|
|
26. Фундаментальные сферические функции и их свойства. Общее решение уравнения Лапласа в виде ряда Фурье по системе фундаментальных сферических функций. Шаровые функции.
Сферич.ф-ции след вида:
Наз.ФСФ порядка n
Св-во1:ФСФ явл собств.ф-циями оператора : отвечающие с.з. 
Св-во2:ФСФ орт-ны на един.сфере,т.е
Св-во3:ФСФ образуют ортогональный базис в CL2(D, )
D={
| 27. Уравнение Бесселя. Поиск решения уравнения Бесселя в виде обобщённого степенного ряда. Функция Бесселя.
Опр. Всевозможные решения уравнения Бесселя называются цилиндрическими функциями.
Ищем решение ур. Бесселя в виде обобщённого степенного ряда:
 
 
 
| Билет 28. Сходимость степенного ряда для ф-ии Бесселя. Линейная зависимость функций Бесселя.
 – ур-ие Бесселя
Ищем решения ввиде степенного ряда:
| 29. Функция Бесселя порядка  . Асимптотическое представление целых ф-ии при  .
Аналогично при - : 
– ур-ие Бесселя – разделим на 
Замена 
Замечание: При  или получаем 
|
32. Функции Неймана и Ханкеля. Функ. соотношения цил. Функ.
Найдём цилиндрическую функцию, которая имеет другое асимптотическое представление
При целом ν:
 - общее решение уравнения Бесселя
 – функция Неймана
При целом  , 
 –л.н.з., т.к. имеют л.н.з. асимптотические представления при
 – функции Ханкеля 1-ого (2-ого) рода
При ,  =
| 31. Асимптотические представления цилиндрических функций в окрестности точки нуль. Графики функций Бесселя и Неймана.
При  , 
 , , 
По формуле дополнения: 
 , ,
Если  , то  =
При , 
| 32. Модифицированные цилиндрические функции (цил. ф-ии мнимого аргумента). Асимптотические представления и графики.
– ур-ие Бесселя
 – общее решение уравнения Бесселя
Сделаем замену  , тогда
 – модифированное уравнение Бесселя
 – функция Бесселя мнимого аргумента
 – Функция Макдональда
 – монотонно возрастает на (0;+∞) при 
При  , 
|
|
Теорема. Любое вещественное решение уравнения Бесселя при имеет асимптотическое представление вида:
Где 
Лемма.  :
|
Теорема. Для любого R>0 ст.ряд  сходится равномерно по z и  в замкнутой области 
Док-во: 
Пусть  =C
 =C
Теорема. Ф-ии Бесселя при нецелом  :
|
|
R=
(26)
|
|
|
 
|
|
Скачать 0.71 Mb.