4) Сочетания (без повторений). Определение
![]()
|
4) Сочетания (без повторений). Определение. Сочетаниями называются соединения, содержащие по nэлементов из числа mданных элементов и различающихся друг от друга по крайней мере одним элементом. Сочетания являются частным случаем размещений. Сочетания – это размещения, которые различаются друг от друга по крайней мере одним элементом. Перестановка элементов в одном из сочетаний то же самое сочетание. Число сочетаний из mэлементов по nобозначается символом ![]() Для того чтобы найти способ вычисления числа сочетаний из mэлементов по nэлементов, запишем все размещения из четырех элементов по 3 так, чтобы в первой строке стояли все различные сочетания, а каждый столбец представлял одно и то же сочетание: АБВ, АБД, АВД, БВД – это различные сочетания, их количество ![]() ![]() ![]() Итак, ![]() ![]() Можно предложить учащимся следующие задание: записать все размещения из трех элементов по 2 так, чтобы в первой строке стояли различные сочетания, а каждый столбец представлял одно и то же сочетание. Выполнив это, они придут к формуле: ![]() ![]() Анализируя два числовых равенства: ![]() ![]() Учащихся можем подвести к формуле: ![]() Задача 3.4.1. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть организовано тренером разных стартовых пятерок? Решение: ![]() Задача 3.4.2. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 членов можно образовать из 14 преподавателей? Решение: ![]() Задача 3.4.3. В чемпионате страны по футболу (высшая лига) участвует 18 команд, причем каждые две команды встречаются между собой дважды. Сколько матчей играется в течение сезона? Решение: В первом круге состоятся ![]() Задача 3.4.4. В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно выделить двух человек на дежурство, если: один из них должен быть старшим; старшего быть не должно? Решение: ![]() ![]() Задача 3.4.5. Для полета на Марс необходимо укомплектовать следующий экипаж космического корабля: командир, его первый помощник, второй помощник, два бортинженера (обязанности которых одинаковы) и один врач. Командная тройка может быть отобрана из числа 25 готовящихся к полету летчиков, два бортинженера – из числа 20 специалистов, в совершенстве знающих устройство космического корабля, и врач – из числа 8 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать команду космического корабля? Решение: Командная тройка может быть укомплектована ![]() ![]() ![]() Весь экипаж может быть укомплектован: ![]() Задача 3.4.6. Во взводе три сержанта и 30 солдат. Сколькими способами можно выделить одного сержанта и трех солдат для патрулирования? Решение: Чтобы закрепить навыки вычисления числа сочетаний, можно решить следующие задачи. Доказать: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вычислить: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда получаем равенство: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() на основании которых можно было бы говорить об одном из свойств числа сочетаний. Однако сейчас этого делать не будем, а используем полученные сведения в дальнейшем. Перед тем как рассматривать свойства числа сочетаний, закодируем сочетания из четырех элементов (А, Б, В, Г) по три следующим образом: 1 означает, что буква взята для данного сочетания; 0 означает, что буква не взята для данного сочетания. Так, слово 1100 соответствует сочетанию АБВ, 1101 – сочетанию АБГ, 1011 – сочетанию АВГ, 0111 – сочетанию БВГ. Чтобы найти все сочетания из четырех элементов по три, надо найти все слова из четырех букв (цифр), в которых три раза стоит 1 и один раз 0. Задача 3.4.7. Из четырех элементов (А, Б, В, Г) составим все сочетания по два и закодируем по тому же принципу, который изложен выше. Имеем: АБ, АВ, АГ, БВ, БГ, ВГ 1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011 Итак, число сочетаний из четырех элементов по два совпадают с числом слов из четырех букв (цифр), в которых два раза стоит 1 и два раза 0. |