43a Доказать, что последовательность x n
 Скачать 108.6 Kb.
|
|
43a Доказать, что последовательность x n = (?1) n n является бесконечно большой. В данном разделе это понимается так: для всякого E>0 существует N, что для всех n>N выполняется |x n | > E Анализ задачи. Можно упростить |x n | = |(?1) n | · n = 1 · n = n Из какого неравенства типа n>N (N целое) следует n > E(то есть, выразить N через Е)? Само решение. Можно взять наименьшее возможное N по формуле N = [E] (квадратные скобки -знак целой части, наибольшее целое число, не превосходящее Е. Тогда если n>N, то обязательно n ? N + 1(оба целые) , а N + 1 = 1 + [E] > E, значит и |x n | = n > E . Таблица зависимости N от E: E 10 100 1000 10000 10153,2 ... N 10 100 1000 10000 10153 (пример дробного Е взят специально, чтобы показать, что не всегда N=E) 51.Предполагая, что n натуральное, найти lim n?? 1 n 2 + 2 n 2 + ... + n ? 1 n 2 Анализ задачи. Число слагаемых в этой сумме n-1. Они образуют при каждом фиксированном n арифметическую прогрессию. Формула для ее суммы первый плюс последний член, пополам, умноженные на число членов 1 n 2 + 2 n 2 + ... + n ? 1 n 2 = 1 n 2 + n?1 n 2 2 (n ? 1) = n(n ? 1) 2n 2 = n ? 1 2n = 1 2 ? 1 2n Вывели компактную формулу для последовательности, у которой надо найти предел. Само решение lim n?? 1 2 ? 1 2n = (по формуле разности пределов) = lim n?? 1 2 ? lim n?? 1 2n = 1 2 ? 1 2 lim n?? 1 n = (ранее в задачнике доказано, что последовательность 1 n является бесконечно малой, поэтому ее предел равен 0) = 1 2 ? 1 2 · 0 = 1 2 1 Ответ: 1 2 58. Доказать lim n?? n 2 n = 0 Анализ задачи. Для доказательства по определению пришлось бы решать неравенство относительно n n 2 n < ? , считая ? произвольным положительным параметром. Однако это неравенство трансцедентное и не имеет точного решения. Поэтому надо применить оценку Решение. Пусть n ? 2. Тогда в формуле Бинома Ньютона не менее трех слагаемых и все они положительные, значит, сумма всех слагаемых, начиная с 4-го, ? 0 2 n = (1 + 1) n = 1 + n + n(n ? 1) 2 + ... ? 1 + n + n(n ? 1) 2 = 1 + n 2 + n 2 2 > n 2 2 Поэтому n 2 n < n n 2 2 = 2 n Имеем двустороннее неравенство (при n=1 оно тоже верно) 0 < n 2 n < 2 n Причем мы легко находим lim n?? 2 n = 2 lim n?? 1 n = 2 · 0 = 0 По признаку 1 существования предела (приведенному в начале решаемой главы), последовательность n 2 n заключена между двумя последовательнстями, имеющими одинаковый предел 0, поэтому предел ее существует и равен 0 101 Найти inf x n , sup x n , lim n?? x n , lim n?? x n x n = 1 ? 1 n Решение. n монотонно возрастает 2 Тогда 1 n монотонно убывает Тогда 1 ? 1 n монотонно возрастает Для монотонно возрастающих последовательностей inf x n = x 1 = 1? 1 1 = 0 sup x n = lim n?? 1 ? 1 n = lim n?? 1 ? lim n?? 1 n = 1 ? 0 = 1 Так как lim n?? x n = 1 существует, то верхний и нижний пределы равны ему lim n?? x n = 1 lim n?? x n = 1 Ответы: 0,1,1,1 102. x n = (?1) n n + 1 + (?1) n 2 Решение. Если n четное, то (?1) n = 1 и x n = 1 n + 1 (n = 2k) Эта последовательность убывающая, ее предел равен 1, наибольший член x 2 = 1 2 + 1 = 3 2 Если n нечетное, то (?1) n = ?1 и x n = ? 1 n (n = 2k ? 1) Эта последовательность возрастающая (как и в предыдущей задаче), ее предел равен 0, наименьший член x 1 = ?1 Поэтому inf x n = ?1 sup x n = 3 2 Последовательнсть x n разбилась на две подпоследовательности, каждая из которых имеет предел: подпоследовательность с четными номерами имеет 3 предел 1, с нечетными - предел 0. Оба они являются частичными пределами, а других частичных пределов не может быть, потому что тогда была бы еще более редкая подпоследовательность с номерами только четными или только нечетными, имеющая этот предел. Противоречие, так как с четными - предел только 1, с нечетными -предел только 0. Верхним пределом является наибольший из частичных пределов lim n?? x n = 0 lim n?? x n = 1 Ответы ?1, 3 2 , 0, 1 4 |