Шпаргалка. Шпаргалка 4. 5 Предбанник математика Здесь всё, чего нет в справочных материалах
 Скачать 4.42 Mb.
|
|
1 3 2 4 5 Предбанник математика Здесь всё, чего нет в справочных материалах 2022 Степени, корни, логарифмы Квадратные уравнения Некоторые свойства = a n n ( ) n m a a = m n 0 a = 1 log а а - основание b - аргумент Логарифм показывает, в какую степень возвести a, чтобы получить b. n a a log b = log b 1 n log b c = log b a log a c log b log d = log d log b a c Вид ax2 + c = 0 - оставляем слева, “c” переносим вправо. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ Вид: ax2 + bx = 0 - выносим х за скобку, затем каждый множитель приравниванием к нулю. Вид А = В А = Вили А = - В) Оставить с одной стороны только корень, остальное перенести вправо ; 2) Обе части возвестив квадрат 3) Сделать проверку. Иррациональные уравнения ОДЗ 1) Х в знаменателе - знаменатель неравен нулю . 2) Х под корнем (чётной степени) - подкоренное выражение больше или равно нулю делаем проверку, не записывая ОДЗ!). 3) Х под логарифмом - аргумент логарифма положителен, основание положительно и неравно Системы уравнений Алгоритм решения 1) В ЛЮБОМ из двух уравнений выражаем одну ЛЮБУЮ переменную 2) Подставляем её в то уравнение, которое ещё не использовали - получаем уравнение с одной переменной 3) Находим значение одной переменной 4) Возвращаемся к месту, где мы выразили другую переменную и находим её значение. Для квадратного уравнения сч тным коэффициентом b: D 1 = ( )2 - ac b 2 x 1,2 = + D 1 a - b Дискриминант (вторая формула) Тригонометрия Неравенства При умножении/делении НА отрицательное число знак неравенства меняется. Вид: ах + bx + c > 0 (или < 0) раскладываем на множители! Для этого приравниваем к нулю, находим корни уравнениях их и записываем ах - х1)(х - х) = Далее метод интервалов - отмечаем корни на прямой - подставляем число из крайнего правого промежутка в неравенство (знак неравенства будет одинаковый на всём интервале - далее справа налево знаки чередуются. ВАЖНО! Если основание в неравенстве больше 1, то знак неравенства выполняется и для его показателей. Если же основание больше 0 и меньше 1, то знак неравенства между его показателями меняется на противоположный > a x > y (при а >1) а > а x < y (при 0 < а < 1) x y x y Показательные Логарифмические Примерные значения корня и логарифма Функции и производная ПРОИЗВОДНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ВАЖНО! Если основание логарифма больше 1, то знак неравенства сохраняется (мы просто убираем логарифмы. Если же основание больше 0 и меньше 1, то знак неравенства между его выражениями меняется на противоположный x > log b x > b (при a > 1) log x > log b x < b (при 0 < a < 1) a a a a log 10 ≈ log 9 = 2 log 17 ≈ log 16 = 4 3 3 2 2 82 ≈ 81 = 9 3,2 = 3,20 ≈ 3,24 = Когда возводим любое десятичное число в квадрат, получим четное количество знаков после запятой. Отрицательные углы ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ При переходе от тригонометрических функций с аргументом 90 +α, 180 +α , 270 +α , 360 +α (одна изданных четырёх точек +α) используются следующие правила 1) знак полученной функции ставится такой, какой имеет ИСХОДНАЯ функция (смотрим, в какой четверти лежит угол 2) смотрим на одну из точек (90 , 180 , 270 , 360 ): если эта точка лежит на вертикальной оси, меняем sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg; если на горизонтальной - не меняем- o o o o o o УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛЫ НУЛИ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ = kx + Если k > 0, то наклон прямой вправо . Если k < 0, то наклон прямой влево. Если b > 0, прямая по графику сдвигается вверх на величину b . Если b < 0, прямая по графику сдвигается вниз на величину b . Если b = 0, прямая проходит через начало координат 2 5 -2 -4 x Как найти коэффициент k? На прямой находим две ЦЕЛЫЕ точки, через нижнюю проводим прямую параллельно ОХ, из верхней опускаем перпендикулярна не. Находим тангенс угла между прямой и ОХ (вертикальный катет делим на горизонтальный k = 4 : 2 = Как найти коэффициент b? Смотрим точку пересечения прямой св Значение коэффициента с смотрим на пересечении параболы с осью OY. 0 3 4 C a > 0 -2 -2 x y c = Нули функции y = f(x) - это такие значения аргумента, при которых f(x) = Точки - нули функции Чтобы найти нули функции (точки пересечения параболы и прямой ОХ, нужно приравнять функцию к нулю и найти корни квадратного уравнения. Если дискриминант больше нуля, парабола пересекает OX в двух точках. Если дискриминант равен нулю, парабола касается О. Если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает OX. D > 0 a > 0 a < 0 D = 0 D < 0 1 4 2 5 3 6 x x x x x х Положительна или отрицательна функция смотрим по OY перпендикулярна из точки. Положительна или отрицательна производная смотрим по возрастанию или убыванию функции в точке. Производная - это скорость изменения функции. Производная показывает, КАК (с какой скоростью) меняется функция в конкретной точке. Функция возрастает убывает экстремумы Производная положительна отрицательна равна нулю х х y’ Для того, чтобы по графику функции понять, как примерно выглядит графике производной, нужно найти экстремумы функции (это нули производной, а также промежутки возрастания и убывания. Если функция возрастает, график производной будет выше оси Х, если убывает - ниже оси Х. у’ = tga = Производная в данной точке численно равна тангенсу угла наклона касательной. Если касательную задать уравнением, коэффициент k будет равен значению производной в этой точке 9 8 11 10 12 13 14 15 Планиметрия Ромб Прямоугольник Прямоугольник Трапеция Площадь любого четырёхугольника Треугольник БИССЕКТРИСА, МЕДИАНА, ВЫСОТА ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ ТЕОРЕМА О МЕДИАНАХ ТРЕУГОЛЬНИКА Доп. фОРМУЛЫ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК КАТЕТ НАПРОТИВ ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ МЕДИАНА, ПРОВЕДЕННАЯ ИЗ ВЕРШИНЫ ПРЯМОГО УГЛА ВНЕШНИЙ УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКА Площадь параллелограмма Вертикальные и смежные углы Углы, образованные параллельными прямыми и секущей Параллелограмм 1 мм мкм км ∙ 1 км ар = 10 мм м = 1 сотка 1 гамм м = 100 соток Сумма углов треугольника 1800. Сумма углов четырёхугольника 3600. Сумма углов угольника 1800 ∙ (n - 2). Периметр - сумма длин всех сторон. a = sinα b = sinβ c = 2R sinγ R - радиус описанной около этого треугольника окружности ДЛЯ ЛЮБОГО ТРЕУГОЛЬНИКА! с2 = a2 + b2 - 2abcosγ a Единицы измерения площади ТЕОРЕМА СИНУСОВ ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ- это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Свойства: 1) противоположные стороны и противоположные углы равны 2) диагонали точкой пересечения делятся пополам Смежные углы параллелограмма в сумме равны 1800. α β α + β = 1800. - это ПАРАЛЛЕЛОГРАММу которого все стороны равны. Свойства: 1) все свойства параллелограмма 2) диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба = a h h a - это ПАРАЛЛЕЛОГРАММу которого все углы прямые. Свойства: 1) все свойства параллелограмма 2) диагонали равны a b S = a b - это ПРЯМОУГОЛЬНИКу которого все стороны равны. Свойства: 1) все свойства прямоугольника 2) диагонали перпендикулярны и делят углы квадрата пополам свойства ромба = a2 a Диагональ квадрата- это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие - нет. Для решения задачи с трапецией часто нужно провести высоту, а в равнобедренной - две высоты. произвольная равнобедренная прямоугольная Виды Виды Свойства равнобедренной трапеции 1) диагонали и углы при основании равны 2) около неё можно описать окружность Углы трапеции, прилежащие к одной боковой стороне, в сумме равны 1800. α β S = d d sinα 1 2 1 2 1 2 d α d S = d d sinα 1 2 1 параллелограмм = d d sinα 1 2 1 трапеция = d d т.к. sin90 = 1 1 2 1 2 1 d 2 d ромб = d2sinα 1 2 d прямоугольник = d2 квадрат d d S = a ∙ b ∙ sinα α a параллелограмм = a2 ∙ sinα α a a ромб Смежные углы в сумме равны 1800. Вертикальные углы равны + β = 1800. β β β α α α - Накрестлежащие углы равны (4 и 6, 3 и 5); - Соответственные углы равны (1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7); - Односторонние углы в сумме равны 180 (4 и 5, 3 и 6). 1 2 3 4 6 5 8 Биссектриса Медиана Высота треугольника делит УГОЛ пополам . треугольника делит СТОРОНУ пополам (противолежащую. треугольника ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА стороне, к которой проведена. биссектриса медиана высота произвольный равнобедренный прямоугольный правильный (равносторонний) В равнобедренном треугольнике все эти три отрезка совпадают (В случае, если проведены к основанию) по двум сторонами углу между ними 2) по двум углами стороне 3) по трём сторонам Внешний угол треугольника - угол, смежный с каким-либо из углов треугольника. α β ꝩ Внешний угол равен сумме углов треугольника, не смежных с ним. Медианы любого треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины z y 2x 2y 2z S = p(p-a)(p-b)(p-c) p = a + b + c 2 p - полупериметр Формула Герона: a c b S = Через радиус вписанной окружности c b r S = Через радиус описанной окружности c b R a, b - катеты c - гипотенуза (напротив прямого угла!) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30 , равен половине гипотенузы a = c 2 30 c b o В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы m = c 2 c Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему. Котангенс - отношение прилежащего катета к противолежащему В прямоугольном треугольнике (где угол С = 90°) всегда выполняется sinA = cosB tgA = Высота, проведённая из вершины прямого угла 1) Делит треугольник на два треугольника, подобных исходному (углы через один равны) 2) Находится по формуле где a, b - катеты с - гипотенуза a h h = ab c c В подобных треугольниках соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны) По двум углам . 2) Две стороны пропорциональны, а углы между ними равны. 3) Три стороны пропорциональных Площади подобных треугольников (и любых других подобных фигур) относятся как квадрат коэффициента подобия. Любые две правильные фигуры подобны. Любые два круга подобны = k2 1 2 17 19 18 20 21 23 Площадь ЛЮБОГО угольника равна = pr p = P 2 p - полупериметр *в который можно вписать окружность- все стороны равны - все углы по 60 0. a a a r h R R = 2r r = R = h 2 3 h 3 - это шестиугольник, в котором равны все стороны и все углы. Правильный шестиугольник своими диагоналями делится на 6 правильных треугольников = 3 3a2 2 r r = a 3 2 R R = ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК КРУГ И ОКРУЖНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬ Стереометрия ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ЦЕНТРЫ ОКРУЖНОСТЕЙ ПРИЗМА ПРЯМАЯ ПРИЗМА ПРАВИЛЬНАЯ ПРИЗМА ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД ПРЯМОЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК ХОРДЫ И ДУГИ радиус диаметр радиус хорда касательная касательная хорда Диаметр - хорда, проходящая через центр окружности. Касательная - прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. Радиус - отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром. Все радиусы одной окружности равны. Хорда - отрезок, соединяющий любые две точки на окружности. Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу, равны. Центральный угол - угол, вершина которого лежит в центре окружности, а стороны пересекают эту окружность. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. α α α α α 2α 90° Если вписанный и центральный угол одной окружности опираются на одну дугу, то вписанный угол равен половине центрального угла. Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой. 2α 2α α Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны (АВ = АС. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. B C Равные хорды стягивают равные дуги = CD = > AB = Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника. Треугольник описан около окружности, если эта окружность касается всех его сторон. Тогда окружность называется вписанной в треугольник. В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность. Центр вписанной окружности у ЛЮБОГО треугольника - точка пересечения биссектрис. Центр описанной окружности у ЛЮБОГО треугольника - точка пересечения серединных перпендиуляров. Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то её центр - середина гипотенузы. 90° 180° Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник = a + b - c В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны a + c = b + d Около четырёхугольника можно описать окружность, если суммы его противоположных углов равны α + γ = β + φ (суммы противоположных углов будут равны 180°) a b c Центром окружности, описанной около прямоугольника, является точка пересечения его диагоналей. Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей. A B C D O A B C D O Центром окружности, вписанной в квадрат, является точка пересечения его диагоналей. A B C D O Ребро - отрезок, соединяющий две вершины многоугольника или многогранника. Поверхности многогранника называют гранями. Грани представляют собой плоскости, ограниченные сторонами многоугольников, из которых состоит многогранник. Двугранный угол - угол между двумя гранями. β α Равновеликие фигуры - плоские фигуры, имеющие одинаковую площадь. Равновеликие тела - тела, имеющие равные объёмы. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости. Отношение объёмов двух подобных многогранников равно кубу коэффициента подобия. Отношение площадей поверхности двух подобных многогранников равно квадрату коэффициента подобия. Любые два куба/шара всегда подобны. Если все рёбра многогранника увеличили водно и тоже количество раз, получим подобный многогранник V 2 = k3 V 1 V 2 S пов1 S пов2 = k2 - ЭТО МНОГОГРАННИК, ДВЕ ГРАНИ КОТОРОГО являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани - параллелограммами. Грани, которые находятся в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а остальные грани - боковыми гранями призмы- это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярные основаниям- это прямая призма, у которой основания - правильные многоугольники. Площадь поверхности любой призмы S пов = 2 ∙ осн + бок Высота совпадает с боковым ребром только у ПРЯМОЙ призмы- ЭТО ПРИЗМА, ОСНОВАНИЕМ которой является параллелограмм. Все грани параллелепипеда - параллелограммы. Объем ЛЮБОГО параллелепипеда = осн ∙ Площадь поверхности: Sпов = 2 ∙ осн + бок- ЭТО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДУ КОТОРОГО ВСЕ РЕБРА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ ПЛОСКОСТИ ОСНОВАНИЯ. Основания - параллелограммы Боковые грани - прямоугольники 25 27 29 26 24 28 31 ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА ТЕТРАЭДР ПИРАМИДА ПИРАМИДА ЦИЛИНДР КОНУС Часть от числа, проценты, пропорции Движение скорость сближения и удаления ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ СУММА ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Сложные проценты Арифметическая прогрессия КУБ ДИАГОНАЛЬ КУБА- ЭТО ПРЯМОЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДУ КОТОРОГО В ОСНОВАНИИ ПРЯМОУГОЛЬНИК. Все грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники- правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы. а d V = a3 S пов = 6a2 d = a 3 - это многогранник, одна из граней которого - произвольный многоугольника остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину. Вершина пирамиды - точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания. Высота пирамиды - отрезок перпендикуляра, проведённого из вершины пирамиды к плоскости её основания. Апофема - высота боковой грани- пирамида, основание которой ПРАВИЛЬНЫЙ многоугольника вершина проецируется в центр основания. A A A S S S C C C E F D D B B B h Свойства: - боковые рёбра равны - все боковые грани - равнобедренные треугольники- это пирамида, в которой одно из боковых рёбер перпендикулярно основанию. В этом случае данное ребро и будет высотой пирамиды- это треугольная пирамида. В тетраэдре ЛЮБАЯ грань может быть принята за основание пирамиды. Площадь поверхности любой пирамиды S пов = осн + бок- тело, состоящее из двух равных кругов и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Основания (круги) цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях. Образующие цилиндра - отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов. Образующие цилиндра параллельны и равны. Высота цилиндра - расстояние между плоскостями оснований. Ось цилиндра - прямая, проходящая через центры оснований. Н R S полн = 2πRH + 2πR2 - это тело, состоящее из круга (основания конуса, точки, которая не лежит в плоскости этого круга (вершины конуса) и всех отрезков, которые соединяют вершину конуса с точками основания (образующих конуса). H R L S полн = πR2 + πRL L - образующая Высота конуса - перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания. Основание высоты - центр круга. Чтобы найти часть от числа, нужно эту часть умножить на число. Процент - это одна сотая часть числа. отношение пропорция : 4 = 96 : В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних крайние средние : 4 = 96 : 12 4 6 , 1 2 3 целые десятые сотые тысячные десятитысячные Если увеличиваем число А нар, умножаем его нар Ар Ар коэффициент увеличения Если уменьшаем число А нар, умножаем его нар коэффициент уменьшения Формула го члена арифметической прогрессии n = a 1 + d(n - Формулы суммы арифметической прогрессии = ⋅ n a 1 + a n 2 S n = ⋅ n 2a 1 + d(n - 1) 2 S - расстояние v - скорость t - время = v ∙ t v ср. = общ. общ. Встречное Когда объекты движутся навстречу друг другу, они сближаются со скростью, равной сумме скоростей сбл. = v 1 + v 2 2. Вдогонку Когда один объект догоняет другой, они сближаются со скростью, равной разности скоростей сбл. = v 1 - v 2 3. Движение в противоположных направлениях Когда объекты движутся в противоположном направлении, они удаляются друг от друга со скоростью, равной сумме скоростей уд. = v 1 + v 2 4. Движение с отставанием Когда объекты движутся водном направлении, и один отстаёт от другого, они удаляются друг от друга со скоростью, равной разности скоростей уд. = v 1 - v 2 P = m n 0 <= P <= Вероятность - отношение числа благоприятных событий ко всем возможным. ВЕРОЯТНОСТИ ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ СОБЫТИЙ В СУММЕ РАВНЫ Вероятность того, что наступит ХОТЯ БЫ ОДНО из двух несовместных событий, считается как сумма вероятностей этих событий: Если происходят два независимых события Аи В с вероятностями Р(А) и Р(В), то вероятность появления события Аи В одновременно равна произведению вероятностей) = P(A) • И) = P(A) + ИЛИ 33 35 37 34 36 39 Признаки делимости Основная теорема арифметики Делимость на составные числа Простые и составные числа На 2: все чётные числа делятся на 2. На 5: все числа, оканчивающиеся на 5 или 0. На 10: все числа, оканчивающиеся на На 3: Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на На 9: Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на На 4: Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на На 8: Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на На 11: На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих нач тных местах, либо отличается от неё на число, кратное Простое число - натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя - единицу и самого себя. Например, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 и т.д. 1 - непростое число. Составное число - натуральное число, большее 1, не являющееся простым. Напрммер, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 и т.д. Любое натуральное число можно разложить на простые множители единственным образом. Число делится на составное число n, если оно делится на все его взаимно простые делители. Что делать в задаче Пусть сказали, что искомое число делится на 36. Раскладываем 36 на простые множители и перемножаем одинаковые 36 = 6 ∙ 6 = 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 3 = 9 ∙ 4 = > чтобы число делилось на 36, оно должно одновременно делиться на 9 и на 4 (далее используем признаки делимости) Свойства чисел Натуральные числа - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т.д. Целые числа - это -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 и др - чётное целое число. Не является ни положительным, ни отрицательным |