6. Определители Общее понятие об определителях

• Название: 6. Определители Общее понятие об определителях
• Анкор: 6 2011
• Дата: 15.04.2023
• Размер: 0.52 Mb.
• Имя файла: Файл 6 2011.doc
• Тип: Документы; #1064247

6. Определители

6.1. Общее понятие об определителях

Для любой квадратной матрицы может быть найдена величина, называемая определителем.

Определитель матрицы А =

обозначают .

Для матрицы второго порядка А = определитель вычисляется по формуле

.

Например, .

Для любой квадратной матрицы А n-го порядка определитель может быть вычислен по одной из следующих формул, дающих один и тот же результат:

( i = 1, 2, …, n);

( j = 1, 2, …, n).

Первые n формул называются формулами разложения определителя по строке, а вторые n формул называются формулами разложения определителя по столбцу. В этих формулах - алгебраические дополнения элементов матрицы А, где - миноры элементов матрицы А.

Минором элемента матрицы n-го порядка А называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, получаемой из определителя матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится элемент .

Запишем для определителя матрицы 3-го порядка разложение по первой строке



Окончательно, получаем

.

Формула для вычисления определителя 3-го порядка содержит 3 члена с плюсом и 3 с минусом. В каждом члене по одному элементу из каждой строки и каждого столбца определителя. Для запоминания элементов определителя, входящих в члены определителя, используют так называемое правило треугольника, которое изображено на следующем рисунке:

+ –



Пример 6.1. Вычислить определитель двумя способами:

с помощью разложения по первой строке и по правилу треугольника.

Р е ш е н и е.



= 2 (42– 0) –3 (35–8) + 4 (0–6) = 84 – 81 – 24 = –21.

= 2·6·7 + 4·5·0 + 3·8·1 – 4·6·1 – 2·8·0 – 3·5·7 =

= 84 + 0 + 24 – 24 – 0 – 105 = –21.

О т в е т: –21.

6.2. Свойства определителей

1. Определитель не изменится, если все его строки заменить соответствующими столбцами или наоборот. Покажем это на определителе 2-го порядка

, .

2. При перестановке двух каких-либо строк или столбцов местами определитель изменяет знак. Для определителя 2-го порядка

.

3. Определитель равен нулю, если он имеет две равные строки (столбца). При перестановке равных строк, с одной стороны, определитель не изменится, а, с другой стороны, по свойству 2 изменит знак, т. е. . Отсюда и .

4. Множитель, общий для всех элементов строки или столбца, можно выносить за знак определителя. Для определителя 2-го порядка

.

5. Если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, то определитель не изменится. Для определителя 2-го порядка



.

Следствие из свойств 4 и 5.

Если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на некоторое число, то определитель не изменится.

6. Сумма произведений элементов какой-либо строки или столбца на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки или столбца равна нулю, т. е.

.

Данные свойства позволяют вычислять определители высокого порядка значительно легче, чем непосредственное использование только разложений определителя по строке или столбцу. В некоторой строке (столбце) выбирается какой-либо отличный от нуля элемент и с помощью этого элемента, как в преобразовании Жордана при решении систем уравнений методом Гаусса, обращаются в нуль все остальные элементы столбца с номером j (или строки с номером i). После этого определитель n-го порядка, имеющий один отличный от нуля элемент в j-м столбце (или i-й строке) с помощью разложения по столбцу (или строке) сводится к определителю (n - 1)-го порядка. И таким же образом продолжается снижение порядка определителя до второго или третьего порядка.

Пример 6.2. Вычислить определитель ,

используя свойства.

Р е ш е н и е. Третью строку умножим на подходящие множители и прибавим к остальным (действия показаны справа от определителя),

	2	3	4	5		.
	5	6	8	9
	1	0	7	6	´ (–5)´( –2)´( –3)
	3	4	6	1 0

Получим

.

Затем разложим этот определитель 4-го порядка по первому столбцу, получим один определитель 3-го порядка, так как только один элемент в столбце отличен от нуля,

.

Из 2-го и 3-го столбцов вынесем (–1) и из 2-й строки вынесем 3 за знак определителя. Затем первую строку умножим на (–1) и прибавим к третьей

D= (–1)( –1) 3×	3	10	7	´(–1)	,
	2	9	7
	4	15	8

получим

.

Далее 1-й столбец умножим на (–1) и прибавим к третьему, а также умножим его на (–5) и прибавим ко второму столбцу, получим

.

Данный определитель разложим по 3-й строке, получим

.

О т в е т: –63.

6.3. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера

Пусть имеется система уравнений



Обозначим через D определитель матрицы системы и через определитель, который получается из определителя заменой j-го столбца столбцом правых частей системы (j = 1,2,…, n).

; .

Теорема 6.1. Если определитель матрицы системы отличен от нуля, т. е. , то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

(j = 1, 2, …, n).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что . Используем свойства определителей. Так как общий множитель элементов столбца можно выносить за знак определителя (свойство 4), значит, множитель можно внести в определитель, умножив на него какой-либо столбец. Поэтому множитель перед внесем под знак определителя, умножив на него все элементы j-го столбца . Затем к этому столбцу прибавим все другие столбцы, умноженные на соответствующие значения (k = 1, 2, …, n; ), получим

= =

= = = .

Отсюда получаем (j = 1, 2, …, n).

Данные формулы называются формулами Крамера.

Пример 6.3. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера.



Р е ш е н и е. Вычисляем определитель системы D и определители , , . Используя следствие из свойств определителей 4 и 5, сводим вычисление определителей третьего порядка к вычислению определителей второго порядка, получаем







.

Находим решение системы

; ; .

О т в е т:Х = (1; 2; 3).

6.4. Использование определителей для нахождения обратной матрицы

Пусть имеется матрица

.

Матрица



называется присоединенной для матрицы A. Здесь алгебраические дополнения элементов матрицы A.

Найдем произведение матриц A и ; при этом используем формулы вычисления определителя путем разложения по строке

( i = 1, 2, …, n)

и формулы свойства 6 определителей (сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю)

.

Получим


,
где E - единичная матрица, D - определитель матрицы A.

Данное равенство поделим на D, получим .

Так как по определению обратной матрицы произведение матриц , то обратная матрица для матрицы A может быть найдена по формуле

.
Пример 6.4. Для матрицы найти обратную матрицу, используя присоединенную матрицу.

Р е ш е н и е. Вычислим определитель матрицы A и алгебраические дополнения элементов этой матрицы. При расчете определителя D первую строку умножим на -2 и прибавим ее ко второй и третьей строкам, получим

;

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Присоединенная матрица равняется .

Учитывая, что D = -1, находим обратную матрицу

.

О т в е т: .

6.5. Задача о межотраслевом балансе

Пусть отрасль состоит из n предприятий, выпускающих по одному виду продукции в количествах (i = 1, 2, 3, …, n). Продукция i-го предприятия используется на каждом j-м предприятии отрасли в количестве и в количестве предназначается для реализации вне отрасли. Тогда математическая модель межотраслевого баланса имеет вид



Опытным путем установлено, что количество продукции i-го предприятия, потребляемое j-м предприятием для производства своей продукции, прямо пропорционально количеству , выпускаемой им продукции, т. е. . Коэффициенты называются коэффициентами прямых (внутриотраслевых) затрат.

С учетом этого математическую модель межотраслевого баланса записывают в виде



или в матричном виде

,

где

, ,

Матрица (i, j = 1, 2, 3, …, n) называется матрицей коэффициентов прямых (внутренних) затрат.

Данное уравнение можно записать в виде

,

где E - единичная матрица n-го порядка.

Используя уравнение

,

можно найти количество конечного продукта при заданном плане производства . Можно также найти план производства при заданном количестве конечного продукта по формуле

.

Матрица называется матрицей полных затрат. Матрица A коэффициентов внутриотраслевых затрат называется продуктивной, если все ее элементы неотрицательные и для любого неотрицательного существует неотрицательный вектор .

Данная математическая модель межотраслевого баланса называется моделью Леонтьева.

Пример 6.5. Отрасль состоит из двух предприятий. В табл. 6.1 приведены объемы потребления (затраты) предприятиями выпускаемого продукта (матрица Х) и общие объемы производства предприятий за год, а также новый план выпуска конечного продукта за год через некоторое число n лет (конкретная величина n не имеет значения).

Т а б л и ц а 6.1

		Объемы потребления предприятия №		Общий объем производства предприятий за год	Новый план выпуска конечного продукта через n лет
		1	2
Продукция предприятия №	1	102	258	510	200
	2	51	129	430	400

1. Составить матрицу А коэффициентов прямых затрат.

2. Используя матричную запись, вычислить вектор объемов конечного продукта предприятий при заданных объемах производства .

3. Решив матричное уравнение , найти план производства предприятий, обеспечивающий новый план выпуска объемов конечного продукта через n лет. Определить при этом затраты на производство по каждому предприятию и по каждому продукту. Результаты записать в виде таблицы (см. табл. 6.2).

Р е ш е н и е. Из табл. 6.1 запишем исходные данные в виде матриц:

- матрица объемов производства предприятий для потребления внутри отрасли (матрица затрат);

- матрица общих объемов производства предприятий;

- матрица производства конечного продукта предприятий через n лет.

Составим матрицу А коэффициентов потребления (прямых затрат). Для этого поделим объемы потребления первым предприятием продукции каждого из предприятий на общий объем производства первого предприятия

; .

Аналогично найдем элементы второго столбца матрицы А (поделим объемы потребления вторым предприятием продукции каждого предприятия на общий объем производства второго предприятия)

; .

В результате матрица имеет вид .

Далее находим матрицу

.

Найдем вектор объемов производства конечного продукта предприятий при заданных объемах общего производства предприятий = (510, 430) за текущий год

= .

Для нахождения плана производства предприятий , обеспечивающего производство за год заданных величин конечного продукта через n лет, найдем обратную матрицу . Для этого вычислим определитель матрицы Е - А.



и присоединенную для матрицы Е - А матрицу .

Находим .

Вычисляем план производства по формуле .

.

Найдем суммарные затраты на производство по предприятиям как разность между общим объемом производства и конечным продуктом

.

Следовательно, затраты на производство на первом предприятии равны 560, на втором – 280.

Найдем матрицу ежегодных затрат Х* при полученном плане производства через n лет. Для этого умножим столбцы матрицы А коэффициентов затрат на объемы производства , получим

.

Затраты каждого продукта на производство найдем как суммы элементов столбцов матрицы затрат Х *:

= ( ; ) = (152 + 76; 408 + 204) = (228, 612).

Следовательно, затраты на производство первого продукта - 228; затраты на производство второго продукта - 612.

Затраты каждого предприятия на производство своего продукта найдем как суммы элементов строк матрицы затрат Х *:

= ( ; ) = (152+408; 76+204) = (560, 280).

Следовательно, затраты первого предприятия на производство продукта равны 560; затраты второго предприятия на производство продукта - 280.

О т в е т: = (760, 680); = (560, 280); = (228, 612);

= (560; 280);

Т а б л и ц а 6.2

		Объемы потребления предприятия №		Итого затрат	Конечный продукт	Общий объем производства предприятий *
		1	2
Продукция предприятия №	1	152	408	560	200	760
	2	76	204	280	400	680
Внутриотраслевые затраты		228	612	840 840

6.6. Задания для самостоятельного решения

Вычислить определители:

6. 6. . 6.7. . 6.8. . 6.9. .

6.10. . 6.11. . 6.12. .

6.13. . 6.14. .
Решить уравнения:

6.15. 6.16.
Вычислить определители:

6.17. . 6.18. 6.19. 6.20.

6.21. 6.22. 6.23.
6.24. 6.25. 6.26.
6.27. 6.28. 6.29.
6.30. 6.31. 6.32.
6.33. 6.34. 6.35.

Для матрицы A найти обратную матрицу, используя присоединенную матрицу:

6.36. . 6.37. . 6.38. .
Решить системы уравнений, используя формулы Крамера:

6.39. 6.40.

6.41. 6.42.
Решить задачу о межотраслевом балансе (см. пример 6.5) при следующих исходных данных:
6.43. , , .
6.44. , , .
6.45. , , .